تحليل عدم اليقين التجريبي

هناك ثلاث كميات يجب قياسها: (1) طول البندول، من نقطة تعليقه إلى مركز كتلة "الثقل"؛ (2) زمن التذبذب ؛ (3) زاوية الإزاحة الابتدائية. يُفترض أن يكون الطول ثابتًا في هذه التجربة، ويُقاس مرة واحدة، مع إمكانية تكرار القياسات وحساب متوسط ​​النتائج.

يجب تحديد زاوية الإزاحة الابتدائية لكل قياس متكرر للدورة T ، ويُفترض أن هذه الزاوية ثابتة. غالبًا ما تُختار زاوية ابتدائية صغيرة (أقل من 10 درجات تقريبًا) بحيث يُعتبر تصحيح هذه الزاوية ضئيلاً؛ أي أن الحد الموجود بين قوسين في المعادلة (2) يُفترض أنه يساوي واحدًا. مع ذلك، في التجربة المدروسة هنا، يُعد هذا التصحيح مهمًا، لذا قد تتراوح قيمة الإزاحة الابتدائية النموذجية بين 30 و45 درجة.

لنفترض أن قياسات الطول كانت، دون علم الطلاب، أقصر من اللازم بمقدار 5  ملم مثلاً. قد يعود ذلك إلى خلل في أداة القياس (كاستخدام مسطرة مترية مثلاً)، أو، على الأرجح، إلى خطأ منهجي في استخدامها لقياس الطول . قد يحدث هذا إذا نسي الطلاب القياس إلى مركز ثقل الثقل، وقاموا بدلاً من ذلك بالقياس باستمرار إلى نقطة اتصال الخيط به. لذا، فإن هذا الخطأ ليس عشوائياً، بل يحدث في كل مرة يُقاس فيها الطول.

بعد ذلك، قد يعاني زمن التذبذب T من خطأ منهجي إذا، على سبيل المثال، أخطأ الطلاب باستمرار في حساب حركات البندول ذهابًا وإيابًا للحصول على عدد صحيح من الدورات. (غالبًا ما تتطلب التجربة قياس عدة دورات، مثل خمس أو عشر، وليس دورة واحدة فقط). أو ربما كانت ساعة الإيقاف الرقمية التي استخدموها تعاني من مشكلة إلكترونية، فكانت تُسجل باستمرار قيمة أكبر من اللازم، ولنقل 0.02 ثانية. بالطبع، ستكون هناك أيضًا اختلافات عشوائية في التوقيت؛ وسيتم تناول هذه المسألة لاحقًا. ما يهمنا هنا هو وجود خطأ منهجي ثابت وغير عشوائي في قياس زمن تذبذب البندول.

أخيرًا، يمكن قياس الزاوية الابتدائية باستخدام منقلة بسيطة . من الصعب تحديد موضع المنقلة وقراءة الزاوية الابتدائية بدقة عالية (أو حتى بدقة متناهية؛ فهذا القياس غير قابل للتكرار ). لنفترض أن الطلاب يخطئون باستمرار في وضع المنقلة بحيث تكون قراءة الزاوية أصغر من القيمة الصحيحة بمقدار 5 درجات مثلًا. عندئذٍ، ستكون جميع قياسات الزاوية الابتدائية منحرفة بهذا المقدار.

مع ذلك، لا يمكن معرفة التحيزات أثناء إجراء التجربة . فلو عُلم، على سبيل المثال، أن قياسات الطول كانت أقل بمقدار 5  مم، لكان بإمكان الطلاب إما تصحيح خطأ القياس أو إضافة 5  مم إلى بياناتهم لإزالة التحيز. لكن الأهم هو دراسة تأثيرات احتمالات الخطأ المنهجي غير العشوائي قبل إجراء التجربة. وهذا يُعدّ شكلاً من أشكال تحليل الحساسية .

