حلقة

في الهندسة ، يُعرف السطح الحلقي ( جمعه : أسطح حلقية ) بأنه سطح دوراني ينتج عن دوران دائرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد دورة كاملة حول محور يقع في نفس مستوى الدائرة. تشمل الأنواع الرئيسية للأسطح الحلقية : الأسطح الحلقية، والأسطح الحلقية القرنية، والأسطح الحلقية المغزلية. ويُشار أحيانًا إلى السطح الحلقي بشكل عامي باسم " الدونات" .

إذا لم يلامس محور الدوران الدائرة، يكون السطح حلقيًا ويُسمى طارة دورانية ، أو طارة حلقية . أما إذا كان محور الدوران مماسًا للدائرة، فيُسمى السطح طارة قرنية . وإذا مر محور الدوران بالدائرة مرتين، فيُسمى السطح طارة مغزلية (أو طارة متقاطعة ذاتيًا ). وإذا مر محور الدوران بمركز الدائرة، فيُسمى السطح طارة متدهورة، أو كرة مزدوجة التغطية . وإذا لم يكن المنحنى الناتج دائرة، فيُسمى السطح طارة مربعة.

تشمل الأشياء الواقعية التي تقارب شكل الحلقة الدورانية حلقات السباحة ، والأنابيب الداخلية ، وحلقات رياضة الرينجيت .

يختلف الشكل الحلقي عن الشكل الحلقي المصمت ، الذي يتشكل بتدوير قرص ، وليس دائرة، حول محور. الشكل الحلقي المصمت هو شكل حلقي مضافًا إليه الحجم الموجود داخله. من الأمثلة الواقعية التي تُقارب الشكل الحلقي المصمت : حلقات O ، وأطواق النجاة غير القابلة للنفخ ، وحلقات الدونات ، والخبز الدائري (البيغل) .

في علم الطوبولوجيا ، يُعتبر الطارة الحلقية متماثلة شكليًا مع حاصل الضرب الديكارتي لدائرتين : S1 × S1 ^، والذي يُستخدم أحيانًا كتعريف. وهي فضاء ثنائي الأبعاد مضغوط من النوع 1. تُعد الطارة الحلقية إحدى طرق تضمين هذا الفضاء في الفضاء الإقليدي ، ولكن ^هناك طريقة أخرى وهي حاصل الضرب الديكارتي لتضمين S1 في المستوى مع نفسه. ينتج عن ذلك شكل هندسي يُسمى طارة كليفورد ^، وهو سطح في الفضاء الرباعي الأبعاد .

في مجال الطوبولوجيا ، يُعرف الفضاء الحلقي بأنه أي فضاء طوبولوجي متماثل شكليًا مع فضاء حلقي آخر. ^{[ 1 ]} سطح فنجان القهوة وسطح الدونات كلاهما فضاءان حلقيان طوبولوجيان من النوع واحد.

يمكن إنشاء مثال على شكل حلقي عن طريق أخذ شريط مستطيل من مادة مرنة مثل المطاط، وربط الحافة العلوية بالحافة السفلية، والحافة اليسرى بالحافة اليمنى، دون أي لفات نصفية (قارن زجاجة كلاين ).

Torus هي كلمة لاتينية تدل على شيء مستدير، أو انتفاخ، أو ارتفاع، أو بروز.

النصف السفلي والمقاطع العرضية الرأسية

R > r : حلقة حلقية أو حلقة تثبيت

R = r : حلقة قرنية

R < r : حلقة مغزلية متقاطعة ذاتيًا

يمكن تحديد معلمات حلقة الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد على النحو التالي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\cos \theta \\\نهاية {المحاذاة}}}$$ باستخدام الإحداثيات الزاوية${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}$، حيث يمثلان الدوران حول الأنبوب والدوران حول محور دوران الطارة، على التوالي، حيث يمثل نصف القطر الأكبر R المسافة من مركز الأنبوب إلى مركز الطارة، ويمثل نصف القطر الأصغر r نصف قطر الأنبوب. ^{[ 3 ]}

تُسمى النسبة R / r نسبة أبعاد الشكل الحلقي. ويبلغ متوسط ​​نسبة أبعاد حلوى الدونات حوالي 3 إلى 2.

