خطأ التقريب

يمثل خطأ التقريب في قيمة بيانات معينة التباين الكبير الذي ينشأ عند مقارنة القيمة الحقيقية الدقيقة بقيمة تقريبية مشتقة منها. ويمكن قياس هذا الخطأ المتأصل في التقريب والتعبير عنه بطريقتين رئيسيتين: كخطأ مطلق ، والذي يشير إلى القيمة العددية المباشرة لهذا التباين بغض النظر عن مقياس القيمة الحقيقية، أو كخطأ نسبي ، والذي يوفر مقياسًا متناسبًا للخطأ من خلال اعتبار الخطأ المطلق متناسبًا مع قيمة البيانات الدقيقة، مما يوفر تقييمًا لأهمية الخطأ يعتمد على السياق.

قد ينشأ خطأ التقريب نتيجةً لأسبابٍ عديدة ومتنوعة. ومن أبرز هذه الأسباب القيود المتعلقة بدقة أجهزة الحوسبة ، حيث لا تستطيع الأنظمة الرقمية تمثيل جميع الأعداد الحقيقية بدقةٍ تامة، مما يؤدي إلى اقتطاع أو تقريب لا مفر منه. ومن المصادر الشائعة الأخرى خطأ القياس المتأصل ، والناجم عن القيود العملية للأجهزة، أو العوامل البيئية، أو عمليات الرصد (على سبيل المثال، إذا كان الطول الفعلي لقطعة من الورق 4.53  سم بالضبط، ولكن المسطرة لا تسمح إلا بالتقدير لأقرب 0.1  سم، فقد يؤدي هذا القيد إلى تسجيل قياس 4.5  سم، مما يُدخل خطأً).

في مجال التحليل العددي ، يُعدّ مفهوم الاستقرار العددي، المرتبط بالخوارزمية ، أساسيًا لتحديد مدى احتمالية انتشار الأخطاء أو الاضطرابات الأولية في بيانات الإدخال، وتضخيمها لتتحول إلى أخطاء جوهرية في المخرجات النهائية. تتميز الخوارزميات المستقرة عدديًا بالمتانة، إذ لا تُنتج خطأً متضخمًا بشكل ملحوظ في مخرجاتها حتى عند وجود تشوهات طفيفة في بيانات الإدخال أو احتوائها على أخطاء بسيطة. في المقابل، قد تُظهر الخوارزميات غير المستقرة عدديًا نموًا كبيرًا في الخطأ نتيجةً لتغيرات طفيفة في بيانات الإدخال، مما يجعل نتائجها غير موثوقة. ^{[ 1 ]}

بالنظر إلى قيمة حقيقية أو دقيقة v ، فإننا نذكر رسميًا أن التقريب v _يقدر أو يمثل v حيث يكون مقدار الخطأ المطلق محدودًا بقيمة موجبة ε (أي ε > 0)، إذا تحققت المتباينة التالية: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \varepsilon }$

حيث تشير الخطوط العمودية، | |، بشكل لا لبس فيه إلى القيمة المطلقة للفرق بين القيمة الحقيقية v وقيمتها التقريبية v _approx . تدل هذه العملية الرياضية على مقدار الخطأ، بغض النظر عما إذا كان التقريب تقديرًا زائدًا أو ناقصًا.

وبالمثل، نذكر أن v _approx تقارب القيمة v حيث يكون مقدار الخطأ النسبي محدودًا بقيمة موجبة η (أي η > 0)، بشرط ألا تكون v صفرًا ( v ≠ 0)، إذا تحققت المتباينة التالية:

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot |v|}$.

يضمن هذا التعريف أن η يمثل حدًا أعلى لنسبة الخطأ المطلق إلى قيمة القيمة الحقيقية. إذا كانت v ≠ 0، فإن الخطأ النسبي الفعلي ، والذي يُرمز إليه غالبًا بـ η في هذا السياق (ويمثل القيمة المحسوبة وليس حدًا)، يُحسب بدقة كما يلي:

$\displaystyle \eta ={\frac {|v-v_{\text{approx}}|}{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$.