الفكرة هي تقدير الفرق، أو التغير النسبي ، في الكمية المشتقة، هنا g ، بافتراض أن الكميات المقاسة منحرفة بمقدار معين. على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية الابتدائية منخفضة باستمرار بمقدار 5 درجات، فما تأثير ذلك على قيمة g المقدرة ؟ إذا كان الطول أقصر باستمرار بمقدار 5  مم، فما التغير في قيمة g المقدرة ؟ إذا كانت قياسات الفترة أطول باستمرار بمقدار 0.02 ثانية، فما مقدار التغير في قيمة g المقدرة ؟ ماذا يحدث لقيمة g المقدرة إذا حدثت هذه الانحرافات بتراكيب مختلفة؟

أحد أسباب استكشاف هذه الأسئلة هو أن تصميم التجربة ، بمعنى المعدات والإجراءات المستخدمة (وليس بالمعنى الإحصائي الذي سيتم تناوله لاحقًا)، يعتمد على التأثير النسبي للأخطاء المنهجية في الكميات المقاسة. فإذا كان انحراف بمقدار 5 درجات في الزاوية الأولية سيؤدي إلى تغيير غير مقبول في تقدير قيمة g ، فقد يلزم ابتكار طريقة أكثر دقة وتفصيلًا لهذا القياس. من ناحية أخرى، إذا أمكن إثبات، قبل إجراء التجربة، أن لهذه الزاوية تأثيرًا ضئيلًا على قيمة g ، فإن استخدام المنقلة يكون مقبولًا.

ثمة دافع آخر لإجراء هذا النوع من تحليل الحساسية، وهو ما يحدث بعد إجراء التجربة، عندما يُظهر تحليل البيانات وجود تحيز في تقدير قيمة g . ويمكن أن يؤدي فحص التغير في قيمة g ، الذي قد ينتج عن تحيزات في مختلف معلمات الإدخال ، أي الكميات المقاسة، إلى فهم أسباب هذا التحيز في تقدير g . كما يُساعد هذا التحليل في تحديد المشكلات، مثل أخطاء القياس، ومشاكل الأجهزة، والافتراضات الخاطئة حول النموذج، وما إلى ذلك.

إن الطريقة الأكثر مباشرة، إن لم تكن بديهية، للتعامل مع هذا الأمر هي حساب التغيير مباشرة باستخدام المعادلة (2) مرتين، مرة واحدة بقيم متحيزة نظرية ومرة ​​أخرى بالقيم الحقيقية غير المتحيزة للمعلمات:

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,=\,\,\,\,{\hat {g}}\left({L+\Delta L,\,\,\,T+\Delta T,\,\,\,\theta +\Delta \theta }\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right){\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(3)} }}$

حيث يُمثل ΔL وما إلى ذلك الانحرافات في الكميات المقاسة المعنية. (يشير الرمز فوق g إلى القيمة المُقدَّرة لـ g ). ولتوضيح ذلك، لنفترض بندولًا مثاليًا طوله 0.5 متر، بزاوية إزاحة ابتدائية قدرها 30 درجة؛ من المعادلة (1)، ستكون الدورة 1.443 ثانية. لنفترض أن الانحرافات هي -5  مم، و-5 درجات، و+0.02 ثانية، لـ L و θ و T على التوالي. عندئذٍ، بالنظر أولًا إلى انحراف الطول ΔL فقط ،

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,=\,\,\,{\hat {g}}\left({0.495,\,\,\,1.443,\,\,\,30}\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({0.500,\,\,1.443,\,\,30}\right)\,\,\,=\,\,\,-0.098{\rm {\,\,\,m/s^{2}}}}$

وبالنسبة لهذا ولمعاملات القياس الأخرى T و θ، يتم تسجيل التغيرات في g في الجدول 1 .

من الممارسات الشائعة في تحليل الحساسية التعبير عن التغيرات ككسور (أو نسب مئوية). عندئذٍ يكون التغير النسبي الدقيق في g هو

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,=\,\,\,\,{{{\hat {g}}\left({L+\Delta L,\,\,\,T+\Delta T,\,\,\,\theta +\Delta \theta }\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right)} \over {{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right)}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(4)} }}$

تم تلخيص نتائج هذه الحسابات لنظام البندول النموذجي في الجدول 1.

