نظام الإحداثيات

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة
يُستخدم نظام الإحداثيات الكروية بشكل شائع في الفيزياء . وهو يُخصص ثلاثة أرقام (تُعرف بالإحداثيات) لكل نقطة في الفضاء الإقليدي: المسافة القطرية r ، والزاوية القطبية θ ( ثيتا )، والزاوية السمتية φ ( فاي ). وغالبًا ما يُستخدم الرمز ρ ( رو ) بدلًا من r .

في الهندسة ، يُعرف نظام الإحداثيات بأنه نظام يستخدم عددًا واحدًا أو أكثر ، أو إحداثيات ، لتحديد وتوحيد مواقع النقاط أو العناصر الهندسية الأخرى على سطح متعدد الشعب ، مثل الفضاء الإقليدي . [ 1 ] [ 2 ] لا يمكن استبدال الإحداثيات ببعضها؛ وعادةً ما يتم تمييزها بموقعها في مجموعة مرتبة ، أو بتسمية، مثل " الإحداثي السيني ". تُعتبر الإحداثيات أعدادًا حقيقية في الرياضيات الأساسية ، ولكنها قد تكون أعدادًا مركبة أو عناصر من نظام أكثر تجريدًا، مثل الحلقة التبادلية . يتيح استخدام نظام الإحداثيات تحويل مسائل الهندسة إلى مسائل تتعلق بالأعداد والعكس صحيح ؛ وهذا هو أساس الهندسة التحليلية . [ 3 ]

أنظمة الإحداثيات المشتركة

خط الأرقام

أبسط مثال على نظام إحداثيات أحادي البعد هو تحديد النقاط على خط باستخدام الأعداد الحقيقية عبر خط الأعداد . في هذا النظام، تُختار نقطة عشوائية O (نقطة الأصل ) على خط معين. يُعرَّف إحداثي النقطة P بأنه المسافة الموجهة من O إلى P ، حيث تُعتبر المسافة الموجهة موجبة أو سالبة حسب موقع P على الخط . تُعطى كل نقطة إحداثيًا فريدًا، وكل عدد حقيقي يُمثل إحداثيًا لنقطة فريدة. [ 4 ]

The number line
خط الأعداد

نظام الإحداثيات الديكارتية

نظام الإحداثيات الديكارتية في المستوى
نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ثلاثي الأبعاد

The prototypical example of a coordinate system is the Cartesian coordinate system. In the plane, two perpendicular lines are chosen and the coordinates of a point are taken to be the signed distances to the lines.[5] In three dimensions, three mutually orthogonal planes are chosen and the three coordinates of a point are the signed distances to each of the planes.[6] This can be generalized to create n coordinates for any point in n-dimensional Euclidean space.

Depending on the direction and order of the coordinate axes, the three-dimensional system may be a right-handed or a left-handed system.

Polar coordinate system

Another common coordinate system for the plane is the polar coordinate system.[7] A point is chosen as the pole and a ray from this point is taken as the polar axis. For a given angle θ, there is a single line through the pole whose angle with the polar axis is θ (measured counterclockwise from the axis to the line). Then there is a unique point on this line whose signed distance from the origin is r for given number r. For a given pair of coordinates (r, θ) there is a single point, but any point is represented by many pairs of coordinates. For example, (r, θ), (r, θ+2π) and (−r, θ+π) are all polar coordinates for the same point. The pole is represented by (0, θ) for any value of θ.

Cylindrical and spherical coordinate systems

Cylindrical coordinate system

توجد طريقتان شائعتان لتوسيع نظام الإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. في نظام الإحداثيات الأسطوانية ، تُضاف إحداثية z، التي لها نفس المعنى في الإحداثيات الديكارتية، إلى الإحداثيات القطبية r و θ، مما يُعطي ثلاثية ( r , θ , z ). [ 8 ] أما الإحداثيات الكروية فتُضيف خطوة أخرى بتحويل زوج الإحداثيات الأسطوانية ( r , z ) إلى إحداثيات قطبية ( ρ , φ )، مما يُعطي ثلاثية ( ρ , θ , φ ). [ 9 ]      

نظام إحداثيات متجانس

يمكن تمثيل نقطة في المستوى بإحداثيات متجانسة بثلاثية ( س ، ص ، ع )، حيث س / ع و ص / ع هما الإحداثيات الديكارتية للنقطة. [ 10 ] يُضيف هذا إحداثية "إضافية" نظرًا لأن إحداثيين فقط يكفيان لتحديد نقطة على المستوى، لكن هذا النظام مفيد لأنه يُمثل أي نقطة على المستوى الإسقاطي دون استخدام اللانهاية . عمومًا، نظام الإحداثيات المتجانسة هو نظام تكون فيه نسب الإحداثيات فقط هي المهمة، وليس قيمها الفعلية.  

