مشكلة الهضبة

في الرياضيات ، تتمثل مسألة بلاتو في إثبات وجود سطح أدنى ذي حدود معينة. تُعتبر هذه المسألة جزءًا من حساب التفاضل والتكامل التغيري . وتُعدّ مسائل الوجود والانتظام جزءًا من نظرية القياس الهندسي . سُميت هذه المسألة نسبةً إلى جوزيف بلاتو .

وقد أثار جوزيف لويس لاغرانج هذه المشكلة لأول مرة في عام 1760. ومع ذلك، فقد سميت على اسم جوزيف بلاتو الذي أجرى تجارب على أغشية الصابون .

تم حل أشكال متخصصة مختلفة من المسألة، ولكن لم يتم التوصل إلى حلول عامة في سياق التحويلات (الغمر) إلا في عام 1930، وذلك بشكل مستقل على يد جيسي دوغلاس وتيبور رادو . كانت أساليبهما مختلفة تمامًا؛ فقد استند عمل رادو إلى عمل رينيه غارنييه السابق، واقتصر على المنحنيات المغلقة البسيطة القابلة للتصحيح ، بينما استخدم دوغلاس أفكارًا جديدة تمامًا، وكانت نتيجته قابلة للتطبيق على أي منحنى مغلق بسيط. اعتمد كلاهما على صياغة مسائل تصغير؛ حيث قام دوغلاس بتصغير التكامل الذي يُعرف الآن باسم تكامل دوغلاس، بينما قام رادو بتصغير "الطاقة". حصل دوغلاس على ميدالية فيلدز عام 1936 تقديرًا لجهوده.

توسيع نطاق المشكلة إلى أبعاد أعلى (أي، لـ${\displaystyle k}$الأسطح ذات الأبعاد في${\displaystyle n}$تبين أن دراسة الفضاء ذي الأبعاد n أكثر صعوبة بكثير. علاوة على ذلك، فبينما تكون حلول المسألة الأصلية منتظمة دائمًا، تبين أن حلول المسألة الموسعة قد تحتوي على نقاط شاذة إذا${\displaystyle k\leq n-2}$في حالة السطح الفائق حيث${\displaystyle k=n-1}$، تحدث حالات التفرد فقط لـ${\displaystyle n\geq 8}$ومن الأمثلة على هذا الحل الشاذ لمسألة بلاتو مخروط سيمونز ، وهو مخروط فوق${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$وُصفت هذه المسألة لأول مرة من قِبل جيم سيمونز، وأثبت بومبيري ودي جورجي وجيوستي أنها تُقلل المساحة . [ 1 ] ولحل ^{المسألة الموسعة في} حالات خاصة معينة، طُوّرت نظرية المحيطات ( دي جورجي ) للبعد المشترك 1، ونظرية التيارات القابلة للتقويم ( فيدرر وفليمنج) للأبعاد المشتركة الأعلى. تضمن هذه النظرية وجود حلول للبعد المشترك 1 تكون سلسة بعيدًا عن مجموعة مغلقة ذات بُعد هاوسدورف.${\displaystyle n-8}$في حالة الأبعاد المشتركة الأعلى، أثبت ألمغرين وجود حلول بمجموعة مفردة ذات بُعد لا يتجاوز${\displaystyle k-2}$في نظرية الانتظام الخاصة به . قام إس إكس تشانغ، وهو أحد طلاب ألمغرين، بالبناء على عمل ألمغرين لإثبات أن نقاط التفرد في التيارات التكاملية ثنائية الأبعاد التي تقلل المساحة (في أي بُعد مشترك) تُشكل مجموعة منفصلة محدودة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يتناول المنهج البديهي لجيني هاريسون وهاريسون بو ^{[ 4 ]} طيفًا واسعًا من الحالات الخاصة. وعلى وجه الخصوص، يحلّان مسألة بلاتو غير المتناحية في أي بُعد وبُعد مشترك لأي مجموعة من المجموعات القابلة للتصحيح التي تُحقق مزيجًا من شروط الامتداد المتجانسة أو المتجانسة المشتركة أو المتجانسة. وقد حصل كاميلو دي ليليس وفرانشيسكو غيرالدين وفرانشيسكو ماجي على برهان مختلف لنتائج هاريسون بو ^{[ 5 ] .}

يتم تمثيل أغشية الصابون الفيزيائية بشكل أكثر دقة بواسطة:${\displaystyle (M,0,\Delta )}$مجموعات فريدريك ألمغرين الدنيا ، لكن غياب نظرية التراص يجعل إثبات وجود مُصغِّر للمساحة أمرًا صعبًا. في هذا السياق، ظلّ السؤال المفتوح حول وجود غشاء صابوني ذي مساحة دنيا قائمًا. وقد حلّ إرنست روبرت رايفنبرغ "مسألة بلاتو الشاملة" للحدود المتماثلة شكليًا مع كرات مفردة مغمورة.

• فرضية الفقاعة المزدوجة
• مبدأ ديريشليه
• قوانين بلاتو
• طريقة الشبكة الممتدة
• مشكلة برنشتاين

• دوغلاس، جيسي (1931). "حل مسألة بلاتو" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 33 (1): 263-321 . doi : 10.2307/1989472 . JSTOR 1989472 . 
• ريفنبرغ، إرنست روبرت (1960). "حل مسألة {بلاتو} للأسطح ذات الأبعاد m من أنواع طوبولوجية مختلفة" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 104 (2): 1-92 . doi : 10.1007/bf02547186 .
• فومينكو، أ. ت. (1989). مشكلة الهضبة: دراسة تاريخية . ويليستون، فيرمونت: جوردون وبريتش. رقم ISBN 978-2-88124-700-2.
• مورغان، فرانك (2009). نظرية القياس الهندسي: دليل للمبتدئين . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-374444-9.
• أونيل، تي سي (2001) [1994]، "نظرية القياس الهندسي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• رادو، تيبور (1930). "حول مسألة بلاتو". حوليات الرياضيات 2. 31 (3): 457-469 . Bibcode : 1930AnMat..31..457R . doi : 10.2307/1968237 . JSTOR 1968237 . 
• سترو، مايكل (1989). مسألة بلاتو وحساب التفاضل والتكامل . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-08510-4.
• ألمغرين، فريدريك (1966). مسألة بلاتو، دعوة إلى الهندسة متعددة الأبعاد . نيويورك-أمستردام: بنجامين. ISBN 978-0-821-82747-5.

• هاريسون، جيني؛ بو، هاريسون (2016). مسائل مفتوحة في الرياضيات (مسألة بلاتو) . سبرينغر. arXiv : 1509.03797 . doi : 10.1007/978-3-319-32162-2 . ISBN 978-3-319-32160-8.

تتضمن هذه المقالة مواد من كتاب Plateau's Problem على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .