عالم غريب

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة

في فرع من الرياضيات يُسمى الطوبولوجيا التفاضلية ، تُعرف الكرة الغريبة بأنها مشعب تفاضلي M متماثل الشكل ، ولكنه غير متماثل الشكل مع الكرة الإقليدية القياسية من الرتبة n . أي أن M كرة من حيث جميع خصائصها الطوبولوجية، ولكنها تحمل بنية ملساء غير مألوفة (ومن هنا جاءت تسميتها "غريبة").

قام جون ميلنور ( 1956 ) ببناء أولى الكرات الغريبة بأبعاد ن=7{\displaystyle n=7}مثلS3{\displaystyle S^{3}}- حزم فوقS4{\displaystyle S^{4}}أظهر أن هناك سبعة هياكل قابلة للتفاضل على الأقل على الكرة ذات البعد 7. وفي أي بُعد، بيّن ميلنور (1959) أن فئات التشاكل التفاضلي للكرات الغريبة الموجهة تُشكّل العناصر غير التافهة لزمرة أبيلية تحت تأثير المجموع المتصل ، وهي زمرة أبيلية منتهية إذا لم يكن البُعد 4. وقد أظهر تصنيف الكرات الغريبة بواسطة ميشيل كيرفير وميلنور ( 1963 ) أن الكرات الغريبة الموجهة ذات البعد 7 هي العناصر غير التافهة لزمرة دورية من الرتبة 28 تحت تأثير المجموع المتصل . وتُعرف هذه الزمر باسم زمر كيرفير-ميلنور . 

بشكلٍ أعم، في أي بُعد n ≠ 4 ، توجد زمرة أبيلية منتهية عناصرها هي فئات التكافؤ للبنى الملساء على S<sub> n</sub> ، حيث تُعتبر بنيتان متكافئتين إذا وُجد تماثلٌ يحافظ على التوجيه ينقل إحداهما إلى الأخرى. تُعرَّف عملية الزمرة بالعلاقة [ x ] + [ y ] = [ x + y ] ، حيث x و y ممثلان اختياريان لفئات تكافؤهما، و x + y تُشير إلى البنية الملساء على S <sub>n </sub> الملساء التي هي المجموع المتصل لـ x و y . من الضروري إثبات أن هذا التعريف لا يعتمد على الاختيارات المُتخذة؛ بل يمكن إثبات ذلك.

مقدمة

الكرة ذات الوحدة n ،Sن{\displaystyle S^{n}}، هي مجموعة جميع ( n + 1)-tuples(x1،x2،...،xن+1){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}من الأعداد الحقيقية، بحيث يكون المجموعx12+x22+⋯+xن+12=1{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}. على سبيل المثال،S1{\displaystyle S^{1}}هي دائرة، بينماS2{\displaystyle S^{2}}يمثل سطح كرة عادية نصف قطرها واحد في ثلاثة أبعاد. يعتبر علماء الطوبولوجيا الفضاء X كرةً من الرتبة n إذا وُجد تماثلٌ طوبولوجي بين عناصره، أي يمكن إسناد كل نقطة في X إلى نقطة واحدة فقط في كرة الوحدة من الرتبة n بواسطة تقابل مستمر ذي دالة عكسية مستمرة. على سبيل المثال، يمكن مطابقة نقطة x على كرة من الرتبة n نصف قطرها r تماثليًا مع نقطة على كرة الوحدة من الرتبة n بضرب بُعدها عن نقطة الأصل في r.1/ر{\displaystyle 1/r}وبالمثل، فإن المكعب ذو البعد n من أي نصف قطر يكون متماثلًا مع الكرة ذات البعد n .

