الإحداثيات الكسرية

الموسوعة الحرة
خلية وحدة في ثلاثة أبعاد (موضحة بخطوط متقطعة) محددة بواسطة متجهات أساس الشبكة الثلاثةأ1{\displaystyle \mathbf {a} _{1}}،أ2{\displaystyle \mathbf {a} _{2}}، وأ3{\displaystyle \mathbf {a} _{3}}معروضة ضمن نظام إحداثيات ديكارتية.

في علم البلورات ، يُعرف نظام الإحداثيات الكسرية (نظام إحداثيات البلورات) بأنه نظام إحداثيات تُستخدم فيه متجهات الشبكة البلورية (النمط الدوري) لوصف الفضاء. ويحدد اختيار نقطة الأصل والأساس خلية الوحدة، وهي متوازي أضلاع (أي تعميم لمتوازي الأضلاع ثنائي الأبعاد أو متوازي المستطيلات ثلاثي الأبعاد في الأبعاد الأعلى) مُحدد بواسطة متجهات أساس الشبكة.أ1،أ2،...،أد{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}}أيند{\displaystyle d}يمثل بُعد الفضاء. وتُوصَف متجهات الأساس هذه بواسطة معلمات الشبكة (ثوابت الشبكة) التي تتكون من أطوال متجهات أساس الشبكة. أ1،أ2،...،أد{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}}والزوايا بينهماα1،α2،...،αد(د-1)2{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}.

تتضمن معظم الحالات في علم البلورات فضاءً ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد . في الحالة ثلاثية الأبعاد، تكون متجهات الأساسأ1،أ2،أ3{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}}تُعرض عادةً على النحو التالي:أ،ب،ج{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }ويُشار إلى أطوالها بـأ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}على التوالي، والزوايا المشار إليها بـα،β،γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }، حيث جرت العادة،α{\displaystyle \alpha }هي الزاوية بينب{\displaystyle \mathbf {b} }وج{\displaystyle \mathbf {c} }،β{\displaystyle \beta }هي الزاوية بينج{\displaystyle \mathbf {c} }وأ{\displaystyle \mathbf {a} }، وγ{\displaystyle \gamma }هي الزاوية بينأ{\displaystyle \mathbf {a} }وب{\displaystyle \mathbf {b} }.

البنية البلورية

يُعرَّف التركيب البلوري بأنه التوزيع المكاني للذرات داخل البلورة، ويُنمذج عادةً بفكرة نمط بلوري لانهائي . يشير النمط البلوري اللانهائي إلى المصفوفة الدورية ثلاثية الأبعاد اللانهائية التي تُطابق البلورة، حيث لا يمكن تصغير أطوال دورات المصفوفة بشكل تعسفي. يُطلق على الإزاحة الهندسية التي تُسبب تطابق التركيب البلوري مع نفسه اسم إزاحة التناظر (الإزاحة) للتركيب البلوري. ويُسمى المتجه المرتبط بهذه الإزاحة متجه الإزاحة.ت{\displaystyle \mathbf {t} }بما أن نمط البلورة دوري، فإن جميع التركيبات الخطية الصحيحة لمتجهات الإزاحة هي أيضًا متجهات إزاحة بحد ذاتها، [ 1 ]

ت=ج1ت1+ج2ت2 أين ج1،ج2∈Z{\displaystyle \mathbf {t} =c_{1}\mathbf {t} _{1}+c_{2}\mathbf {t} _{2}{\text{ حيث }}c_{1},c_{2}\in \mathbb {Z} }