أنظمة أخرى شائعة الاستخدام

ومن أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى ما يلي:

There are ways of describing curves without coordinates, using intrinsic equations that use invariant quantities such as curvature and arc length. These include:

Coordinates of geometric objects

Coordinates systems are often used to specify the position of a point, but they may also be used to specify the position of more complex figures such as lines, planes, circles or spheres. For example, Plücker coordinates are used to determine the position of a line in space.[11] When there is a need, the type of figure being described is used to distinguish the type of coordinate system, for example the term line coordinates is used for any coordinate system that specifies the position of a line.

It may occur that systems of coordinates for two different sets of geometric figures are equivalent in terms of their analysis. An example of this is the systems of homogeneous coordinates for points and lines in the projective plane. The two systems in a case like this are said to be dualistic. Dualistic systems have the property that results from one system can be carried over to the other since these results are only different interpretations of the same analytical result; this is known as the principle of duality.[12]

Transformations

There are often many different possible coordinate systems for describing geometrical figures. The relationship between different systems is described by coordinate transformations, which give formulas for the coordinates in one system in terms of the coordinates in another system. For example, in the plane, if Cartesian coordinates (x, y) and polar coordinates (r, θ) have the same origin, and the polar axis is the positive x axis, then the coordinate transformation from polar to Cartesian coordinates is given by x = r cosθ and y = r sinθ.

With every bijection from the space to itself two coordinate transformations can be associated:

  • Such that the new coordinates of the image of each point are the same as the old coordinates of the original point (the formulas for the mapping are the inverse of those for the coordinate transformation)
  • بحيث تكون الإحداثيات القديمة لصورة كل نقطة هي نفسها الإحداثيات الجديدة للنقطة الأصلية (صيغ التعيين هي نفسها صيغ تحويل الإحداثيات).

على سبيل المثال، في البعد الواحد ، إذا كان التحويل عبارة عن إزاحة بمقدار 3 إلى اليمين، فإن التحويل الأول ينقل الأصل من 0 إلى 3، بحيث يصبح إحداثي كل نقطة أقل بمقدار 3، بينما يقوم التحويل الثاني بنقل الأصل من 0 إلى -3، بحيث يصبح إحداثي كل نقطة أكثر بمقدار 3.

خطوط/منحنيات الإحداثيات

في نظام إحداثيات، إذا تغير أحد إحداثيات نقطة ما مع ثبات باقي الإحداثيات، يُسمى المنحنى الناتج منحنى إحداثيات . وإذا كان منحنى الإحداثيات خطًا مستقيمًا ، يُسمى خط إحداثيات . أما نظام الإحداثيات الذي لا تكون بعض منحنياته خطوطًا مستقيمة، فيُسمى نظام إحداثيات منحني . [ 13 ] تُعد الإحداثيات المتعامدة حالة خاصة، ولكنها شائعة جدًا، من الإحداثيات المنحنية.

يُطلق على خط الإحداثيات الذي تساوي جميع إحداثياته ​​الثابتة الأخرى صفرًا اسم محور الإحداثيات ، وهو خط موجه يُستخدم لتعيين الإحداثيات. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، جميع منحنيات الإحداثيات عبارة عن خطوط، وبالتالي، يوجد عدد من محاور الإحداثيات يساوي عدد الإحداثيات. علاوة على ذلك، فإن محاور الإحداثيات متعامدة مثنى مثنى .

نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات منحني، حيث تكون منحنيات الإحداثيات عبارة عن خطوط أو دوائر . مع ذلك، يُختزل أحد منحنيات الإحداثيات إلى نقطة واحدة، وهي نقطة الأصل، والتي تُعتبر غالبًا دائرة نصف قطرها صفر. وبالمثل، فإن أنظمة الإحداثيات الكروية والأسطوانية لها منحنيات إحداثيات تكون عبارة عن خطوط أو دوائر أو دوائر نصف قطرها صفر.

يمكن أن تظهر العديد من المنحنيات كمنحنيات إحداثية. على سبيل المثال، المنحنيات الإحداثية للإحداثيات المكافئة هي قطع مكافئ .

مستويات/أسطح الإحداثيات

أسطح إحداثيات الإحداثيات القطعية ثلاثية الأبعاد.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، إذا ثُبِّت أحد الإحداثيات وسُمح للإحداثيين الآخرين بالتغير، يُسمى السطح الناتج سطحًا إحداثيًا . على سبيل المثال، الأسطح الإحداثية الناتجة عن تثبيت ρ في نظام الإحداثيات الكروية هي الكرات التي مركزها نقطة الأصل. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُسمى تقاطع سطحين إحداثيين منحنى إحداثيًا. في نظام الإحداثيات الديكارتية، يُمكننا الحديث عن مستويات إحداثية . وبالمثل، فإن الأسطح الفائقة الإحداثية هي فضاءات ذات ( n -1) بُعد ناتجة عن تثبيت إحداثي واحد في نظام إحداثيات ذي n بُعد. [ 14 ]