لاحظ أن الحد الأول في المعادلة أعلاه يحدد ضمنيًا `ε` على أنه `|v-v_approx|` إذا كان `η` هو `ε/|v|`.

يُعد الخطأ النسبي ، والذي يُشار إليه غالبًا بالرمز δ ، طريقة شائعة وبديهية للتعبير عن الخطأ النسبي، حيث يقوم فعليًا بتحويل قيمة الخطأ النسبي إلى نسبة مئوية لتسهيل تفسيرها ومقارنتها عبر سياقات مختلفة:

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

يُحدد حد الخطأ بدقة حدًا أعلى ثابتًا إما للمقدار النسبي أو المطلق لخطأ التقريب. وبذلك، يوفر هذا الحد ضمانًا رسميًا لأقصى انحراف ممكن للتقريب عن القيمة الحقيقية، وهو أمر بالغ الأهمية في التطبيقات التي تتطلب مستويات معروفة من الدقة. ^{[ 3 ]}

To illustrate these concepts with a numerical example, consider an instance where the exact, accepted value is 50, and its corresponding approximation is determined to be 49.9. In this particular scenario, the absolute error is precisely 0.1 (calculated as |50 − 49.9|), and the relative error is calculated as the absolute error 0.1 divided by the true value 50, which equals 0.002. This relative error can also be expressed as 0.2%. In a more practical setting, such as when measuring the volume of liquid in a 6 mL beaker, if the instrument reading indicates 5 mL while the true volume is actually 6 mL, the percent error for this particular measurement situation is, when rounded to one decimal place, approximately 16.7% (calculated as |(6 mL − 5 mL) / 6 mL| × 100%).

The utility of relative error becomes particularly evident when it is employed to compare the quality of approximations for numbers that possess widely differing magnitudes; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 results in a relative error of 0.003 (or 0.3%). This is, within the context of most scientific or engineering applications, considered a significantly less accurate approximation than approximating the much larger number 1,000,000 with an identical absolute error of 3. In the latter case, the relative error is a mere 0.000003 (or 0.0003%). In the first case, the relative error is 0.003, whereas in the second, more favorable scenario, it is a substantially smaller value of only 0.000003. This comparison clearly highlights how relative error provides a more meaningful and contextually appropriate assessment of precision, especially when dealing with values across different orders of magnitude.

هناك سمتان أو محذوفان أساسيان مرتبطان بتفسير وتطبيق الخطأ النسبي، يجب مراعاتهما دائمًا. أولًا، يصبح الخطأ النسبي غير مُعرَّف رياضيًا عندما تكون القيمة الحقيقية ( v ) صفرًا، لأن هذه القيمة الحقيقية تظهر في مقام حسابه (كما هو مُفصَّل في التعريف الرسمي المذكور أعلاه)، والقسمة على صفر عملية غير مُعرَّفة. ثانيًا، يكون مفهوم الخطأ النسبي ذا معنى حقيقي وقابلًا للتفسير بشكل متسق فقط عندما تُجرى القياسات قيد الدراسة على مقياس نسبي . يتميز هذا النوع من المقاييس بوجود نقطة صفر حقيقية غير اعتباطية، مما يدل على الغياب التام للكمية المقاسة. إذا لم يتحقق هذا الشرط للمقياس النسبي (على سبيل المثال، عند استخدام مقاييس الفترات مثل درجة الحرارة المئوية)، فقد يصبح الخطأ النسبي المحسوب شديد الحساسية لاختيار وحدات القياس، مما قد يؤدي إلى تفسيرات مُضلِّلة. على سبيل المثال، عندما يكون الخطأ المطلق في قياس درجة الحرارة على مقياس سيليزيوس 1  درجة مئوية، والقيمة الحقيقية 2  درجة مئوية، يكون الخطأ النسبي 0.5 (أو 50%، محسوبًا كـ |1  درجة مئوية / 2  درجة مئوية|). مع ذلك، إذا تم إجراء نفس التقريب، الذي يمثل نفس فرق درجة الحرارة الفيزيائي، باستخدام مقياس كلفن (وهو مقياس نسبي حيث  يمثل 0 كلفن الصفر المطلق)، فإن  خطأً مطلقًا قدره 1 كلفن (يعادل في مقداره خطأً قدره 1  درجة مئوية) مع نفس القيمة الحقيقية البالغة 275.15  كلفن (والتي تعادل 2  درجة مئوية) يعطي خطأً نسبيًا مختلفًا بشكل ملحوظ يبلغ حوالي 0.00363، أو حوالي 3.63 × 10^-3 (محسوبة كـ |1 كلفن / 275.15 كلفن|). هذا التباين يؤكد أهمية مقياس القياس الأساسي.