في الطوبولوجيا التفاضلية ، يُعتبر مشعبان أملسان متكافئين بسلاسة إذا وُجد تماثل تفاضلي بينهما، وهو تماثل طوبولوجي، بشرط إضافي هو أن يكون أملسًا - أي أن تكون له مشتقات من جميع الرتب عند جميع نقاطه - وأن يكون تماثله الطوبولوجي العكسي أملسًا أيضًا. لحساب المشتقات، يلزم وجود أنظمة إحداثيات محلية مُعرَّفة بشكل متسق في X. تفاجأ علماء الرياضيات (بمن فيهم ميلنور نفسه) عام 1956 عندما أثبت ميلنور إمكانية إنشاء أنظمة إحداثيات محلية متسقة على الكرة ذات البعد 7 بطريقتين مختلفتين متكافئتين من حيث الاستمرارية، ولكن ليس من حيث قابلية التفاضل. شرع ميلنور وآخرون في محاولة اكتشاف عدد هذه الكرات الغريبة التي يمكن أن توجد في كل بُعد، وفهم كيفية ارتباطها ببعضها البعض. لا توجد بنى غريبة ممكنة على الكرة ذات الأبعاد 1، 2، 3، 5، 6، 12، 56، أو 61. [ 1 ] بعض الكرات ذات الأبعاد الأعلى لا تملك سوى بنيتين تفاضليتين محتملتين، بينما يملك البعض الآخر آلاف البنى. يبقى وجود الكرات الرباعية الغريبة، وعددها إن وُجدت، مسألة لم تُحل بعد .

تصنيف

المونويد للبنى الملساء على الكرات من الرتبة n هو مجموعة من المشعبات الملساء الموجهة من الرتبة n والمتماثلة شكليًا مع الكرة من الرتبة n ، مع مراعاة التشاكل التفاضلي الحافظ للاتجاه. عملية المونويد هي المجموع المتصل . بشرطن≠4{\displaystyle n\neq 4}هذا المونويد هو زمرة وهو متماثل مع الزمرةΘن{\displaystyle \Theta _{n}} من فئات التماثل h للكرات الموجهة ذات البعد n ، وهي محدودة وأبيلية. في البعد 4، لا يُعرف شيء تقريبًا عن أحادي الكرات الملساء، باستثناء أنها محدودة أو لا نهائية قابلة للعد، وأبيلية، على الرغم من أنه يُشتبه في أنها لا نهائية؛ انظر قسم التواءات غلوك . جميع الكرات ذات البعد n متماثلة طوبولوجيًا مع الكرة n وفقًا لتخمين بوانكاريه المعمم ، الذي أثبته ستيفن سميل في أبعاد أكبر من 4، ومايكل فريدمان في البعد 4، وغريغوري بيرلمان في البعد 3. في البعد 3، أثبت إدوين إي. مويس أن لكل مشعب طوبولوجي بنية ملساء فريدة جوهريًا (انظر نظرية مويس )، لذا فإن أحادي البنى الملساء على الكرة 3 تافه.

المشعبات القابلة للتوازي

المجموعةΘن{\displaystyle \Theta _{n}} يحتوي على مجموعة فرعية دورية

بPن+1{\displaystyle bP_{n+1}}

ممثلةً بكراتٍ من الرتبة n تُحيط بالمتشعبات القابلة للتوازي . هياكلبPن+1{\displaystyle bP_{n+1}}والناتج

Θن/بPن+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}

وُصفت هذه العمليات بشكل منفصل في ورقة بحثية ( كيرفير وميلنور ، 1963 ) ، والتي كان لها تأثير كبير في تطوير نظرية الجراحة . في الواقع، يمكن صياغة هذه الحسابات بلغة حديثة من حيث التسلسل الدقيق للجراحة كما هو موضح هنا . 

المجموعةبPن+1{\displaystyle bP_{n+1}}هي مجموعة دورية، وهي تافهة أو من الرتبة 2 باستثناء الحالةن=4ك+3{\displaystyle n=4k+3}وفي هذه الحالة، يمكن أن يكون العدد كبيرًا، وترتبط رتبته بأعداد برنولي . وهو عدد تافه إذا كان n زوجيًا. إذا كان n يساوي 1 بتردد 4، فإن رتبته إما 1 أو 2؛ وعلى وجه الخصوص، تكون رتبته 1 إذا كان n يساوي 1 أو 5 أو 13 أو 29 أو 61، وقد أثبت ويليام براودر ( 1969 ) أن رتبته 2 إذا كان n يساوي 1 أو 5 أو 13 أو 29 أو 61. ن=1{\displaystyle n=1}mod 4 ليس من الشكل2ك-3{\displaystyle 2^{k}-3}يترتب على مسألة ثابت كيرفاير، التي تم حلها بالكامل تقريبًا الآن ، أن رتبتها هي 2 لجميع قيم n الأكبر من 126؛ الحالةن=126{\displaystyle n=126}لا يزال الطلب مفتوحاً.بP4ك{\displaystyle bP_{4k}}لك≥2{\displaystyle k\geq 2}يكون

