كروية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 78 صور
الموسوعة الحرة

تمثيل تخطيطي للاختلاف في شكل الحبيبات. يظهر معياران: الكروية (عمودي) والاستدارة (أفقي).

تُعدّ الكروية مقياسًا لمدى تشابه شكل جسم مادي مع شكل الكرة المثالية . فعلى سبيل المثال، تحدد كروية الكرات داخل محمل الكرات جودة المحمل، مثل الحمل الذي يتحمله أو سرعة دورانه دون أن يتعطل. وتُعتبر الكروية مثالًا محددًا على مقياس تماسك الشكل.

ينطبق مفهوم الكروية في ثلاثة أبعاد ؛ ويطلق على نظيره في بعدين ، مثل الدوائر المقطعية على طول جسم أسطواني مثل عمود ، اسم الاستدارة .

تعريف

[ 1 ] تم تعريف الكروية بواسطة واديل في عام 1935،Ψ{\displaystyle \Psi }نسبة مساحة سطح الجسم هي نسبة مساحة سطح كرة لها نفس الحجم إلى مساحة سطح الجسم:

Ψ=π13(6Vص)23أص{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}

أينVص{\displaystyle V_{p}}حجم الجسم وأص{\displaystyle A_{p}}هي مساحة السطح. كروية الكرة تساوي واحدًا بحكم التعريف، وبحسب متباينة المحيط المتساوي ، فإن أي شكل ليس كرة ستكون كرويته أقل من 1.

الأجسام الإهليلجية

الشكل الكروي،Ψ{\displaystyle \Psi }، لشكل كروي مفلطح (مشابه لشكل كوكب الأرض ) هو:

Ψ=π13(6Vص)23أص=2أب23أ+ب2أ2-ب2ln⁡(أ+أ2-ب2ب)،{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}

حيث يمثل a و b المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي على التوالي.

الاشتقاق

عرّف هاكون واديل الكروية بأنها مساحة سطح كرة لها نفس حجم الجسم مقسومة على مساحة السطح الفعلية للجسم.

أولاً، نحتاج إلى كتابة مساحة سطح الكرة،أs{\displaystyle A_{s}}من حيث حجم الجسم المراد قياسه،Vص{\displaystyle V_{p}}

أs3=(4πر2)3=43π3ر6=4π(42π2ر6)=4π⋅32(42π232ر6)=36π(4π3ر3)2=36πVص2{\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}}

لذلك

أs=(36πVص2)13=3613π13Vص23=623π13Vص23=π13(6Vص)23{\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}

ومن ثم نحددΨ{\displaystyle \Psi }مثل:

Ψ=أsأص=π13(6Vص)23أص{\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}

كروية الأجسام الشائعة

اسمصورةمقدارمساحة السطحكروية
جسم كروي4π3ر3{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\,r^{3}}4πر2{\displaystyle 4\pi \,r^{2}}1{\displaystyle 1}
ديسدياكيس ثلاثي الأضلاع900+720511s3{\displaystyle {\frac {900+720{\sqrt {5}}}{11}}\,s^{3}}180179-24511s2{\displaystyle {\frac {180{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}}{11}}\,s^{2}}((5+45)211π5)13179-245≈0.9857{\displaystyle {\frac {\left(\left(5+4{\sqrt {5}}\right)^{2}{\frac {11\pi }{5}}\right)^{\frac {1}{3}}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9857}
ثلاثي الأسطوانات16-82ر3{\displaystyle 16-8{\sqrt {2}}\,r^{3}}48-242ر2{\displaystyle 48-24{\sqrt {2}}\,r^{2}}36π+18π236≈0.9633{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{36\pi +18\pi {\sqrt {2}}}}{6}}\approx 0.9633}
مجسم ثلاثي الأضلاع معيني45+25s3{\displaystyle 4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,s^{3}}125s2{\displaystyle 12{\sqrt {5}}\,s^{2}}455625π2+202500π25615≈0.9609{\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{455625\pi ^{2}+202500\pi ^{2}{\sqrt {5}}}}{15}}\approx 0.9609}
المجسم العشري الوجوه15+5512s3{\displaystyle {\frac {15+5{\sqrt {5}}}{12}}\,s^{3}}53s2{\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}}2100π3+900π15330≈0.9393{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{2100\pi {\sqrt {3}}+900\pi {\sqrt {15}}}}{30}}\approx 0.9393}
أسطوانة163ر3{\displaystyle {\frac {16}{3}}\,r^{3}}16ر2{\displaystyle 16\,r^{2}}2π32≈0.9226{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{2\pi }}{2}}\approx 0.9226}
مخروط ثنائي مثالي(ح=ر2){\displaystyle (h=r{\sqrt {2}})}2π3ر2ح=2π23ر3{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\,r^{2}h={\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{3}}\,r^{3}}2πرر2+ح2=2π3ر2{\displaystyle 2\pi \,r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=2\pi {\sqrt {3}}\,r^{2}}43263≈0.9165{\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{432}}{3}}\approx 0.9165}
مجسم ذو اثني عشر وجهًا15+754s3{\displaystyle {\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\,s^{3}}325+105s2{\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}}2080+928569π3530≈0.9105{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{6}]{2080+928{\sqrt {5}}}}{\sqrt[{3}]{9\pi }}{\sqrt {5}}}{30}}\approx 0.9105}
مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا1639s3{\displaystyle {\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}\,s^{3}}82s2{\displaystyle 8{\sqrt {2}}\,s^{2}}2592π266≈0.9047{\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{2592\pi ^{2}}}{6}}\approx 0.9047}
حلقة مثالية(R=ر){\displaystyle (R=r)}2π2Rر2=2π2ر3{\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}}4π2Rر=4π2ر2{\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}}18π232π≈0.8947{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{18\pi ^{2}}}{2\pi }}\approx 0.8947}
الأسطوانة المثالية(ح=2ر){\displaystyle (h=2r)}πر2ح=2πر3{\displaystyle \pi \,r^{2}h=2\pi \,r^{3}}2πر(ر+ح)=6πر2{\displaystyle 2\pi \,r(r+h)=6\pi \,r^{2}}1833≈0.8736{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{18}}{3}}\approx 0.8736}
المجسم الثماني23s3{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}\,s^{3}}23s2{\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}}3π333≈0.8456{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3\pi {\sqrt {3}}}}{3}}\approx 0.8456}
نصف الكرة الأرضية2π3ر3{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\,r^{3}}3πر2{\displaystyle 3\pi \,r^{2}}2233≈0.8399{\displaystyle {\frac {2{\sqrt[{3}]{2}}}{3}}\approx 0.8399}
مكعبs3{\displaystyle \,s^{3}}6s2{\displaystyle 6\,s^{2}}36π36≈0.8060{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{36\pi }}{6}}\approx 0.8060}
المخروط المثالي(ح=2ر2){\displaystyle (h=2r{\sqrt {2}})}π3ر2ح=2π23ر3{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\,r^{2}h={\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{3}}\,r^{3}}πر(ر+ر2+ح2)=4πر2{\displaystyle \pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})=4\pi \,r^{2}}432≈0.7937{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\approx 0.7937}
رباعي الأوجه212s3{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}}3s2{\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}}12π336≈0.6711{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{12\pi {\sqrt {3}}}}{6}}\approx 0.6711}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ واديل، هاكون (1935). "حجم وشكل واستدارة جزيئات الكوارتز". مجلة الجيولوجيا . 43 (3): 250-280 . Bibcode : 1935JG.....43..250W . doi : 10.1086/624298 .