عند مقارنة سلوك وخصائص هذين النوعين الأساسيين من الأخطاء، من المهم إدراك اختلاف حساسيتهما للعمليات الحسابية الشائعة. فعلى وجه التحديد، تتأثر العبارات والاستنتاجات المتعلقة بالأخطاء النسبية بشكل ملحوظ بإضافة ثابت غير صفري إلى القيم الحقيقية والمُقَرَّبة، إذ تُغيِّر هذه الإضافة القيمة الأساسية التي يُقاس عليها الخطأ، وبالتالي تُغيِّر النسبة. مع ذلك، لا تتأثر الأخطاء النسبية بضرب كلٍّ من القيم الحقيقية والمُقَرَّبة بنفس الثابت غير الصفري، لأن هذا الثابت سيظهر في كلٍّ من بسط (الخطأ المطلق) ومقام (القيمة الحقيقية) حساب الخطأ النسبي، وبالتالي سيُلغى، مما يُبقي الخطأ النسبي دون تغيير. في المقابل، بالنسبة للأخطاء المطلقة ، تسري علاقة معاكسة: فالأخطاء المطلقة حساسة بشكل مباشر لضرب القيم الأصلية بثابت (لأن هذا يُغير حجم الفرق نفسه)، لكنها غير حساسة إلى حد كبير لإضافة ثابت إلى هذه القيم (لأن إضافة نفس الثابت إلى كل من القيمة الحقيقية وتقريبها لا يُغير الفرق بينهما: ( v + c) − ( v _approx + c) = v − v _approx ). ^{[ 4 ] : ​​34}

في مجال نظرية التعقيد الحسابي ، نُعرّف أن القيمة الحقيقية v قابلة للحساب في زمن متعدد الحدود مع خطأ مطلق من مُدخل مُعطى، إذا كان من الممكن حساب عدد نسبي مُحدد ε > 0 يُمثل الحد الأقصى المسموح به للخطأ المطلق، خوارزميًا، حساب عدد نسبي v _approx بحيث يُقارب v _{approx القيمة} v بخطأ مطلق لا يتجاوز ε (بصورة رسمية، | v − v _approx | ≤ ε ). ومن الأهمية بمكان أن يكون هذا الحساب قابلاً للإنجاز خلال مدة زمنية متعددة الحدود بدلالة حجم بيانات الإدخال وحجم ترميز ε (والذي يكون عادةً من رتبة O(log(1/ ε )) بت، مما يعكس عدد البتات اللازمة لتمثيل الدقة). وبالمثل، تُعتبر القيمة v قابلة للحساب في وقت متعدد الحدود مع خطأ نسبي إذا كان من الممكن، لأي عدد نسبي محدد η > 0 يمثل الحد الأقصى المسموح به للخطأ النسبي، حساب عدد نسبي v _approx يُقارب v بخطأ نسبي لا يتجاوز η (بشكل رسمي، |( v − v _approx )/ v | ≤ η ، بافتراض أن v ≠ 0). يجب أن يكون هذا الحساب، على غرار حالة الخطأ المطلق، قابلاً للتنفيذ في وقت متعدد الحدود بالنسبة لحجم بيانات الإدخال وحجم ترميز η (والذي يكون عادةً O(log(1/ η )) بت).