شعرية

الشبكة المتجهة ( الشبكة )تي{\displaystyle \mathbf {T} }تُعرَّف الشبكة المتجهة بأنها المجموعة اللانهائية التي تتكون من جميع متجهات الإزاحة لنمط بلوري. يُطلق على كل متجه في الشبكة المتجهة اسم متجه الشبكة . ومن الشبكة المتجهة، يُمكن إنشاء شبكة نقطية . ويتم ذلك باختيار نقطة أصل .X0{\displaystyle X_{0}}مع متجه الموضعx0{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}نقاط النهايةXأنا{\displaystyle X_{i}}لكل متجهxأنا=x0+تأنا{\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {t} _{i}}تشكل الشبكة النقطية لـX0{\displaystyle X_{0}}وتي{\displaystyle \mathbf {T} }تتميز كل نقطة في شبكة النقاط بدورية، أي أن كل نقطة متطابقة ولها نفس المحيط. يوجد عدد لا نهائي من شبكات النقاط لشبكة متجهات معينة، بغض النظر عن نقطة الأصل.X0{\displaystyle X_{0}}يمكن اختيارها وإقرانها بمتجهات الشبكة المتجهة. تسمى النقاط أو الجسيمات التي تتطابق مع بعضها البعض من خلال الإزاحة بالمكافئات الإزاحية . [ 1 ]

أنظمة الإحداثيات

أنظمة الإحداثيات العامة

عادةً عند وصف الفضاء هندسيًا، يُستخدم نظام إحداثيات يتكون من اختيار نقطة الأصل وقاعدة الإحداثيات .د{\displaystyle d}متجهات أساسية مستقلة خطيًا وغير مستويةأ1،أ2،...،أد{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}}، أيند{\displaystyle d}يمثل بُعد الفضاء الموصوف. وبالرجوع إلى نظام الإحداثيات هذا، يمكن تحديد كل نقطة في الفضاء بواسطةد{\displaystyle d}إحداثيات (إحداثية)د{\displaystyle d}( مجموعة ). الأصل له إحداثيات(0،0،...،0){\displaystyle (0,0,\dots ,0)}ولأي نقطة إحداثيات(x1،x2،...،xد){\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{d})}متجه الموضعياP→{\displaystyle {\vec {OP}}}إذن،

ياP→=x=∑أنا=1دxأناأأنا{\displaystyle {\vec {OP}}=\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{d}x_{i}\mathbf {a} _{i}}

فيد{\displaystyle d}في الأبعاد -، يُشار إلى أطوال متجهات الأساس بـأ1،أ2،...،أد{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}}والزوايا بينهماα1،α2،...،αد(د-1)2{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}ومع ذلك، فإن معظم الحالات في علم البلورات تتضمن فضاءً ثنائي أو ثلاثي الأبعاد تكون فيه متجهات الأساسأ1،أ2،أ3{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}}تُعرض عادةً على النحو التالي:أ،ب،ج{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }بأطوالها وزواياها المشار إليها بـأ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}وα،β،γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }على التوالى.

نظام الإحداثيات الديكارتية

يُعد نظام الإحداثيات الديكارتية نظامًا شائع الاستخدام ، ويتكون من متجهات أساسية متعامدة . وهذا يعني أن

أ1=|أ1|=أ2=|أ2|=⋯=أد=|أد|=1{\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} _{1}|=a_{2}=|\mathbf {a} _{2}|=\dots =a_{d}=|\mathbf {a} _{d}|=1}وα1=α2=⋯=αد(د-1)2=90∘{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}=90^{\circ }}

ومع ذلك، عند وصف الأجسام ذات البنية البلورية أو الدورية، فإن نظام الإحداثيات الديكارتية غالباً ما لا يكون الأكثر فائدة لأنه لا يعكس في كثير من الأحيان تناظر الشبكة بأبسط طريقة. [ 1 ]

نظام الإحداثيات الكسرية (البلورية)

في علم البلورات ، يُستخدم نظام إحداثيات كسري ليعكس بشكل أفضل تناظر الشبكة الأساسية لنمط البلورة (أو أي نمط دوري آخر في الفضاء). في نظام الإحداثيات الكسري، تُختار متجهات الأساس لنظام الإحداثيات لتكون متجهات الشبكة، ويُطلق على هذا الأساس حينها اسم الأساس البلوري (أو أساس الشبكة ).