لنفترض الآن أنه من غير العملي استخدام الطريقة المباشرة لإيجاد اعتماد الكمية المشتقة ( g ) على المدخلات، أي المعاملات المقاسة ( L، T، θ ). هل توجد طريقة بديلة؟ من حساب التفاضل والتكامل، يُعد مفهوم التفاضل الكلي ^{[ 2 ]} مفيدًا هنا:

${\displaystyle dz={{\partial z} \over {\partial x_{1}}}dx_{1}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{2}}}dx_{2}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{3}}}dx_{3}\,\,\,+\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,=\,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}dx_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(5)} }}$

حيث z دالة لعدة متغيرات ( p ) x . يرمز الرمز ∂z /∂x _إلى " المشتقة الجزئية " للدالة z بالنسبة لأحد المتغيرات x التي تؤثر على z . ولغرضنا الحالي، يتضمن إيجاد هذه المشتقة تثبيت جميع المتغيرات باستثناء المتغير الذي تُحسب المشتقة الجزئية بالنسبة له، ثم إيجاد المشتقة الأولى بالطريقة المعتادة (والتي قد تتضمن، وغالبًا ما تتضمن، قاعدة السلسلة ). في الدوال التي تتضمن زوايا، كما في المعادلة (2)، يجب قياس الزوايا بالراديان .

المعادلة (5) هي دالة خطية تُقارب ، على سبيل المثال، منحنى في بُعدين ( p = 1) بخط مماس عند نقطة على ذلك المنحنى، أو في ثلاثة أبعاد ( p = 2) تُقارب سطحًا بمستوى مماس عند نقطة على ذلك السطح. الفكرة هي أن التغير الكلي في z في الجوار القريب لنقطة معينة يُحسب من المعادلة (5). عمليًا، تُستخدم الفروق المحدودة بدلًا من التفاضلات، بحيث

$\displaystyle \Delta z\approx \partial z \over \partial x_{1}\Delta x_{1}\,\,\,+\,\,\,\partial z \over \partial x_{2}\Delta x_{2}\,\,\,+\,\,\,\partial z \over \partial x_{3}\Delta x_{3}\,\,\,+\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,=\,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,\partial z \over \partial x_{i}}\Delta x_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(6)} }}$

وهذا يُجدي نفعًا كبيرًا طالما كانت الزيادات Δx صغيرة بما يكفي. ^{[ 3 ]} حتى الدوال شديدة الانحناء تكون خطية تقريبًا على منطقة صغيرة بما يكفي. ويكون التغير النسبي حينها

${\displaystyle {{\Delta z} \over z}\,\,\,\approx \,\,\,{1 \over z}\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\Delta x_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(7)} }}$

هناك طريقة بديلة ومفيدة لكتابة المعادلة (6) تستخدم الشكلية المتجهة-المصفوفية:

${\displaystyle \Delta z\,\,\approx \,\,{\begin{pmatrix}{\partial z \over \partial x_{1}}&{\partial z \over \partial x_{2}}&{\partial z \over \partial x_{3}}&\cdots &{\partial z \over \partial x_{p}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\Delta x_{1}}\\{\Delta x_{2}}\\{\Delta x_{3}}\\{\vdots }\\{\Delta x_{p}}\end{pmatrix}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(8)} }}$

عند تطبيق هذه المشتقات الجزئية ، تجدر الإشارة إلى أنها دوال تُحسب عند نقطة معينة ، أي أن جميع المعاملات التي تظهر في المشتقات الجزئية ستكون لها قيم عددية. وبالتالي، فإن حاصل الضرب الاتجاهي في المعادلة (8)، على سبيل المثال، سينتج عنه قيمة عددية واحدة. في دراسات الانحياز، تُستخدم القيم الحقيقية للمعاملات في المشتقات الجزئية، لأننا نقوم بتقريب الدالة z في منطقة صغيرة قريبة من هذه القيم الحقيقية.

بالعودة إلى مثال البندول وتطبيق هذه المعادلات، يكون التغير المطلق في تقدير g هو

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\approx \,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\,+\,\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\,+\,\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\Delta \theta {\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(9)} }}$

والآن، تكمن المهمة في إيجاد المشتقات الجزئية في هذه المعادلة. وسيسهل تعريفها العملية بشكل كبير.