المعادلة الضمنية في الإحداثيات الديكارتية لسطح حلقي متناظر شعاعيًا حول المحور z هي $${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

يؤدي حذف الجذر التربيعي جبرياً إلى معادلة من الدرجة الرابعة . $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

تتوافق الفئات الثلاث للأشكال الحلقية القياسية مع نسب الأبعاد الثلاثة الممكنة بين R و r :

• عندما تكون R > r ، سيكون السطح عبارة عن حلقة حلقية مألوفة أو حلقة تثبيت.
• R = r يتوافق مع الطارة القرنية، والتي هي في الواقع طارة بدون "ثقب".
• R < r يصف الطارة المغزلية المتقاطعة ذاتيًا؛ غلافها الداخلي هو ليمونة وغلافها الخارجي هو تفاحة .
• عندما R = 0 ، يتحول الشكل الحلقي إلى نصف قطر الكرة r .
• عندما يكون r = 0 ، فإن الحلقة تتحول إلى نصف قطر الدائرة R.

عندما يكون R ≥ r ، فإن الجزء الداخلي$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{2}}$$ هذا الشكل الحلقي متماثل (وبالتالي متماثل شكليًا) مع حاصل ضرب قرص مفتوح إقليدي ودائرة. يمكن حساب حجم هذا الشكل الحلقي الصلب ومساحة سطحه بسهولة باستخدام نظرية مركز الثقل لبابوس ، مما يعطي: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$هذه الصيغ هي نفسها المستخدمة لأسطوانة طولها 2πR ونصف قطرها r ، والتي تم الحصول عليها من قطع الأنبوب على طول مستوى دائرة صغيرة، ثم فرده بتقويم الخط المحيط بمركز الأنبوب. وتُعادل الخسائر في مساحة السطح والحجم على الجانب الداخلي للأنبوب تمامًا المكاسب على الجانب الخارجي.

إن التعبير عن مساحة السطح والحجم بالمسافة p من أبعد نقطة على سطح الحلقة إلى المركز، والمسافة q من أقرب نقطة إلى المركز (بحيث يكون R = ⁠ p + q / 2 ⁠ و r = ⁠ p − q / 2 ⁠ )، ينتج $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}}$$بما أن الطارة هي نتاج دائرتين، يُستخدم أحيانًا نظام إحداثيات كروي مُعدَّل. في الإحداثيات الكروية التقليدية، توجد ثلاثة قياسات: R ، وهي المسافة من مركز نظام الإحداثيات، و θ و φ ، وهما الزاويتان المقاستان من نقطة المركز.

بما أن للحلقة مركزين فعليًا، فإن مركزي الزاويتين يتحركان؛ فالزاوية φ تُقاس بنفس الزاوية في النظام الكروي، ولكنها تُعرف بالاتجاه "الحلقي". أما مركز الزاوية θ فيُنقل إلى مركز نصف القطر r ، ويُعرف بالاتجاه "القطبي". وقد استُخدمت هذه المصطلحات لأول مرة في مناقشة المجال المغناطيسي للأرض، حيث استُخدم مصطلح "قطبي" للدلالة على "الاتجاه نحو القطبين". ^{[ 5 ]}

في الاستخدام الحديث، يتم استخدام مصطلحي toroidal و poloidal بشكل أكثر شيوعًا لمناقشة أجهزة الاندماج المغناطيسي المحصور .

^من الناحية الطوبولوجية ، يُعرَّف الطارة بأنه سطح مغلق ناتج ضرب دائرتين : S₁ × S₁ ^. ويمكن اعتبارها واقعة في C₂ ، وهي مجموعة جزئية من الكرة ثلاثية الأبعاد ^S₃ ذات نصف القطر ^√2 . تُسمى هذه الطارة الطوبولوجية أيضًا طارة كليفورد . ^{[ 7 ]} في الواقع، ^تُملأ S₃ بمجموعة من الطارات المتداخلة بهذه الطريقة (بدوائرتين متدهورتين) ، وهي حقيقة مهمة في دراسة S₃ كحزمة ليفية فوق ^S₂ ( حزمة هوبف ⁾ .