في أساس الشبكة، أي متجه شبكيت{\displaystyle \mathbf {t} }يمكن تمثيلها على النحو التالي:

ت=∑أنا=1دجأناأأنا أين جأنا∈سؤال{\displaystyle \mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ حيث }}c_{i}\in \mathbb {Q} }

يوجد عدد لا نهائي من قواعد الشبكة البلورية لنمط بلوري. ومع ذلك، يمكن اختيار هذه القواعد بطريقة تُتيح الحصول على أبسط وصف للنمط. تُستخدم هذه القواعد في المجلد (أ) من الجداول الدولية لعلم البلورات، وتُسمى القواعد التقليدية . قاعدة الشبكة البلوريةأ1،أ2،...،أد{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}}يُطلق عليه اسم "أولي" إذا كانت متجهات الأساس هي متجهات الشبكة وجميع متجهات الشبكةت{\displaystyle \mathbf {t} }يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

ت=∑أنا=1دجأناأأنا أين جأنا∈Z{\displaystyle \mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Z} }

مع ذلك، لا يُختار الأساس التقليدي لنمط البلورة دائمًا ليكون أوليًا. بل يُختار بحيث يكون عدد متجهات الأساس المتعامدة في أعلى قيمة له. ينتج عن ذلك أن بعض معاملات المعادلات المذكورة أعلاه تكون كسرية. تُسمى الشبكة التي يكون أساسها التقليدي أوليًا بالشبكة الأولية ، بينما تُسمى الشبكة ذات الأساس التقليدي غير الأولي بالشبكة المركزية .

يستلزم اختيار نقطة الأصل والأساس اختيار خلية وحدة يمكن استخدامها لاحقًا لوصف نمط البلورة. تُعرَّف خلية الوحدة بأنها متوازي السطوح (أي تعميم لمتوازي الأضلاع (ثنائي الأبعاد) أو متوازي المستطيلات (ثلاثي الأبعاد) في الأبعاد الأعلى) حيث تكون إحداثيات جميع النقاط بحيث:0≤x1،x2،...،xد<1{\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1}.

علاوة على ذلك، يمكن تحويل النقاط الواقعة خارج الخلية الأساسية إلى نقاط داخل الخلية الأساسية من خلال التوحيد القياسي ، أي إضافة أو طرح أعداد صحيحة من إحداثيات النقاط لضمان0≤x1،x2،...،xد<1{\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1}في نظام الإحداثيات الكسرية، تكون أطوال متجهات الأساسأ1،أ2،...،أد{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}}والزوايا بينهماα1،α2،...،αد(د-1)2{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}تُسمى هذه المعاملات بمعاملات الشبكة (ثوابت الشبكة). في بعدين وثلاثة أبعاد، تتوافق هذه المعاملات مع أطوال وزوايا حواف الخلية الأولية. [ 1 ]

الإحداثيات الكسرية لنقطة في الفضاءρ=(ρx1،ρx2،...،ρxد){\displaystyle \rho =(\rho _{x_{1}},\rho _{x_{2}},\dots ,\rho _{x_{d}})}يتم تعريفها بدلالة متجهات أساس الشبكة على النحو التالي:

ρ=ρx1أ1+ρx2أ2+⋯+ρxدأد أين ρ∈[0،1){\displaystyle \rho =\rho _{x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\rho _{x_{2}}\mathbf {a} _{2}+\dots +\rho _{x_{d}}\mathbf {a} _{d}{\text{ where }}\rho \in [0,1)}

الحسابات التي تتضمن الخلية الأولية

التحويلات العامة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية

الأبعاد الثلاثة

يمكن وصف العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية عن طريق تحويل المصفوفةر=أρ{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {A} {\boldsymbol {\rho }}}تأجير​s1=الخطيئة⁡α1{\displaystyle s_{1}=\sin \alpha _{1}}،​​s2=الخطيئة⁡α2{\displaystyle s_{2}=\sin \alpha _{2}}،​​s3=الخطيئة⁡α3{\displaystyle s_{3}=\sin \alpha _{3}}،​​ج1=كوس⁡α1{\displaystyle c_{1}=\cos \alpha _{1}}،​​ج2=كوس⁡α2{\displaystyle c_{2}=\cos \alpha _{2}}، و​ج3=كوس⁡α3{\displaystyle c_{3}=\cos \alpha _{3}}⁠ : [ 2 ]