${\displaystyle \alpha (\theta )\,\,\equiv \,\,\left[{\,1\,\,\,+\,\,\,{1 \over 4}\sin ^{2}\left({\theta \over 2}\right)\,}\right]^{2}}$

بإعادة كتابة المعادلة (2) وأخذ المشتقات الجزئية،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {g}}&={{4\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\,\,&=\,\,\,{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\,\,&=\,\,{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\,\,&=\,\,{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )\\\\{\mathbf {\,\,\,\,Eq(10)} }\end{aligned}}}$

بإدخال هذه المشتقات في المعادلة (9)،

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,\left[{{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}\right]\,\Delta L\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\left[{{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right]\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,\left[{{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )}\right]\Delta \theta {\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(11)} }}$

ثم بتطبيق نفس القيم العددية للمعاملات وانحيازاتها كما في السابق، نحصل على النتائج الموضحة في الجدول 1. القيم قريبة إلى حد معقول من تلك المحسوبة باستخدام المعادلة (3)، ولكنها ليست مطابقة تمامًا، باستثناء L. ويعود ذلك إلى أن التغير في g خطي مع L ، وهو ما يمكن استنتاجه من حقيقة أن التقريب الجزئي بالنسبة إلى L لا يعتمد على L. وبالتالي، فإن "التقريب" الخطي يكون دقيقًا بالنسبة إلى L. أما التقريب الجزئي بالنسبة إلى θ فهو أكثر تعقيدًا، وينتج عن تطبيق قاعدة السلسلة على α . كذلك، عند استخدام المعادلة (10) في المعادلة (9)، تجدر الإشارة إلى أنه يجب تحويل قياسات الزوايا، بما في ذلك Δθ ، من الدرجات إلى الراديان.

التغير النسبي التقريبي الخطي في تقدير g هو، بتطبيق المعادلة (7) على مثال البندول،

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\,\approx \,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\Delta \theta }$

وهذا يبدو معقداً للغاية، لكن في الواقع العملي ينتج عنه عادةً علاقة بسيطة للتغير النسبي. وبالتالي،

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,\left[{{{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\,\Delta L\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\left[{{{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,\left[{{{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\Delta \theta }$

والذي يختزل إلى

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\,-\,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\,+\,\,\,{{\sin(\theta )} \over {4\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}}}\Delta \theta }$

هذه النتيجة، باستثناء الحد الأخير، بسيطة للغاية. بتوسيع الحد الأخير كمتسلسلة في θ ،

${\displaystyle {{\sin(\theta )} \over {4\left[{1\,\,\,+\,\,\,{1 \over 4}\sin ^{2}\left({\theta \over 2}\right)}\right]}}\,\,\,\approx \,\,\,{\theta \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\theta \over 4}\,\,\Delta \theta \,\,\,=\,\,\,{{\theta ^{2}} \over 4}{{\Delta \theta } \over \theta }}$

إذن، تكون نتيجة التقريب الخطي للتغير النسبي في تقدير g هي

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\,\,\,-\,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{2}{{\Delta \theta } \over \theta }{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(12)} }}$

بالنظر إلى أن الزوايا تُقاس بالراديان ، وأن القيمة المستخدمة في المثال هي 30 درجة، فإن هذا يُعادل حوالي 0.524 راديان. وبتقسيمها على اثنين ثم تربيعها، كما هو مُعامل التغير النسبي في θ ، فإن هذا المُعامل يُصبح حوالي 0.07. من المعادلة (12)، يُمكن استنتاج أن المُعاملات الأكثر تأثيرًا، من الأكثر إلى الأقل تأثيرًا، هي T، L، θ. بعبارة أخرى، فإن الكمية المُستنتجة g أكثر حساسية، على سبيل المثال، للكمية المقاسة T منها لـ L أو θ . عند استبدال القيم العددية للمثال، تظهر النتائج في الجدول 1، وهي تتوافق بشكل معقول مع تلك التي تم الحصول عليها باستخدام المعادلة (4).

عادةً ما يكون شكل المعادلة (12) هو الهدف من تحليل الحساسية، نظرًا لعموميته، أي أنه غير مرتبط بمجموعة محددة من قيم المعلمات، كما هو الحال في طريقة الحساب المباشر للمعادلتين (3) أو (4). ويتضح بمجرد النظر أي المعلمات لها التأثير الأكبر في حال وجود أخطاء منهجية. على سبيل المثال، إذا كان قياس الطول L أعلى بنسبة 10%، فإن تقدير g سيكون أعلى بنسبة 10% أيضًا. وإذا كان تقدير الدورة T أقل بنسبة 20%، فإن تقدير g سيكون أعلى بنسبة 40% (لاحظ الإشارة السالبة للحد T ). وإذا كانت الزاوية الابتدائية θ أعلى بنسبة 10%، فإن تقدير g سيكون أعلى بنسبة 0.7% تقريبًا.