السطح الموصوف أعلاه، بالنظر إلى الطوبولوجيا النسبية من R³ ^، متماثل طوبولوجيًا مع طارة طوبولوجية طالما أنه لا يتقاطع مع محوره. ويُعطى تماثل طوبولوجي خاص بإسقاط الطارة الطوبولوجية مجسميًا ^في R³ من القطب الشمالي ^لـ S³ .

يمكن أيضًا وصف الطارة بأنها خارج قسمة المستوى الديكارتي وفقًا للتعريفات

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

أو، بشكل مكافئ، كحاصل قسمة المربع الواحد عن طريق لصق الحواف المتقابلة معًا، والذي يوصف بأنه مضلع أساسي ABA ⁻¹ B ⁻¹ .

إن المجموعة الأساسية للسطح الحلقي هي ببساطة حاصل الضرب المباشر للمجموعة الأساسية للدائرة مع نفسها:

${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathrm {Z} \times \mathrm {Z} .}$^{[ 8 ]}

بمعنى بديهي، هذا يعني أن مسارًا مغلقًا يدور حول "ثقب" الطارة (مثلاً، دائرة تحدد خط عرض معين) ثم يدور حول "جسم" الطارة (مثلاً، دائرة تحدد خط طول معين) يمكن تحويله إلى مسار يدور حول الجسم ثم حول الثقب. لذا، فإن المسارات "العرضية" والمسارات "الطولية" تتبادل. ويمكن تخيل عبارة مماثلة كشريطين يمران عبر بعضهما، ثم ينفكان، ثم يلتفان.

يمكن أيضًا اشتقاق المجموعة الأساسية من خلال اعتبار الطارة ناتج قسمة.${\displaystyle T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$(انظر أدناه)، بحيث${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يمكن اعتبارها غطاءً شاملاً لها ، مع مجموعة تحويل سطح السفينة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{1}(T^{2})}$.

جميع مجموعات التماثل الأعلى الخاصة بها تافهة، نظرًا لأن إسقاط الغطاء العالمي${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\rightarrow X}$يؤدي ذلك دائمًا إلى حدوث تماثلات بين المجموعات${\displaystyle \pi _{n}({\widetilde {X}})}$و${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ل${\displaystyle n>1}$، و${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$قابل للتعاقد .

يحتوي الطارة على مجموعات تماثلية :

${\displaystyle H_{n}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&n=0,2\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,&n=1\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

وبالتالي، فإن مجموعة التماثل الأولى للسطح الحلقي متماثلة مع مجموعتها الأساسية - وهو ما يمكن استنتاجه على وجه الخصوص من نظرية هوريفيتش لأن${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})}$هو أبيلي .

إن مجموعات التماثل ذات المعاملات الصحيحة متماثلة مع مجموعات التماثل - وهو ما يمكن رؤيته إما عن طريق الحساب المباشر أو نظرية المعامل العالمي أو حتى ازدواجية بوانكاريه .

إذا ثُقب شكل حلقي وقُلِبَ رأسًا على عقب، فسينتج شكل حلقي آخر، مع تبديل خطوط الطول والعرض. وهذا يُعادل بناء شكل حلقي من أسطوانة، عن طريق وصل طرفيها الدائريين معًا، بطريقتين: من الخارج كما لو كنا نوصل طرفي خرطوم حديقة، أو من الداخل كما لو كنا نلف جوربًا (مع قطع طرفه). بالإضافة إلى ذلك، إذا صُنعت الأسطوانة بلصق ضلعين متقابلين من مستطيل معًا، فإن اختيار الضلعين الآخرين بدلًا من ذلك سيؤدي إلى نفس انعكاس الاتجاه.