(رx1رx2رx3)=(أ1s1-1(s1s2)2-(ج3-ج1ج2)200أ1s1-1(ج3-ج1ج2)أ2s10أ1ج2أ2ج1أ3)(ρx1ρx2ρx3){\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}&0&0\\a_{1}s_{1}^{-1}(c_{3}-c_{1}c_{2})&a_{2}s_{1}&0\\a_{1}c_{2}&a_{2}c_{1}&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}}

وبالمثل، يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية مرة أخرى إلى إحداثيات كسرية باستخدام تحويل المصفوفةρ=أ-1ر{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {r} }: [ 2 ]

(ρx1ρx2ρx3)=(1أ1s1-1(s1s2)2-(ج3-ج1ج2)200ج1ج2-ج3أ2s1-1(s1s2)2-(ج3-ج1ج2)21أ2s10ج1ج3-ج2أ3s1(s1s2)2-(ج3-ج1ج2)2-ج1أ3s11أ3)(رx1رx2رx3){\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{a_{1}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&0&0\\{\dfrac {c_{1}c_{2}-c_{3}}{a_{2}s_{1}^{-1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&{\dfrac {1}{a_{2}s_{1}}}&0\\{\dfrac {c_{1}c_{3}-c_{2}}{a_{3}s_{1}{\sqrt {(s_{1}s_{2})^{2}-(c_{3}-c_{1}c_{2})^{2}}}}}&-{\dfrac {c_{1}}{a_{3}s_{1}}}&{\dfrac {1}{a_{3}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}}

التحويلات باستخدام موتر الخلية

تتضمن إحدى الطرق الشائعة الأخرى للتحويل بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية استخدام موتر الخليةح{\displaystyle \mathbf {h} }والتي تحتوي على كل متجه من متجهات الأساس للفضاء معبر عنه بالإحداثيات الديكارتية .

بعدان

موتر الخلية

في الإحداثيات الديكارتية، يتم تمثيل متجهي الأساس بواسطة2×2{\displaystyle 2\times 2}موتر الخليةح{\displaystyle \mathbf {h} }: [ 3 ]

ح=(أ1أ2)تي=(أ1،x1أ1،x2أ2،x1أ2،x2){\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}}

مساحة الخلية الأساسية ،أ{\displaystyle A}، ويتم تحديده بواسطة محدد مصفوفة الخلية :

أ=المحقق(ح)=أ1،x1أ2،x2-أ1،x2أ2،x2{\displaystyle A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}-a_{1,x_{2}}a_{2,x_{2}}}

في الحالة الخاصة للخلية المربعة أو المستطيلة ، تكون المصفوفة قطرية، ولدينا ما يلي:

أ=المحقق(ح)=أ1،x1أ2،x2{\displaystyle A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}}

العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية

يمكن وصف العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية عن طريق تحويل المصفوفةر=حρ{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}: [ 3 ]

(رx1رx2)=(أ1،x1أ1،x2أ2،x1أ2،x2)(ρx1ρx2){\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}}

وبالمثل، يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية مرة أخرى إلى إحداثيات كسرية باستخدام تحويل المصفوفةρ=ح-1ر{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }: [ 3 ]

(ρx1ρx2)=(أ1،x1أ1،x2أ2،x1أ2،x2)-1(رx1رx2){\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}}

الأبعاد الثلاثة

موتر الخلية

في الإحداثيات الديكارتية، يتم تمثيل متجهات الأساس الثلاثة بواسطة3×3{\displaystyle 3\times 3}موتر الخليةح{\displaystyle \mathbf {h} }: [ 3 ]

ح=(أ1أ2أ3)تي=(أ1،x1أ1،x2أ1،x3أ2،x1أ2،x2أ2،x3أ3،x1أ3،x2أ3،x3){\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{3,x_{1}}&a_{3,x_{2}}&a_{3,x_{3}}\end{pmatrix}}}

حجم الخلية الأساسية ،V{\displaystyle V}، يتم تحديده بواسطة محدد موتر الخلية :

