عقدة توروس

في نظرية العقد ، تُعدّ عقدة الطارة نوعًا خاصًا من العقد يقع على سطح طارة غير معقودة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ . وبالمثل، فإنّ وصلة الطارة هي وصلة تقع على سطح الطارة بنفس الطريقة. تُحدّد كل عقدة طارة بزوج من الأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها p و q . تنشأ وصلة الطارة إذا لم يكن p و q أوليين فيما بينهما (وفي هذه الحالة يكون عدد المكونات هو القاسم المشترك الأكبر لـ p و q ). تكون عقدة الطارة تافهة (مكافئة للعقدة غير المعقودة) إذا وفقط إذا كان p أو q يساوي 1 أو -1.

أبسط مثال غير تافه هو عقدة (2,3)-الحلقة، والمعروفة أيضًا باسم عقدة البرسيم .

يمكن تمثيل عقدة الطارة هندسيًا بعدة طرق متكافئة طوبولوجيًا (انظر الخصائص أدناه) ولكنها مختلفة هندسيًا. والاتفاقية المستخدمة في هذه المقالة ورسوماتها هي التالية.

تلتف عقدة الطارة ( p , q ) q مرة حول دائرة داخل الطارة، و p مرة حول محور تناظرها الدوراني . ^{[ ملاحظة 1 ]} . إذا لم يكن p و q أوليين فيما بينهما، فسنحصل على وصلة طارة بأكثر من مكون واحد.

يخضع اتجاه التفاف خيوط العقدة حول الطارة لاتفاقيات مختلفة. وأكثرها شيوعًا هو أن تشكل الخيوط لولبًا يمينيًا عندما تكون قيمة pq أكبر من الصفر . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

يمكن تمثيل عقدة الطارة ( p , q ) بواسطة المعلمة

${\displaystyle {\begin{align}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{محاذاة}}}$

أين${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$و${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$يقع هذا على سطح الطارة المعطاة بواسطة${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$(في الإحداثيات الأسطوانية ).

توجد أيضًا معلمات أخرى ممكنة، لأن العقد تُعرَّف حتى التشوه المستمر. ويمكن الحصول على الرسوم التوضيحية لعقد الطارة (2,3) و(3,8) عن طريق أخذ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$وفي حالة عقدة الطارة (2,3) عن طريق طرح على التوالي${\displaystyle 3\cos((pq)\phi )}$و${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$انطلاقًا من المعاملات المذكورة أعلاه لـ x و y . ويمكن تعميم هذه الأخيرة بسلاسة على أي عددين أوليين نسبيًا p و q يحققان${\displaystyle p<q<2p}$.

تكون عقدة الطارة تافهة إذا وفقط إذا كان إما p أو q يساوي 1 أو -1. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

كل عقدة حلقية غير تافهة هي عقدة أولية ^{[ 6 ]} وكيرالية . ^{[ 4 ]}

العقدة الحلقية ( p , q ) مكافئة للعقدة الحلقية ( q , p ). ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]} العقدة الحلقية ( p , -q ) هي الوجه المعكوس (صورة المرآة) للعقدة الحلقية ( p , q ). ^{[ 5 ]} العقدة الحلقية ( -p , -q ) مكافئة للعقدة الحلقية ( p , q ) باستثناء اختلاف الاتجاه.

يمكن صنع أي عقدة حلقية ( p , q ) من جديلة مغلقة مكونة من p خيطًا. كلمة الجديلة المناسبة هي ^{[ 8 ]}

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

(تفترض هذه الصيغة الاصطلاح الشائع بأن مولدات الضفائر هي التواءات يمينية، ^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} وهو ما لا تتبعه صفحة ويكيبيديا حول الضفائر.)

يُعطى عدد التقاطعات لعقدة طارة ( p , q ) حيث p و q > 0 بالصيغة التالية:

c = min(( p − 1) q , ( q − 1) p ).

جنس عقدة الطارة التي يكون فيها p و q > 0 هو

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

متعددة حدود ألكسندر لعقدة الطارة هي ^{[ 3 ] [ 8 ]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$أين${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

تُعطى متعددة حدود جونز لعقدة طارة (يمينية) بالصيغة التالية:

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

إن مكمل عقدة الطارة في الكرة ثلاثية الأبعاد هو مشعب ذو ألياف سيفرت ، مغلف بالقرص بألياف مفردة.