تُعدّ هذه المعلومات بالغة الأهمية في تحليل البيانات بعد التجربة، لتحديد القياسات التي ربما ساهمت في التحيز الملحوظ في النتيجة الإجمالية (تقدير قيمة g ). فعلى سبيل المثال، يمكن استبعاد الزاوية بسرعة باعتبارها المصدر الوحيد للتحيز في قيمة g ، ولنقل بنسبة 10%. إذ يتطلب ذلك أن تكون الزاوية خاطئة بنسبة 140% تقريبًا، وهو أمرٌ، كما نأمل، غير وارد فيزيائيًا.

بعد ذلك، ضع في اعتبارك أنه مع تكرار الطلاب لقياس فترة تذبذب البندول، سيحصلون على قيم مختلفة في كل قياس. هذه التقلبات عشوائية - اختلافات طفيفة في زمن الاستجابة عند تشغيل ساعة الإيقاف، واختلافات في تقدير وقت وصول البندول إلى أقصى زاوية دوران له، وما إلى ذلك؛ تتفاعل كل هذه العوامل لتُنتج تباينًا في الكمية المقاسة. هذا ليس الانحياز الذي نوقش سابقًا، حيث افترضنا وجود فرق قدره 0.02 ثانية بين قراءة ساعة الإيقاف والفترة الفعلية T. الانحياز قيمة ثابتة، أما التباين العشوائي فهو كما يوحي اسمه - عشوائي وغير قابل للتنبؤ.

لا يمكن التنبؤ بالتغيرات العشوائية، لكنها تميل إلى اتباع بعض القواعد، وعادةً ما تُلخص هذه القواعد بواسطة بنية رياضية تُسمى دالة كثافة الاحتمال (PDF). تحتوي هذه الدالة بدورها على عدد من المعاملات المفيدة جدًا في وصف تباين القياسات المرصودة. من هذه المعاملات: المتوسط ​​والتباين لدالة كثافة الاحتمال . يُمثل المتوسط ​​موقع دالة كثافة الاحتمال على خط الأعداد الحقيقية، بينما يُمثل التباين وصفًا لتشتت أو اتساع دالة كثافة الاحتمال.

للتوضيح، يُظهر الشكل 1 ما يُسمى بتوزيع الاحتمال الطبيعي ، والذي يُفترض أنه يُمثل توزيع الفترات الزمنية المُلاحظة في تجربة البندول. وبإهمال جميع الانحيازات في القياسات مؤقتًا، فإن متوسط ​​هذا التوزيع سيكون عند القيمة الحقيقية لـ T للبندول المثالي الذي يبلغ طوله 0.5 متر، والذي له زاوية ابتدائية قدرها 30 درجة، أي 1.443 ثانية، وفقًا للمعادلة (1). يحتوي الشكل على 10000 قياس مُحاكاة في المدرج التكراري (الذي يُصنف البيانات في فئات ضيقة لإظهار شكل التوزيع)، ويمثل الخط المتصل توزيع الاحتمال الطبيعي. أما الخط الرأسي فيمثل المتوسط.

تكمن المشكلة المهمة في التقلبات العشوائية في التباين. يُعرَّف الجذر التربيعي الموجب للتباين بأنه الانحراف المعياري ، وهو مقياس لعرض دالة كثافة الاحتمال. توجد مقاييس أخرى، لكن الانحراف المعياري، الذي يرمز له بالحرف اليوناني σ (سيجما)، هو الأكثر شيوعًا. في هذه المحاكاة، استُخدمت قيمة سيجما تساوي 0.03 ثانية لقياسات درجة الحرارة T ، بينما افترضنا إهمال التباين في قياسات L و θ .

في الشكل، تُشير الخطوط الرأسية المنقطة المزودة بالأسهم إلى عرض الانحراف المعياري الواحد، والانحرافين المعياريين، والثلاثة انحرافات معيارية. ويُلاحظ أن عرض ثلاثة انحرافات معيارية على جانبي المتوسط ​​يحتوي على جميع بيانات دالة كثافة الاحتمال الطبيعية تقريبًا. ويتراوح نطاق القيم الزمنية المُلاحظة من حوالي 1.35 إلى 1.55 ثانية، إلا أن معظم هذه القياسات الزمنية تقع ضمن نطاق أضيق من ذلك.