خرائط الإحداثيات

يُعدّ مفهوم خريطة الإحداثيات ، أو مخطط الإحداثيات، أساسيًا في نظرية المتشعبات. خريطة الإحداثيات هي في جوهرها نظام إحداثيات لمجموعة جزئية من فضاء مُعطى، بحيث يكون لكل نقطة فيها مجموعة إحداثيات واحدة فقط. بتعبير أدق، خريطة الإحداثيات هي تماثل شكلي من مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء X إلى مجموعة جزئية مفتوحة من Rⁿ . [ 15 ] غالبًا ما يتعذر توفير نظام إحداثيات واحد متسق لفضاء كامل. في هذه الحالة، تُجمع مجموعة من خرائط الإحداثيات لتشكيل أطلس يغطي الفضاء. يُسمى الفضاء المُجهز بهذا الأطلس متشعبًا ، ويمكن تعريف بنية إضافية على المتشعب إذا كانت هذه البنية متسقة عند تداخل خرائط الإحداثيات. على سبيل المثال، المتشعب التفاضلي هو متشعب يكون فيه تغيير الإحداثيات من خريطة إحداثيات إلى أخرى دائمًا دالة قابلة للتفاضل.

إحداثيات قائمة على التوجيه

في الهندسة وعلم الحركة ، تُستخدم أنظمة الإحداثيات لوصف الموضع (الخطي) للنقاط والموضع الزاوي للمحاور والمستويات والأجسام الصلبة . [ 16 ] في الحالة الأخيرة، يُحدد اتجاه نظام إحداثيات ثانٍ (يُشار إليه عادةً باسم "المحلي")، والمثبت على العقدة، بناءً على النظام الأول (يُشار إليه عادةً باسم "العالمي" أو "المركزي"). على سبيل المثال، يمكن تمثيل اتجاه جسم صلب بواسطة مصفوفة اتجاه ، تتضمن في أعمدتها الثلاثة الإحداثيات الديكارتية لثلاث نقاط. تُستخدم هذه النقاط لتحديد اتجاه محاور النظام المحلي؛ وهي رؤوس ثلاثة متجهات وحدة مُحاذية لتلك المحاور.

النظم الجغرافية

The Earth as a whole is one of the most common geometric spaces requiring the precise measurement of location, and thus coordinate systems. Starting with the Greeks of the Hellenistic period, a variety of coordinate systems have been developed based on the types above, including:

See also

Relativistic coordinate systems

References

Citations

  1. ↑Woods p. 1
  2. ↑Weisstein, Eric W."Coordinate System". MathWorld.
  3. ↑Weisstein, Eric W."Coordinates". MathWorld.
  4. ↑Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
  5. ↑Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). Calculus: Multivariable. John Wiley & Sons. p. 657. ISBN 978-1-119-77798-4.
  6. ↑Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
  7. ↑ فيني، روس؛ جورج توماس؛ فرانكلين ديمانا؛ بيرت وايتس (يونيو 1994). حساب التفاضل والتكامل: بياني، عددي، جبري (طبعة متغير واحد ). شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN  0-201-55478-X.
  8. ↑ مارجيناو، هنري ؛ مورفي، جورج م. (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . مدينة نيويورك: دي. فان نوستراند . ص 178. LCCN 55010911. OCLC 3017486 .   
  9. ↑ مورس، ب.م .؛ فيشباخ، هـ. (1953). أساليب الفيزياء النظرية، الجزء الأول . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 658. LCCN 52011515 .  
  10. ↑ جونز، ألفريد كليمنت (1912). مقدمة في الهندسة الجبرية . كلارندون.
  11. ↑ هودج، دبليو في دي ؛ دي. بيدو (1994) [1947]. أساليب الهندسة الجبرية، المجلد الأول (الكتاب الثاني) . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN   978-0-521-46900-5.
  12. ↑ وودز، ص 2
  13. ↑ تانغ، ك. ت. (2006). الأساليب الرياضية للمهندسين والعلماء . المجلد 2. سبرينغر. ص 13. ISBN   3-540-30268-9.
  14. ↑ ليسيكين، فلاديمير د. (2007). منهج الهندسة التفاضلية الحسابية لتوليد الشبكات . سبرينغر. ص 38. ISBN  978-3-540-34235-9.
  15. ↑ مونكرز، جيمس ر. (2000) الطوبولوجيا . برنتيس هول. ISBN 0-13-181629-2.
  16. ↑ هانزبيتر شوب ؛ جون ل. جانكينز (2003). "حركيات الأجسام الصلبة" . الميكانيكا التحليلية لأنظمة الفضاء . المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والفضائية. ص 71. ISBN  1-56347-563-4.

مصادر