كرة لا نهائية الأبعاد

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ الكرة اللانهائية الأبعاد هي النهاية الاستقرائية لجميع الكرات . على الرغم من عدم وجود كرة قابلة للانكماش ، فإن الكرة اللانهائية الأبعاد قابلة للانكماش ^{[ 1 ] [ 2 ]} ، وبالتالي تظهر على أنها الفضاء الكلي لحزم رئيسية شاملة متعددة .

بالتعريف المعتاد${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}|\|x\|_{2}=1\}}$للكرة ذات المعيار 2 ، التضمين الكنسي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)}$يقتصر على تضمين أساسي${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}$وبالتالي، تشكل الكرات نظامًا استقرائيًا، وحدته الاستقرائية: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle S^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}}$

هي الكرة ذات الأبعاد اللانهائية .

أهم خاصية للكرة اللانهائية الأبعاد هي قابليتها للانكماش . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ولأن الكرة اللانهائية الأبعاد ترث بنية CW من الكرات، ^{[ 3 ] [ 5 ]} تنص نظرية وايتهيد على أنه يكفي إثبات أنها قابلة للانكماش بشكل ضعيف . وبشكل بديهي، تختفي مجموعات التماثل للكرات واحدة تلو الأخرى، وبالتالي تختفي جميعها بالنسبة للكرة اللانهائية الأبعاد. عمليًا، أي تطبيق${\displaystyle S^{k}\rightarrow S^{\infty }}$بسبب تماسك الكرة السابقة، عوامل على تضمين قانوني${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{\infty }}$مع${\displaystyle k<n}$دون الإخلال بعمومية المسألة . بما أن${\displaystyle \pi _{k}(S^{n})}$أمر تافه،${\displaystyle \pi _{k}(S^{\infty })}$وهو أمر تافه أيضاً.

• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$هو المبدأ العالمي${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$-حزمة، ومن ثم${\displaystyle \operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty }}$المدير${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$-باقة${\displaystyle S^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{n}}$إذن، هذا هو الإدراج المتعارف عليه${\displaystyle i\colon \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$، لذلك${\displaystyle S^{n}\cong i^{*}S^{\infty }}$.
• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$هي الحزمة الرئيسية الشاملة U(1) ، وبالتالي${\displaystyle \operatorname {EU} (1)\cong \operatorname {ESO} (2)\cong S^{\infty }}$المدير${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-باقة${\displaystyle S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}}$إذن، هذا هو الإدراج المتعارف عليه${\displaystyle j\colon \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$، لذلك${\displaystyle S^{2n+1}\cong j^{*}S^{\infty }}$.
• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$هي الحزمة الرئيسية الشاملة SU(2) ، وبالتالي${\displaystyle \operatorname {ESU} (2)\cong \operatorname {ESp} (1)\cong S^{\infty }}$المدير${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-باقة${\displaystyle S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}}$إذن، هذا هو الإدراج المتعارف عليه${\displaystyle k\colon \mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$، لذلك${\displaystyle S^{4n+3}\cong k^{*}S^{\infty }}$.

• هاتشر، ألين (2001). الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-79160-1.
• توم ديك ، تامو (2008-09-01). الطوبولوجيا الجبرية (PDF) . رقم ISBN 978-3037190487.

• كرة لا نهائية الأبعاد في مختبر n