22ك-2(22ك-1-1)ب،{\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}

حيث B هو بسط4ب2ك/ك{\displaystyle 4B_{2k}/k}، وب2ك{\displaystyle B_{2k}}هو عدد برنولي . (تختلف الصيغة في الأدبيات الطوبولوجية قليلاً لأن علماء الطوبولوجيا يستخدمون اصطلاحًا مختلفًا لتسمية أعداد برنولي؛ تستخدم هذه المقالة اصطلاح علماء نظرية الأعداد.)

الخريطة بين نواتج القسمة

مجموعة القسمةΘن/بPن+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}له وصف بدلالة مجموعات التماثل المستقرة للكرات بتردد صورة التماثل J ؛ وهو إما يساوي خارج القسمة أو الدليل 2. وبشكل أدق، يوجد تطبيق أحادي

Θن/بPن+1→πنS/ج،{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}

أينπنS{\displaystyle \pi _{n}^{S}}هي مجموعة التماثل المستقرة من الرتبة n للكرات، و J هي صورة التماثل J. كما هو الحال معبPن+1{\displaystyle bP_{n+1}}صورة J هي زمرة دورية، وهي تافهة أو من الرتبة 2 باستثناء الحالةن=4ك+3{\displaystyle n=4k+3}وفي هذه الحالة، يمكن أن تكون كبيرة، وترتبط رتبتها بأعداد برنولي . زمرة القسمةπنS/ج{\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}يمثل الجزء "الصلب" من مجموعات التماثل المستقرة للكرات، وبناءً على ذلكΘن/بPن+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}يُعدّ حساب زمر التماثل للكرات الجزء الأصعب من دراسة الكرات الغريبة، ولكنه يكاد يقتصر تمامًا على حساب زمر التماثل للكرات. تكون الدالة إما تماثلًا (أي أن الصورة هي الزمرة بأكملها)، أو دالة أحادية ذات دليل 2. يتحقق الشرط الأخير فقط في حال وجود مشعب مؤطر ذي بُعد n وثابت كيرفاير 1، وهو ما يُعرف بمسألة ثابت كيرفاير . وبالتالي، يعتمد عامل 2 في تصنيف الكرات الغريبة على مسألة ثابت كيرفاير.

تم حل مشكلة ثابت كيرفاير بشكل شبه كامل، ولم يتبق سوى الحالةن=126{\displaystyle n=126}لا تزال المسألة مفتوحة، على الرغم من إعلان تشولي شو (بالتعاون مع وينان لين وغوتشين وانغ) خلال ندوة في جامعة برينستون في 30 مايو 2024، أن الحالة النهائية ذات البعد 126 قد حُسمت، وأن هناك متشعبات ذات ثابت كيرفاير 1 في البعد 126. [ 2 ] وقد أثبت عمل سابق لبراودر (1969) أن هذه المتشعبات لا توجد إلا في البعد 126.ن=2ج-2{\displaystyle n=2^{j}-2}، و هيل، هوبكنز ورافينيل (2016) ، والتي أثبتت عدم وجود مثل هذه المتشعبات للأبعاد254=28-2{\displaystyle 254=2^{8}-2}وما فوق. تم إنشاء متشعبات ذات ثابت كيرفاير 1 في الأبعاد 2 و6 و14 و30. مع أنه من المعروف وجود متشعبات ذات ثابت كيرفاير 1 في البعد 62، إلا أنه لم يتم إنشاء أي متشعب من هذا النوع حتى الآن. وينطبق الأمر نفسه على البعد 126.