الطارة ثنائية الأبعاد هي غطاء متفرع ثنائي للكرة ثنائية الأبعاد، ولها أربع نقاط تفرع . يمكن تمثيل أي بنية متطابقة على الطارة ثنائية الأبعاد كغطاء ثنائي الطبقات للكرة ثنائية الأبعاد. تُعرف النقاط على الطارة المقابلة لنقاط التفرع بنقاط فايرشتراس . في الواقع، يُحدد نوع الطارة المتطابق بنسبة التقاطع بين النقاط الأربع.

يمكن تعميم شكل الطارة ليشمل أبعادًا أعلى،الطارة ذات البعد n ، والتي تُسمى غالبًابالطارة n أوالطارة الفائقةاختصارًا. (هذا هو المعنى الأكثر شيوعًا لمصطلح "n"، أما المعنى الآخر فيشير إلىnثقب أو من النوعn. ^{[ 9 ]} ) وكما أن الطارة العادية هي فضاء حاصل ضرب دائرتين من الناحية الطوبولوجية، فإنالطارة ذات البعدnمكافئة طوبولوجيًالحاصل ضربnدائرة. أي:

${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.}$

^{الطارة القياسية أحادية} البعد هي الدائرة نفسها: T₁ = S₁ . ^أما الطارة المذكورة أعلاه فهي الطارة القياسية ثنائية البعد، T₂ . وعلى غرار الطارة ثنائية البعد، يمكن وصف الطارة من الرتبة n ، Tₙ ^، بأنها خارج قسمة Rₙ تحت إزاحات صحيحة في أي إحداثية. أي أن الطارة ^من الرتبة n هي Rₙ ^بتردد فعل الشبكة الصحيحة Zₙ ⁽ حيث يُؤخذ الفعل كجمع متجهات). وبالمثل، تُحصل الطارة من الرتبة n من المكعب ^الفائق ذي البعد n عن طريق لصق الأوجه المتقابلة معًا.

يُعدّ الطارة من الرتبة n، بهذا المعنى، مثالاً على مشعب متراص ذي n بُعد . كما يُعدّ مثالاً على زمرة لي أبيلية متراصة . وينتج هذا عن كون دائرة الوحدة زمرة لي أبيلية متراصة (عند تعريفها بالأعداد المركبة للوحدة مع الضرب). ويُعرَّف ضرب الزمر على الطارة بضرب الإحداثيات.

تلعب الزمر الحلقية دورًا هامًا في نظرية زمر لي المدمجة . ويعود ذلك جزئيًا إلى أنه في أي زمرة لي مدمجة G ، يمكن دائمًا إيجاد طارة عظمى ؛ أي زمرة فرعية مغلقة تُشكل طارة ذات أكبر بُعد ممكن. وتلعب هذه الطارات العظمى T دورًا محوريًا في نظرية الزمر G المتصلة . تُعد الزمر الحلقية أمثلة على الطارات الأولية ، وهي (مثل الطارات) زمر أبيلية مدمجة متصلة، ولا يُشترط أن تكون متعددة الشعب .

يمكن بسهولة بناء التشاكلات الذاتية لـ T من التشاكلات الذاتية للشبكة Z ⁿ ، والتي تُصنف بواسطة مصفوفات تكاملية قابلة للعكس من الحجم n مع معكوس تكاملي؛ هذه هي ببساطة المصفوفات التكاملية ذات المحدد ±1 . بجعلها تؤثر على R ⁿ بالطريقة المعتادة، نحصل على التشاكل الذاتي التورالي النموذجي على خارج القسمة.

الزمرة الأساسية لسطح حلقي من الرتبة n هي زمرة أبيلية حرة من الرتبة n . وزمرة التماثل من الرتبة k لسطح حلقي من الرتبة n هي زمرة أبيلية حرة من الرتبة n، حيث k عدد صحيح موجب . ويترتب على ذلك أن خاصية أويلر للسطح الحلقي من الرتبة n تساوي صفرًا لجميع قيم n . حلقة التماثل H ^• (   ${\displaystyle T^{n}}$يمكن تعريف Z ) بالجبر الخارجي على Z - الوحدة النمطية Z n ^التي مولداتها هي ثنائيات الدورات n غير التافهة. 