يمكن إثبات أنه إذا كانت القيمة v قابلة للحساب متعدد الحدود مع خطأ نسبي (باستخدام خوارزمية يمكننا تسميتها REL)، فإنها بالتالي قابلة للحساب متعدد الحدود مع خطأ مطلق. ملخص البرهان : ليكن ε > 0 هو الحد الأقصى للخطأ المطلق المستهدف. تبدأ العملية باستدعاء خوارزمية REL مع حد خطأ نسبي مُختار، على سبيل المثال، η = 1/2. تهدف هذه الخطوة الأولية إلى إيجاد تقريب عددي نسبي r₁ بحيث تتحقق المتباينة |v - r₁ | ≤ | v | / 2 . _من هذه العلاقة ، بتطبيق متباينة المثلث العكسية (| v | - r₁ _| ≤ | v - r₁ _| ) _، نستنتج أن | v | ≤ 2| r₁ _| (ينطبق هذا بافتراض أن r1 _≠ 0؛ إذا كان _r1 = 0، فإن شرط الخطأ النسبي يستلزم أن تكون v تساوي 0 أيضًا، وفي هذه الحالة تصبح مشكلة تحقيق أي خطأ مطلق ε > 0 بسيطة، حيث أن v _approx = 0 تعمل، وبذلك نكون قد انتهينا). نظرًا لأن خوارزمية REL تعمل في وقت متعدد الحدود، فإن طول ترميز r1 المحسوب _سيكون بالضرورة متعدد الحدود بالنسبة لحجم المدخلات. بعد ذلك، يتم استدعاء خوارزمية REL مرة ثانية، الآن مع هدف خطأ نسبي جديد، أصغر بكثير عادةً، مُعيّن إلى η ' = ε / (2| r1 |) (تفترض هذه الخطوة أيضًا _أن r1 غير صفري، وهو ما يمكننا ضمانه أو التعامل معه كحالة خاصة). ينتج عن هذا التطبيق الثاني لخوارزمية REL تقريبًا آخر للأعداد النسبية، _r2 ، _الذي يحقق الشرط | v − r2 | ≤ η _' | بتعويض قيمة η ' _، نحصل على | v − r² | ≤ ( ε / (2| r¹ _| )) | v |. الآن، باستخدام المتباينة المشتقة سابقًا | v | ≤ 2| r¹ _| ، يمكننا تحديد قيمة الحد: | v − r² | _≤ ( ε / (2| r¹ _| )) × (2| r¹ _||) = ε . وبالتالي، فإن التقريب r² يُقارب v بنجاح _بالخطأ المطلق المطلوب ε ، مما يُثبت أن قابلية الحساب متعددة الحدود مع الخطأ النسبي تستلزم قابلية الحساب متعددة الحدود مع الخطأ المطلق. ^{[ 4 ] : ​​34}

إن الاستنتاج العكسي، أي أن قابلية الحساب متعددة الحدود مع الخطأ المطلق تستلزم قابلية الحساب متعددة الحدود مع الخطأ النسبي، لا يصح عمومًا دون فرض شروط أو افتراضات إضافية. مع ذلك، توجد حالة خاصة مهمة: إذا أمكن افتراض أن حدًا أدنى موجبًا b على مقدار v (أي | v | > b > 0) يمكن حسابه في زمن متعدد الحدود، وإذا كان من المعروف أيضًا أن v قابلة للحساب متعددة الحدود مع الخطأ المطلق (ربما عبر خوارزمية تُسمى ABS)، فإن v تصبح أيضًا قابلة للحساب متعددة الحدود مع الخطأ النسبي. وذلك لأنه يمكن ببساطة استدعاء خوارزمية ABS مع اختيار دقيق للخطأ المطلق المستهدف، وتحديدًا _εtarget = ηb ، حيث η هو الخطأ النسبي المطلوب. سيحقق التقريب الناتج vapprox _{الشرط |} v − vapprox _| ≤ ηb . ولرؤية دلالة ذلك على الخطأ النسبي _، نقسم على | v | (وهي قيمة غير صفرية): |( v − vapprox )/ v | ≤ ( ηb )/| v |. بما أن لدينا الشرط | v | > b ، فإنه يترتب على ذلك أن b /| v | < 1. لذلك، فإن الخطأ النسبي محدود بـ η × ( b /| v |) < η × 1 = η ، وهي النتيجة المرجوة لحسابات متعددة الحدود مع الخطأ النسبي.