رتبة Θ n

ترتيب المجموعةΘن{\displaystyle \Theta _{n}}يُعطى في هذا الجدول (التسلسل A001676 في OEIS ) من ( Kervaire & Milnor 1963 ) (باستثناء المدخل الخاص بـن=19{\displaystyle n=19}(يوجد خطأ بمقدار ضعفين في ورقتهم البحثية؛ انظر التصحيح في المجلد الثالث، صفحة  97 من الأعمال الكاملة لميلنور).

ديم ن1234567891011121314151617181920
طلبΘن{\displaystyle \Theta _{n}}11111128286992132162562161652326424
بPن+1{\displaystyle bP_{n+1}}1111112812199211181281212616321
Θن/بPن+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}111111122×261132222×2×28×2224
πنS/ج{\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}121112122×261132×2222×2×28×2224
فِهرِس–2–––2–––––––2––––––

لاحظ أنه بالنسبة للظلامن=4ك-1{\displaystyle n=4k-1}، ثمθن{\displaystyle \theta _{n}}نكون28=22(23-1){\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}،992=25(25-1){\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}،16256=27(27-1){\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}، و523264=210(29-1){\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}. يمكن حساب المزيد من المدخلات في هذا الجدول من المعلومات المذكورة أعلاه بالإضافة إلى جدول مجموعات التماثل المستقرة للكرات .

من خلال حسابات مجموعات التماثل المستقرة للكرات، أثبت وانغ وشو (2017) أن الكرة S 61 لها بنية سلسة فريدة، وأنها آخر كرة فردية الأبعاد بهذه الخاصية - الكرات الوحيدة هي S 1 و S 3 و S 5 و S 61 .

أمثلة صريحة على المجالات الغريبة

عندما صادفتُ مثالًا كهذا في منتصف الخمسينيات، شعرتُ بالحيرة الشديدة ولم أعرف كيف أفسره. في البداية، ظننتُ أنني وجدتُ مثالًا مضادًا لتخمين بوانكاريه المعمم في البعد السابع. لكن الدراسة المتأنية أظهرت أن المتشعب كان بالفعل متماثلًا طوبولوجيًا معS7{\displaystyle S^{7}}وبالتالي، توجد بنية قابلة للتفاضل علىS7{\displaystyle S^{7}}لا يختلف شكليًا عن الشكل القياسي.

— جون ميلنور  ( 2009 ، ص 12)

بناء ميلنور

يُعدّ هذا أحد الأمثلة الأولى على الكرات الغريبة التي اكتشفها ميلنور (1956 ، القسم 3) . خلال منتصف خمسينيات القرن العشرين، كان جون ميلنور [ 3 ]، صفحة 14 ، يحاول فهم بنية(ن-1){\displaystyle (n-1)}-مشعبات متصلة ذات بُعد2ن{\displaystyle 2n}(منذن{\displaystyle n}-متصل2ن{\displaystyle 2n}تُعتبر الفضاءات متعددة الشعب متماثلة طوبولوجيًا مع الكرات، وهذه هي الحالة الأولى غير التافهة بعد ذلك، وقد وجد مثالًا على فضاء مكافئ طوبولوجيًا للكرة، ولكنه ليس متماثلًا تباينيًا بشكل صريح . وقد فعل ذلك من خلال النظر إلى حزم المتجهات الحقيقية.V→Sن{\displaystyle V\to S^{n}}قام بدراسة خصائص حزمة الأقراص المرتبطة بكرة، واتضح أن حدود هذه الحزمة مكافئة تماثليًا لكرة.S2ن-1{\displaystyle S^{2n-1}}لكن في بعض الحالات لا يكون متماثلاً. وينتج هذا النقص في التماثل عن دراسة تماثل افتراضي بين هذا الحد وكرة، وإثبات أن هذا التماثل الافتراضي يُبطل بعض خصائص نظرية هيرزبروش للتوقيع .