يوضح الشكل 1 نتائج قياسات متكررة لدورة البندول T. لنفترض أن هذه القياسات استُخدمت، واحدة تلو الأخرى، في المعادلة (2) لتقدير قيمة g . ما هي دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتقديرات g هذه ؟ وبمعرفة دالة كثافة الاحتمال، ما هو متوسط ​​وتباين تقديرات g ؟ ليس من السهل الإجابة على هذا السؤال، لذا فإن المحاكاة هي أفضل طريقة لمعرفة ما سيحدث. في الشكل 2، توجد 10000 قياس لـ T ، والتي استُخدمت بدورها في المعادلة (2) لتقدير g، ووُضعت هذه التقديرات الـ 10000 في المدرج التكراري. يتوافق المتوسط ​​(الخط الأسود الرأسي) بشكل كبير ^{[ 4 ]} مع القيمة المعروفة لـ g وهي 9.8  م/ ^ث² .

في بعض الأحيان، يُمكن استخلاص دالة كثافة الاحتمال الفعلية للبيانات المُحوّلة. في مثال البندول، تُربّع قياسات الزمن T في المعادلة (2) وتُقسّم على عوامل يُمكن اعتبارها ثوابت في الوقت الحالي. باستخدام قواعد تحويل المتغيرات العشوائية ^{[ 5 ]،} يُمكن إثبات أنه إذا كانت قياسات T موزعة توزيعًا طبيعيًا، كما في الشكل 1، فإن تقديرات g تتبع توزيعًا آخر (معقدًا) يُمكن استخلاصه تحليليًا. تم رسم دالة كثافة الاحتمال g باستخدام المدرج التكراري (الخط الأسود)، والتوافق مع البيانات جيد جدًا. يُظهر الشكل 2 أيضًا منحنى دالة كثافة الاحتمال g (الخط الأحمر المتقطع) للقيم المتحيزة لـ T التي استُخدمت في المناقشة السابقة للتحيز. وبالتالي، فإن متوسط ​​دالة كثافة الاحتمال g المتحيزة لـ T هو 9.800 - 0.266  م/ث² ⁽ انظر الجدول 1).

لننظر مرة أخرى، كما فعلنا في مناقشة التحيز أعلاه، إلى دالة

${\displaystyle z\,\,\,=\,\,\,f\left({x_{1}\,\,\,x_{2}\,\,\,x_{3}\,\,...\,\,\,x_{p}}\right)}$

حيث لا يشترط أن تكون الدالة f خطية، وغالبًا ما لا تكون كذلك، والمتغيرات x هي متغيرات عشوائية لا يشترط عمومًا أن تتبع التوزيع الطبيعي، وقد تكون مرتبطة فيما بينها. عند تحليل نتائج تجربة ما، يكون المتوسط ​​والتباين للكمية المستنتجة z، والتي ستكون متغيرًا عشوائيًا ، مهمين. ويُعرفان بأنهما القيم المتوقعة.

${\displaystyle \mu _{z}\,\,=\,\,\,{\rm {E}}\,[z]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,\,=\,\,\,{\rm {E}}\,\left[{\left({z\,\,-\,\,\mu _{z}}\right)^{2}}\right]}$

أي، العزم الأول لدالة كثافة الاحتمال حول نقطة الأصل، والعزم الثاني لدالة كثافة الاحتمال حول متوسط ​​المتغير العشوائي المشتق z . تُحسب هذه القيم المتوقعة باستخدام التكامل، وذلك للمتغيرات المستمرة قيد الدراسة هنا. مع ذلك، يتطلب حساب هذه التكاملات صيغة دالية لدالة كثافة الاحتمال للكمية المشتقة z . وقد لوحظ أن ^{[ 6 ]}

يُعدّ الحساب الدقيق لتباينات الدوال غير الخطية للمتغيرات المعرضة للخطأ مشكلةً بالغة التعقيد الرياضي. في الواقع، يُعنى جزء كبير من الإحصاء الرياضي بالمشكلة العامة المتمثلة في استنباط دالة كثافة الاحتمال الكاملة لهذه الدوال، والتي يُمكن من خلالها استنباط التباين.