تُعرف الخوارزمية التي تُحسب بنجاح، لكل عدد نسبي مُعطى η > 0، عددًا نسبيًا v _approx يُقارب v بخطأ نسبي لا يتجاوز η ، والأهم من ذلك، أنها تُنجز ذلك في تعقيد زمني متعدد الحدود بالنسبة لحجم المُدخلات ومقلوب الخطأ النسبي 1/ η (بدلاً من كونه متعدد الحدود بالنسبة لـ log(1/ η ) فقط، مما يسمح عادةً بحساب أسرع عندما تكون η صغيرة للغاية)، باسم مخطط التقريب متعدد الحدود بالكامل (FPTAS) . ويُعد الاعتماد على 1/ η بدلاً من log(1/ η ) سمة مميزة لـ FPTAS، وهو ما يُميزها عن مخططات التقريب الأضعف.

في سياق معظم أجهزة القياس المؤشرة، مثل الفولتميترات التناظرية أو الرقمية، ومقاييس الضغط، ومقاييس الحرارة، غالبًا ما يضمن مصنّعوها دقة القياس كنسبة مئوية من نطاق قراءة الجهاز الكامل، وليس كنسبة مئوية من القراءة الفعلية. تُعرف الحدود أو القيود المحددة لهذه الانحرافات المسموح بها عن القيم الحقيقية أو المحددة في ظروف التشغيل باسم أخطاء الحد، أو أخطاء الضمان. تعني هذه الطريقة في تحديد الدقة أن الحد الأقصى للخطأ المطلق قد يكون أكبر عند قياس القيم في الطرف الأعلى من نطاق الجهاز، بينما يظل الخطأ النسبي بالنسبة لقيمة النطاق الكامل ثابتًا عبر النطاق. وبالتالي، قد يصبح الخطأ النسبي بالنسبة للقيمة المقاسة الفعلية كبيرًا جدًا عند القراءات في الطرف الأدنى من نطاق الجهاز. ^{[ 5 ]}

يمكن توسيع التعريفات الأساسية للخطأ المطلق والنسبي، كما هي معروضة في المقام الأول للقيم العددية (أحادية البعد)، بشكل طبيعي ودقيق لتشمل سيناريوهات أكثر تعقيدًا حيث تكون الكمية محل الاهتمام${\displaystyle v}$وما يقابله من تقريب${\displaystyle v_{\text{approx}}}$هي متجهات أو مصفوفات ذات أبعاد n ، أو بشكل أعم، عناصر فضاء متجهي معياري . يتحقق هذا التعميم المهم عادةً باستبدال دالة القيمة المطلقة (التي تقيس فعليًا المقدار أو "الحجم" للأعداد العددية) بمعيار متجهي مناسب ذي أبعاد n أو معيار مصفوفة . من الأمثلة الشائعة على هذه المعايير: معيار L1 ₍ مجموع القيم المطلقة للمكونات)، ومعيار L2 ₍ المعيار الإقليدي، أو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المكونات)، ومعيار L∞ ₍ أقصى قيمة مطلقة للمكون). توفر هذه المعايير طريقة لتحديد "المسافة" أو "الفرق" بين المتجه (أو المصفوفة) الحقيقي وتقريبه في فضاء متعدد الأبعاد، مما يسمح بتعريفات مماثلة للخطأ المطلق والنسبي في هذه السياقات ذات الأبعاد الأعلى. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، عند التعامل مع معالجة الصور ، حيث تُمثل الصور غالبًا كمصفوفات، يُستخدم معيار فروبينيوس بشكل متكرر لتحديد الفرق الكلي بين الصورة الأصلية ونسخة مضغوطة أو مُعاد بناؤها. في النمذجة الإحصائية باستخدام البيانات المتجهة، يعتبر المعيار خيارًا شائعًا لتقييم أداء النموذج نظرًا لخصائصه التحليلية.

• القيمة المقبولة والتجريبية
• رقم الحالة
• الأخطاء والبواقي في الإحصاء
• تحليل عدم اليقين التجريبي
• آلة إبسيلون
• خطأ القياس
• عدم اليقين في القياس
• انتشار عدم اليقين
• خطأ التكميم
• الفرق النسبي
• خطأ التقريب
• ريبة

• وايسستين، إريك دبليو. “النسبة المئوية للخطأ” . عالم الرياضيات .