مساحة التكوين

بما أن الطارة ذات البعد n هي حاصل الضرب n للدائرة، فإنها تمثل فضاء التكوين لـ n نقطة مرتبة، وليست بالضرورة نقاطًا متميزة، على الدائرة. ويرمز لها بالرمز T n = ( S 1 ) n . وبالتالي، فإن فضاء التكوين لنقاط غير مرتبة ، وليست بالضرورة نقاطًا متميزة، هو الفضاء المداري T n / S  n ، وهو خارج قسمة الطارة على المجموعة المتناظرة المكونة من n حرفًا (عن طريق تبديل الإحداثيات).

عندما n = 2 ، يكون الناتج شريط موبيوس ، وهو الحافة التي تُقابل نقاط المدار حيث تتطابق الإحداثيتان. أما عندما n = 3، فيمكن وصف هذا الناتج بأنه طارة صلبة ذات مقطع عرضي مثلث متساوي الأضلاع ، مع التواء ؛ أو بشكل مكافئ، كمنشور ثلاثي تتصل أوجهه العلوية والسفلية بالتواء مقداره 1/3 (120 درجة): يتوافق الجزء الداخلي ثلاثي الأبعاد مع النقاط على الطارة ثلاثية الأبعاد حيث تكون جميع الإحداثيات الثلاثة مختلفة، ويتوافق الوجه ثنائي الأبعاد مع النقاط التي تتساوى فيها إحداثيتان وتختلف الثالثة، بينما تتوافق الحافة أحادية البعد مع النقاط التي تتطابق فيها جميع الإحداثيات الثلاثة.

وجدت هذه الأشكال المدارية تطبيقات مهمة في نظرية الموسيقى في أعمال ديمتري تيموتشكو والمتعاونين معه (فيليبي بوسادا، مايكل كوليناس، وآخرون)، حيث تم استخدامها لنمذجة الثلاثيات الموسيقية . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

الطارة المسطحة هي طارة ذات مقياس موروث من تمثيلها كحاصل قسمة R² / ^L ، حيث L زمرة جزئية منفصلة من R² متماثلة مع Z² . ^هذا يُعطي حاصل القسمة بنية مشعب ريماني ، بالإضافة إلى بنية زمرة لي أبيلية. ولعل أبسط مثال على ذلك هو عندما ^L = Z² : R² ^{/ Z²} ، ^والذي يمكن وصفه أيضًا بأنه المستوى الديكارتي تحت التطابقات ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . تُعرف هذه الطارة المسطحة تحديدًا (وأي نسخة منها ذات مقياس منتظم) باسم الطارة المسطحة المربعة .

يمكن تحقيق هذا المقياس للسطح الحلقي المربع المسطح أيضًا من خلال تضمينات محددة للسطح الحلقي ثنائي الأبعاد المألوف في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد أو أبعاد أعلى. سطحه ذو انحناء غاوسي معدوم في كل مكان. وهو مسطح بنفس معنى أن سطح الأسطوانة مسطح. في ثلاثة أبعاد، يمكن ثني ورقة مسطحة على شكل أسطوانة دون شد الورقة، ولكن لا يمكن ثني هذه الأسطوانة على شكل سطح حلقي دون شد الورقة (إلا إذا تم التنازل عن بعض شروط الانتظام والتفاضل، انظر أدناه).

يكون التضمين الإقليدي البسيط رباعي الأبعاد لسطح مستطيل مسطح (أكثر عمومية من المربع) كما يلي:

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

حيث R و P ثابتان موجبان يحددان نسبة العرض إلى الارتفاع. وهو متماثل شكليًا مع سطح حلقي منتظم ولكنه ليس متساوي القياس . لا يمكن تضمينه تحليليًا ( سطح أملس من الفئة C ^k ، حيث 2 ≤ k ≤ ∞ ) في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. يتطلب تحويله إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد تمديده، وفي هذه الحالة يبدو كسطح حلقي منتظم. على سبيل المثال، في التحويل التالي:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