يتركب4{\displaystyle B^{4}}كن الكرة الموحدة فيR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}ودعS3{\displaystyle S^{3}}ليكن حدها - كرة ثلاثية الأبعاد نُعرّفها بمجموعة الكواترنيونات الوحدوية . الآن خذ نسختين منب4×S3{\displaystyle B^{4}\times S^{3}}كل منها بحدودS3×S3{\displaystyle S^{3}\times S^{3}}وربطها معًا عن طريق تحديدها(أ،ب){\displaystyle (a,b)}في الحدود الأولى مع(أ،أ2بأ-1){\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}في الحد الثاني. يتميز التشعب الناتج ( كرة ميلنور ) ببنية ناعمة طبيعية وهو متماثل الشكل معS7{\displaystyle S^{7}}، ولكنه ليس متماثلاً شكلياً معS7{\displaystyle S^{7}}أثبت ميلنور أن هذا السطح ليس حدودًا لأي سطح أملس ثماني الأبعاد ذي عدد بيتي رابع معدوم، ولا يمتلك أي تماثل تبايني معاكس للاتجاه مع نفسه؛ أي من هاتين الخاصيتين تدل على أنه ليس كرة سباعية الأبعاد قياسية. كما أثبت ميلنور أن لهذا السطح دالة مورس بنقطتين حرجتين فقط ، كلتاهما غير منحلتين، مما يعني أنه كرة من الناحية الطوبولوجية.

كرات بريسكورن

كما أوضح إيغبرت بريسكورن ( 1966 ، 1966ب ) (انظر أيضًا ( هيرزبروش وماير 1968 ) )، فإن تقاطع المتشعب المعقد للنقاط في ج5{\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}مُرضٍ

أ2+ب2+ج2+د3+هـ6ك-1=0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }

مع كرة صغيرة حول نقطة الأصل لـك=1،2،...،28{\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}يُعطي هذا الشكل جميع البنى الملساء الممكنة البالغ عددها 28 على الكرة الموجهة ذات البعد 7. وتُسمى هذه الأشكال المتشعبة بكرات بريسكورن .

كرات ملتوية

بالنظر إلى تحويل تماثلي (يحافظ على التوجيه)و:Sن-1→Sن-1{\displaystyle f:S^{n-1}\to S^{n-1}}، لصق حدود نسختين من القرص القياسيدن{\displaystyle D^{n}}يؤدي الجمع بواسطة f إلى تكوين متعدد الشعب يُسمى الكرة الملتوية (مع التواء f ). وهي مكافئة تماثليًا للكرة القياسية من الرتبة n لأن خريطة اللصق متماثلة مع خريطة الهوية (كونها تماثلًا تفاضليًا يحافظ على التوجيه، وبالتالي من الدرجة 1)، ولكنها ليست متماثلة تفاضليًا مع الكرة القياسية بشكل عام. ( ميلنور 1959ب )Γن{\displaystyle \Gamma _{n}}لكي تكون مجموعة الكرات الملتوية من الرتبة n (تحت مجموع الاتصال)، نحصل على المتتالية الدقيقة

π0الفرق+⁡(دن)→π0الفرق+⁡(Sن-1)→Γن→0.{\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}

لن>5{\displaystyle n>5}كل كرة غريبة من الرتبة n متماثلة شكليًا مع كرة ملتوية، وهي نتيجة أثبتها ستيفن سميل ويمكن اعتبارها نتيجة لنظرية التماثل h . (في المقابل، في الحالة الخطية القطعية، يكون التطبيق الأيسر شاملًا عبر التمديد القطري : كل كرة ملتوية خطية قطعية هي كرة قياسية). المجموعةΓن{\displaystyle \Gamma _{n}}مجموعة الكرات الملتوية متماثلة دائمًا مع المجموعةΘن{\displaystyle \Theta _{n}}تختلف الرموز لأنه لم يكن معروفًا في البداية أنها متطابقة بالنسبة لـن=3{\displaystyle n=3}أو 4؛ على سبيل المثال، الحالةن=3{\displaystyle n=3}وهو ما يعادل حدسية بوانكاريه .

في عام 1970، أثبت جان سيرف نظرية التماثل الزائف التي تنص على أنπ0الفرق+⁡(دن){\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}هي المجموعة التافهة المعطاةن≥6{\displaystyle n\geq 6}وهكذاΓن≃π0الفرق+⁡(Sن-1){\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}متاحن≥6{\displaystyle n\geq 6}.