V=المحقق(ح)=أ1،x1(أ2،x2أ3،x3-أ2،x3أ3،x2)-أ1،x2(أ2،x1أ3،x3-أ2،x3أ3،x1)-أ1،x3(أ2،x1أ3،x2-أ2،x2أ3،x1){\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}(a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{2}})-a_{1,x_{2}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{1}})-a_{1,x_{3}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{2}}-a_{2,x_{2}}a_{3,x_{1}})}

في الحالة الخاصة للخلية المكعبة أو الرباعية أو المعينية القائمة، تكون المصفوفة قطرية، ولدينا ما يلي:

V=المحقق(ح)=أ1،x1أ2،x2أ3،x3{\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}}

العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية

يمكن وصف العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية عن طريق تحويل المصفوفةر=حρ{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}: [ 3 ]

(رx1رx2رx3)=(أ1،x1أ1،x2أ1،x3أ2،x1أ2،x2أ2،x3أد،x1أد،x2أد،xد)(ρx1ρx2ρx3){\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}}

وبالمثل، يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية مرة أخرى إلى إحداثيات كسرية باستخدام تحويل المصفوفةρ=ح-1ر{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }: [ 3 ]

(ρx1ρx2ρx3)=(أ1،x1أ1،x2أ1،x3أ2،x1أ2،x2أ2،x3أد،x1أد،x2أد،xد)-1(رx1رx2رx3){\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}}

عدد أبعاد عشوائي

موتر الخلية

في الإحداثيات الديكارتيةد{\displaystyle d}يتم تمثيل متجهات الأساس بواسطةد×د{\displaystyle d\times d}موتر الخليةح{\displaystyle \mathbf {h} }: [ 3 ]

ح=(أ1أ2...أد)تي=(أ1،x1أ1،x2...أ1،xدأ2،x1أ2،x2...أ2،xد⋮⋮⋱⋮أد،x1أد،x2...أد،xد){\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\dots &\mathbf {a} _{d}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}}

الحجم الفائق للخلية الأساسية ،V{\displaystyle V}، يتم تحديده بواسطة محدد موتر الخلية :

V=المحقق(ح){\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )}

العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية

يمكن وصف العلاقة بين الإحداثيات الكسرية والإحداثيات الديكارتية عن طريق تحويل المصفوفةر=حρ{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}: [ 3 ]

(رx1رx2⋮رxد)=(أ1،x1أ1،x2...أ1،xدأ2،x1أ2،x2...أ2،xد⋮⋮⋱⋮أد،x1أد،x2...أد،xد)(ρx1ρx2⋮ρxد){\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}}

وبالمثل، يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية مرة أخرى إلى إحداثيات كسرية باستخدام التحويلρ=ح-1ر{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }: [ 3 ]

(ρx1ρx2⋮ρxد)=(أ1،x1أ1،x2...أ1،xدأ2،x1أ2،x2...أ2،xد⋮⋮⋱⋮أد،x1أد،x2...أد،xد)-1(رx1رx2⋮رxد){\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}}

تحديد خصائص الخلية في بعدين وثلاثة أبعاد باستخدام موتر القياس

الموتر المتريجي{\displaystyle \mathbf {G} }يُستخدم أحيانًا في الحسابات التي تتضمن الخلية الأساسية ويتم تعريفه (في شكل مصفوفة) على النحو التالي: [ 1 ]

في بُعدين،

جي=(ز11ز12ز21ز22)=(أ1⋅أ1أ1⋅أ2أ2⋅أ1أ2⋅أ2)=(أ12أ1أ2كوس⁡(α1)أ1أ2كوس⁡(α1)أ22){\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{2}^{2}\end{pmatrix}}}

في ثلاثة أبعاد،

جي=(ز11ز12ز13ز21ز22ز23ز31ز32ز33)=(أ1⋅أ1أ1⋅أ2أ1⋅أ3أ2⋅أ1أ2⋅أ2أ2⋅أ3أ3⋅أ1أ3⋅أ2أ3⋅أ3)=(أ12أ1أ2كوس⁡(α3)أ1أ3كوس⁡(α2)أ1أ2كوس⁡(α3)أ22أ2أ3كوس⁡(α1)أ1أ3كوس⁡(α2)أ2أ3كوس⁡(α1)أ32){\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{2}^{2}&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})&a_{3}^{2}\end{pmatrix}}}