إذا شكّلت R و P في تمثيل الطارة المسطحة المذكورة أعلاه متجه وحدة ( R , P ) = (cos( η ), sin( η ))، فإن u و v و 0 < η < π/2 تُمثل إحداثيات هوبف للكرة ثلاثية الأبعاد . وبالتحديد، بالنسبة لبعض الخيارات المحددة جدًا للطارة المسطحة المربعة في الكرة ثلاثية الأبعاد S³ ، حيث η = π/4 ^أعلاه ، فإن الطارة ستقسم الكرة ثلاثية الأبعاد إلى مجموعتين فرعيتين متطابقتين من الطارات الصلبة، مع سطح الطارة المسطحة المذكور كحدود مشتركة بينهما . ومن الأمثلة على ذلك الطارة T المعرفة بـ

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in S^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

تشمل التوريات الأخرى في S ³ التي تتمتع بخاصية التقسيم هذه التوريات المربعة من الشكل Q ⋅ T ، حيث Q هو دوران للفضاء رباعي الأبعاد R ⁴ ، أو بعبارة أخرى Q هو عضو في مجموعة لي SO(4) .

من المعروف أنه لا يوجد تضمين من ^النوع C2 (قابل للتفاضل مرتين بشكل مستمر) لسطح حلقي مسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. (تتلخص فكرة البرهان في أخذ كرة كبيرة تحتوي على سطح حلقي مسطح في داخلها، ثم تقليص نصف قطر الكرة حتى تلامس السطح الحلقي لأول مرة. يجب أن تكون نقطة التماس هذه مماسية. لكن هذا يعني أن جزءًا من السطح الحلقي، نظرًا لأن انحنائه معدوم في كل مكان، يجب أن يقع خارج الكرة تمامًا، وهو ما يُعد تناقضًا). من ناحية أخرى، وفقًا لنظرية ناش-كويبر ، التي تم إثباتها في خمسينيات القرن الماضي، يوجد تضمين متساوي القياس من النوع ^C1 . هذا مجرد برهان على الوجود ولا يقدم معادلات صريحة لهذا التضمين.

في أبريل 2012، تم اكتشاف تضمين متساوي القياس صريح من النوع C1 (قابل للتفاضل باستمرار) لسطح حلقي مسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³. ^[ 12 ] [ ^{13 ] [ 14 ] [ 15 ] وهو سطح حلقي مسطح بمعنى} أنه، كفضاء متري، متساوي القياس مع سطح حلقي مربع مسطح. يشبه في بنيته الشكل الكسري ، حيث يتم إنشاؤه عن طريق تكرار تمويج سطح حلقي عادي على نطاقات أصغر. ومثل الأشكال الكسرية، لا يمتلك انحناء غاوسي محدد. ومع ذلك، وعلى عكس الأشكال الكسرية، فإنه يمتلك متجهات عمودية محددة على السطح، مما ينتج عنه ما يسمى "الشكل الكسري الأملس". يكمن سر الحصول على نعومة هذا السطح الحلقي المموج في أن تتناقص سعات التموجات المتتالية بشكل أسرع من "أطوال موجاتها". ^{[ 16 ]} (تُستخدم هذه التموجات المتكررة بلا حدود فقط للتضمين في ثلاثة أبعاد؛ فهي ليست سمة جوهرية للسطح المسطح.) هذه هي المرة الأولى التي يتم فيها تعريف أي تضمين من هذا القبيل بواسطة معادلات صريحة أو تصويره بواسطة رسومات الحاسوب.

في نظرية الأسطح ، توجد عائلة أعمّ من الأجسام، تُعرف بأسطح " الجنس " g . سطح الجنس g هو مجموع متصل لـ g من الأسطح الحلقية الثنائية. (وبالتالي، فإن السطح الحلقي نفسه هو سطح من الجنس 1). لتكوين مجموع متصل لسطحين، يُزال الجزء الداخلي من كل منهما، ثم تُلصق الأسطح معًا على طول الدوائر المحيطة. (أي تُدمج الدائرتان المحيطتان لتصبحا دائرة واحدة). لتكوين مجموع متصل لأكثر من سطحين، يُؤخذ المجموع المتصل لسطحين منها تباعًا حتى تصبح جميعها متصلة. بهذا المعنى، يُشبه سطح الجنس g سطح g من الكعكات الملتصقة جنبًا إلى جنب، أو كرة ثنائية الأبعاد ذات g مقابض.