التطبيقات

إذا كانت M متعددة شعب خطية متقطعة، فإن مسألة إيجاد البنى الملساء المتوافقة على M تعتمد على معرفة المجموعات Γk = Θk . وبشكل أدق، تكمن عوائق وجود أي بنية ملساء في المجموعات Hk +1 ( M , Γk ) لقيم مختلفة من k ، بينما إذا وُجدت مثل هذه البنية الملساء ، فيمكن تصنيف جميع هذه البنى الملساء باستخدام المجموعات Hk ( M , Γk ) . على وجه الخصوص ، تتلاشى المجموعات Γk إذا كانت k < 7 ، لذا فإن جميع متعددات الشعب الخطية المتقطعة ذات البعد 7 على الأكثر تمتلك بنية ملساء، وهي بنية فريدة أساسًا إذا كان بُعد متعدد الشعب 6 على الأكثر.

المجموعات الأبيلية المنتهية التالية متطابقة بشكل أساسي:

  • المجموعة Θ n من فئات التماثل h للكرات الموجهة n .
  • مجموعة فئات التماثل h للكرات الموجهة n .
  • المجموعة Γ n من الكرات n الموجهة الملتوية .
  • مجموعة التماثل π n (PL/DIFF)
  • إذا كان n ≠ 3 ، فإن مجموعة التماثل π n (TOP/DIFF) (إذا كان n = 3 ، فإن هذه المجموعة لها رتبة 2 ؛ انظر ثابت كيربي-سييبنمان ).
  • مجموعة الهياكل الملساء لبلورة PL n الموجهة .
  • إذا كان n ≠ 4 ، فإن مجموعة الهياكل الملساء للكرة الطوبولوجية الموجهة n .
  • إذا كان n ≠ 5 ، فإن مجموعة مكونات مجموعة جميع التشاكلات التفاضلية التي تحافظ على الاتجاه لـ S n − 1 .

كرات غريبة رباعية الأبعاد وانحناءات غلوك

في الفضاء رباعي الأبعاد، لا يُعرف ما إذا كانت هناك أي بنى ملساء غريبة على الكرة الرباعية الأبعاد. يُعرف الادعاء بعدم وجودها باسم "فرضية بوانكاريه الملساء"، وقد ناقشها مايكل فريدمان وروبرت جومبف وسكوت موريسون وآخرون ( 2010 ) الذين يعتقدون أنها خاطئة. 

من بين المرشحين المقترحين للكرات الرباعية الأبعاد الغريبة، كرات كابيل-شانيسون ( سيلفان كابيل وجوليوس شانيسون ، 1976 ) والكرات المشتقة من التواءات غلوك ( غلوك ، 1962 ) . تُبنى كرات التواء غلوك عن طريق اقتطاع جوار أنبوبي لكرة ثنائية الأبعاد S في S₄ ، ثم إعادة لصقه باستخدام تماثل تبايني لحدودها S₂ × S₁ . وتكون النتيجة دائمًا متماثلة طوبولوجيًا مع S₄ . وقد استُبعدت العديد من الحالات على مر السنين باعتبارها أمثلة مضادة محتملة لتخمين بوانكاريه الرباعي الأبعاد الأملس . على سبيل المثال، كاميرون جوردون ( 1976 ) ، خوسيه مونتيسينوس ( 1983 ) ، ستيفن ب. بلوتنيك ( 1984 ) ، غومبف (1991) ، هابيرو وماروموتو ويامادا (2000) ، سلمان أكبولوت ( 2010 ) ، غومبف (2010) ، كيم ويامادا (2017) .     

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيرنز، م.؛ هيل، م.؛ هوبكنز، م. ج.؛ ماهوالد، م. (2020). "الكشف عن الكرات الغريبة في الأبعاد المنخفضة باستخدام دالة coker J" . مجلة الجمعية الرياضية بلندن . 101 (3): 1173-1218 . arXiv : 1708.06854 . doi : 10.1112/jlms.12301 . ISSN 1469-7750 . S2CID 119170255 .  
  2. ↑ "حساب التفاضلات في متتالية آدمز الطيفية | الرياضيات" . www.math.princeton.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مايو 2025 .
  3. ↑ رانيكي، أندرو؛ رو، جون. "الجراحة للهواة" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 4 يناير 2021.