المسافة بين نقطتينسؤال{\displaystyle Q}وR{\displaystyle R}يمكن تحديد قيمة في الخلية الأولية من خلال العلاقة التالية: [ 1 ]

دqر2=∑أنا،جزأناج(رأنا-qأنا)(رج-qج){\displaystyle d_{qr}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}(r_{i}-q_{i})(r_{j}-q_{j})}

المسافة من مركز الخلية الأساسية إلى نقطة ماسؤال{\displaystyle Q}يمكن تحديد ما بداخل الخلية من خلال العلاقة: [ 1 ]

ياسؤال=رq؛رq2=∑أنا،جزأناجqأناqج{\displaystyle OQ=r_{q};r_{q}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}q_{i}q_{j}}

الزاوية المتكونة من ثلاث نقاطسؤال{\displaystyle Q}،P{\displaystyle P}(القمة)، وR{\displaystyle R}يمكن تحديد ما بداخل الخلية من خلال العلاقة: [ 1 ]

كوس⁡(سؤالPR)=(رصq)-1(رصر)-1∑أنا،جزأناج(qأنا-صأنا)(رج-صج){\displaystyle \cos(QPR)=(r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum _{i,j}g_{ij}(q_{i}-p_{i})(r_{j}-p_{j})}

حجم الخلية الأساسية،V{\displaystyle V}يمكن تحديد ذلك من خلال العلاقة: [ 1 ]

V2=المحقق(جي){\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {G} )}

العلاقة بين المسافات الذرية، ومعاملات الشبكة، والإحداثيات الذرية الكسرية

يمكن استخدام الصيغة التالية [ 4 ] لحساب المسافةد{\displaystyle d}بين ذرتين من معلمات الشبكة وإحداثيات الذرات:

د=(أΔx)2+(بΔy)2+(جΔz)2+2بجΔyΔzكوس⁡α+2أجΔxΔzكوس⁡β+2أبΔxΔyكوس⁡γ{\displaystyle d={\sqrt {(a\Delta x)^{2}+(b\Delta y)^{2}+(c\Delta z)^{2}+2bc\Delta y\Delta z\cos \alpha +2ac\Delta x\Delta z\cos \beta +2ab\Delta x\Delta y\cos \gamma }}}

أينΔx{\displaystyle \Delta x}،Δy{\displaystyle \Delta y}وΔz{\displaystyle \Delta z}هي الفروق بين إحداثيات الذرتين. الزاويةω{\displaystyle \omega }يمكن حساب المسافة عند الذرة رقم 2 في مجموعة من ثلاث ذرات 1 و2 و3 من المسافات الثلاث.د12{\displaystyle d_{12}}،د23{\displaystyle d_{23}}ود13{\displaystyle d_{13}}بينهما وفقًا لصيغة جيب التمام:

كوس⁡ω=-د132-د122-د2322د12د23{\displaystyle \cos \omega =-{\sqrt {\frac {d_{13}^{2}-d_{12}^{2}-d_{23}^{2}}{2d_{12}d_{23}}}}}

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 مولر، أولريش، 6 يوليو (2013). علاقات التناظر بين البنى البلورية  : تطبيقات نظرية الزمر البلورية في كيمياء البلورات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-164879-3. OCLC 850179696 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  2. 1 2 ماكي، دنكان (1986). أساسيات علم البلورات . كريستين ماكي. أكسفورد: بلاكويل ساينتيفيك. ISBN 0-632-01566-7. OCLC 14131056 . 
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 علوي، سامان (2020). أساسيات المحاكاة الجزيئية وممارستها . وايلي-VCH (1. إصدار أوفلاج). فاينهايم. رقم ISBN  978-3-527-34105-4. OCLC 1128103696 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  4. ↑ مولر، أولريش (2007). الكيمياء البنيوية غير العضوية ( الطبعة الثانية). تشيتشستر، إنجلترا؛ هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN  978-0-470-01864-4. OCLC 70230778 .