على سبيل المثال، السطح من الرتبة الصفرية (بدون حدود) هو الكرة الثنائية ، بينما السطح من الرتبة الواحدة (بدون حدود) هو الطارة العادية. تُسمى الأسطح ذات الرتب الأعلى أحيانًا بالطارات ذات الثقوب n (أو نادرًا، الطارات n- المضاعفة). كما يُستخدم مصطلحا الطارة المزدوجة والطارة الثلاثية أحيانًا.

تنص نظرية التصنيف للأسطح على أن كل سطح متصل مضغوط مكافئ طوبولوجيًا إما للكرة أو للمجموع المتصل لعدد من الأسطح الحلقية والأقراص والمستويات الإسقاطية الحقيقية .

الجنس الثاني

الجنس الثالث

تُسمى المجسمات متعددة الأوجه ذات النوع الطوبولوجي للحلقة بالمجسمات متعددة الأوجه الحلقية، ولها خاصية أويلر V − E + F = 0. لأي عدد من الثقوب، تُعمم الصيغة إلى V − E + F = 2 − 2 g ، حيث g هو الجنس الطوبولوجي.

استُخدمت المجسمات الحلقية لإثبات أن الحد الأقصى لعدد الألوان اللازمة لتلوين خريطة على سطح حلقي هو سبعة. يُعد مجسم زيلاسي أحد الأمثلة على المجسمات الحلقية التي تتمتع بهذه الخاصية. ^{[ 17 ]}

يُعدّ المجسم الثنائي لمجسم سيلاسي، وهو مجسم تشاسار ، المجسم الوحيد بخلاف رباعي الأوجه الذي يتمتع بخاصية أن كل حافة ممكنة تربط رأسين هي حافة من حواف المجسم. ^{[ 18 ]}

يستخدم مصطلح "المجسم الحلقي" أيضًا للمجسمات متعددة الأوجه ذات الأجناس الأعلى ولغمر المجسمات الحلقية، على الرغم من أن بعض المؤلفين لا يشملون إلا تلك التي تنتمي إلى الجنس 1. ^{[ 19 ]}

تُحدد طوبولوجيا متعددات السطوح الحلقية ذاتية التقاطع بواسطة طوبولوجيا متعدد الشعب المجرد الخاص بها. ومن بين المجموعات الفرعية لمتعددات السطوح الحلقية ذاتية التقاطع، متعددات السطوح التاجية، وهي متعددات السطوح الحلقية الوحيدة التي تتميز أيضاً بكونها نبيلة .

تُدرس زمرة التشاكل المتماثل (أو الزمرة الجزئية للتفاضلات) للسطح الحلقي في الطوبولوجيا الهندسية . زمرة فئات التطبيقات الخاصة بها (المكونات المتصلة لزمرة التشاكل المتماثل) شاملة على الزمرة.${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} )}$من المصفوفات الصحيحة القابلة للعكس، والتي يمكن تحقيقها كخرائط خطية على فضاء التغطية الشامل${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$التي تحافظ على الشبكة القياسية${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$(هذا يتوافق مع المعاملات الصحيحة) وبالتالي النزول إلى ناتج القسمة.

على مستوى التماثل والتماثل ، يمكن تحديد مجموعة فئات التطبيق على أنها الفعل على التماثل الأول (أو بشكل مكافئ، التماثل المشترك الأول، أو على المجموعة الأساسية ، حيث أن هذه كلها متماثلة بشكل طبيعي؛ كما أن مجموعة التماثل المشترك الأولى تولد جبر التماثل المشترك :

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(T^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbf {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} ).}$

بما أن الطارة هي فضاء إيلنبرغ-ماكلين K ( G , 1 ) ، فإن تكافؤاتها المتماثلة، حتى التماثل، يمكن تحديدها مع التشاكلات الذاتية للمجموعة الأساسية)؛ ​​يمكن تحقيق جميع التكافؤات المتماثلة للطارة بواسطة التشاكلات المتماثلة - كل تكافؤ متماثل متماثل مع تشاكل متماثل.