ليكن Y قبعة حمقاء من الرتبة p مع قرص مُزال من داخلها، وZ قبعة حمقاء من الرتبة q مع قرص مُزال من داخلها، و X فضاء القسمة الناتج عن تحديد Y و Z على طول دائرة حدودهما. ينكمش مكمل العقدة لتشويه عقدة الطارة ( p , q ) إلى الفضاء X. لذلك، فإن مجموعة عقدة الطارة لها التمثيل التالي:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

تُعدّ عُقد الطارة العُقد الوحيدة التي تمتلك مجموعات عُقدها مركزًا غير تافه (وهو مركز دوري لانهائي، مُوَلَّد بواسطة العنصر)${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$(كما هو موضح في العرض التقديمي أعلاه).

معامل التمدد لعقدة الطارة ( p , q )، كمنحنى في الفضاء الإقليدي ، هو Ω (min( p , q ))، لذا فإن لعقد الطارة معاملات تمدد غير محدودة. فاز الباحث الجامعي جون باردون بجائزة مورغان لعام 2012 لأبحاثه التي أثبتت هذه النتيجة، والتي حلت مشكلة طرحها ميخائيل غروموف في الأصل . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

تنشأ عقد الطارة ( p , q ) عند دراسة وصلة نقطة تفرد معزولة على سطح فائق معقد. يتم تقاطع السطح الفائق المعقد مع كرة فائقة ، مركزها النقطة المتفردة المعزولة، ونصف قطرها صغير بما يكفي بحيث لا تُحيط بأي نقاط متفردة أخرى ولا تتقاطع معها. يُعطي هذا التقاطع فضاءً فرعياً من الكرة الفائقة.

ليكن p و q عددين صحيحين أوليين فيما بينهما، أكبر من أو يساوي اثنين. لنعتبر الدالة التحليلية${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$مقدم من${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$يترك${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$لتكن مجموعة${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$بحيث${\displaystyle f(w,z)=0.}$بالنظر إلى عدد حقيقي${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$نُعرّف الكرة الثلاثية الحقيقية${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$كما ورد في${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$الوظيفة${\displaystyle f}$توجد نقطة حرجة معزولة عند${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$منذ${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w=z=0.}$وبالتالي، فإننا ندرس بنية${\displaystyle V_{f}}$بالقرب من${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$وللقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار التقاطع${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$هذا التقاطع هو ما يسمى برابط التفرد${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$رابط${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$، حيث يكون p و q أوليين فيما بينهما، وكلاهما أكبر من أو يساوي اثنين، هو بالضبط عقدة ( p ، q ) - توروس. ^{[ 13 ]}

• فك العقدة ، 3 عقدة _واحدة (3،2)، 5 عقدة _واحدة (5،2)، 7 عقدة _واحدة (7،2)، 8 عقدة _واحدة (4،3)، 9 عقدة _واحدة (9،2)، 10 عقدة _واحدة (5،3)

طاولة #	AB	صورة	P	سؤال	يعبر #
0	0 1		1	0	0
3a1	3 1		2	3	3
5a2	5 1		2	5	5
7a7	7 1		2	7	7
8n3	8 19		3	4	8
9a41	9 1		2	9	9
10n21	10 124		3	5	10
11a367			2	11	11
13a4878			2	13	13
14n21881			3	7	14
15n41185			4	5	15
15a85263			2	15	15
16n783154			3	8	16
			2	17	17
			2	19	19
			3	10	20
			4	7	21
			2	21	21
			3	11	22
			2	23	23
			5	6	24
			2	25	25
			3	13	26
			4	9	27
			2	27	27
			5	7	28
			3	14	28
			2	29	29
			2	31	31
			5	8	32
			3	16	32
			4	11	33
			2	33	33
			3	17	34
			6	7	35
			2	35	35
			5	9	36
			7	8	48
			7	9	54
			8	9	63

العقدة الحلقية g هي منحنى مغلق مرسوم على سطح حلقي g . بتعبير أدق، هي الصورة المتماثلة لدائرة في الفضاء S³ والتي يمكن تمثيلها كمجموعة جزئية من جسم مقبض من النوع g في الفضاء S³ (مكمله هو أيضًا جسم مقبض من النوع g ). إذا كانت وصلة ما مجموعة جزئية من جسم مقبض من النوع اثنين، فإنها تُسمى وصلة حلقية مزدوجة . ^{[ 14 ]}

بالنسبة للجنس الثاني، فإن أبسط مثال على عقدة حلقية مزدوجة ليست عقدة حلقية هو عقدة الرقم ثمانية . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• عقدة بديلة
• العقدة الزائدية
• التفاف غير منطقي لسطح حلقي
• عقدة القمر الصناعي

• " 36 عقدة حلقية "، أطلس العقد .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عقدة الطارة" . عالم الرياضيات .
• مُعرِّض عقدة توروس في لغة أكشن سكريبت
• متعة مع عقدة PQ-Torus