وبالتالي فإن التسلسل الدقيق القصير لانقسامات مجموعة فئة التعيين (تحديد الطارة على أنها ناتج قسمة${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$يعطي تقسيمًا، عبر الخرائط الخطية، كما هو موضح أعلاه):

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(T^{n})\to \operatorname {Homeo} (T^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(T^{n})\to 1.}$

تُعد مجموعة فئات الخرائط لأسطح الأجناس العليا أكثر تعقيدًا، وهي مجال بحث نشط.

عدد هيوود للسطح الحلقي هو سبعة، مما يعني أن كل رسم بياني يمكن تضمينه على السطح الحلقي له عدد لوني لا يتجاوز سبعة. (بما أن الرسم البياني الكامل${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$يمكن تضمينها على السطح الحلقي، و${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$(الحد الأعلى ضيق). وبالمثل، في سطح حلقي مقسم إلى مناطق، من الممكن دائمًا تلوين المناطق باستخدام سبعة ألوان كحد أقصى بحيث لا تتشابه أي منطقتين متجاورتين في اللون. (قارن ذلك بنظرية الألوان الأربعة للسطح المستوي ).

في الرياضيات التوافقية ، يُعرف طُور دي بروين بأنه مصفوفة من الرموز من أبجدية معينة (غالبًا ما تقتصر على 0 و1) تحتوي على كل مصفوفة من الرتبة m × n مرة واحدة فقط. ويُسمى طُورًا لأن حوافه تُعتبر التفافًا عند البحث عن المصفوفات. ويُشتق اسمه من متتالية دي بروين ، التي تُعتبر حالة خاصة عندما يكون n يساوي 1 (بعد واحد). 

يمكن تقسيم حلقة دوران صلبة بواسطة n (> 0) مستوى إلى عدد أقصى من

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

الأجزاء. ^{[ 20 ]} (يفترض هذا أنه لا يمكن إعادة ترتيب القطع ولكن يجب أن تظل في مكانها لجميع القطع.)

الأرقام الـ 11 الأولى للأجزاء، لـ 0 ≤ n ≤ 10 (بما في ذلك حالة n = 0 ، غير المشمولة بالصيغ المذكورة أعلاه)، هي كما يلي:

1، 2، 6، 13، 24، 40، 62، 91، 128، 174، 230، ... (التسلسل A003600 في OEIS ) .

• علوم الهندسة التحليلية والجبر الخطي ، ISBN 978-970-10-6596-9، المؤلف: كوزاك آنا ماريا، بومبيا باستوريلي سونيا، فيردانيجا بيدرو إميليو، الافتتاحية: ماكجرو هيل، طبعة 2007، 744 صفحة، اللغة: الإسبانية
• ألين هاتشر. الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج، 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• في. في. نيكولين، آي. آر. شافاريفيتش. الهندسات والمجموعات . سبرينغر، 1987. ISBN 3-540-15281-4، ISBN 978-3-540-15281-1.
• "Tore (مفهوم هندسي)" في Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

• إنشاء حلقة عند قطع العقدة
• مقطع عرضي ثلاثي الأبعاد لحلقة رباعية الأبعاد
• "خريطة المنظور العلائقي" تصور البيانات عالية الأبعاد باستخدام الطارة المسطحة
• المضلعات، المضلعات على شكل كعكة الدونات
• مؤرشف في أرشيف الأشباحوآلة Waybackسيكوين ، كارلو هـ (27 يناير 2014). "طوبولوجيا الطارة الملتوية - محب الأرقام" (فيديو) . برادي هاران .
• أندرس ساندبرغ (4 فبراير 2014). "الأرض الحلقية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يوليو 2019 .