للتوضيح، من الأمثلة البسيطة على هذه العملية إيجاد المتوسط ​​والتباين للكمية المشتقة z = x² ^{، حيث} أن الكمية المقاسة x موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط ​​μ وتباين σ² . ستكون للكمية المشتقة z دالة كثافة احتمالية جديدة، يمكن (أحيانًا) إيجادها باستخدام قواعد حساب الاحتمالات. ^{[ 7 ]} في هذه الحالة، يمكن إثبات، باستخدام هذه القواعد، أن دالة كثافة الاحتمالية لـ z ستكون

${\displaystyle {\rm {PDF}}_{z}\,\,\,\sim \,\,\,{1 \over {2{\sqrt {z}}}}\,\,\,{1 \over {{\sqrt {2\pi }}\,\,\sigma }}\left[{\exp \left({-\,\,{{\left({{\sqrt {z}}-\mu }\right)^{2}} \over {2\,\sigma ^{2}}}}\right)\,\,\,+\,\,\,\exp \left({-\,\,{{\left({-{\sqrt {z}}-\mu }\right)^{2}} \over {2\,\sigma ^{2}}}}\right)}\right]}$

بإجراء التكامل من الصفر إلى ما لا نهاية موجبة، نحصل على القيمة 1، مما يؤكد أن هذه دالة كثافة احتمالية. بعد ذلك، نحتاج إلى المتوسط ​​والتباين لهذه الدالة لتحديد الكمية المشتقة z . يُحسب المتوسط ​​والتباين (أو بالأحرى، متوسط ​​مربع الخطأ ، وهو فرق لن نتطرق إليه هنا) من التكاملات.

${\displaystyle \mu _{z}\,\,=\,\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{z\,{\rm {PDF}}_{z}}\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{\left({z-\mu _{z}}\right)^{2}\,}{\rm {PDF}}_{z}\,dz}$

إذا كانت هذه الدوال قابلة للتكامل أصلاً . وكما هو الحال في هذه الحالة، فإن النتائج التحليلية ممكنة، ^{[ 8 ]} وقد وُجد أن

${\displaystyle \mu _{z}=\mu ^{2}+\,\,\sigma ^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,2\,\sigma ^{2}\left({2\mu ^{2}+\,\,\sigma ^{2}}\right)}$

هذه النتائج دقيقة. تجدر الإشارة إلى أن متوسط ​​(القيمة المتوقعة) z ليس كما هو متوقع منطقيًا، أي ليس ببساطة مربع متوسط ​​x . وبالتالي، حتى عند استخدام أبسط دالة غير خطية، وهي مربع متغير عشوائي، فإن عملية إيجاد المتوسط ​​والتباين للكمية المشتقة صعبة، وبالنسبة للدوال الأكثر تعقيدًا، يمكن القول بأمان أن هذه العملية غير عملية لتحليل البيانات التجريبية.

كما هو معتاد في هذه الدراسات، يمكن التحقق من النتائج المذكورة أعلاه باستخدام محاكاة. يوضح الشكل 3 مدرجًا تكراريًا لـ 10000 عينة من z ، مع رسم دالة كثافة الاحتمال المذكورة أعلاه أيضًا؛ والتوافق ممتاز. في هذه المحاكاة، كان متوسط ​​بيانات x هو 10 وانحرافها المعياري 2. وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة لـ z ستكون 100. تم إيجاد الخط الرأسي "للمتوسط ​​المتحيز" باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه لـ μz ، وهو يتوافق جيدًا مع المتوسط ​​المرصود (أي المحسوب من البيانات؛ الخط الرأسي المتقطع)، والمتوسط ​​المتحيز أعلى من القيمة "المتوقعة" 100. المنحنى المتقطع الموضح في هذا الشكل هو دالة كثافة _احتمال طبيعية سيتم تناولها لاحقًا.

إذا لم يتم العثور على دالة كثافة الاحتمال للكمية المشتقة، كما هو الحال عادةً، وحتى إذا كانت دوال كثافة الاحتمال للكميات المقاسة غير معروفة، فإنه لا يزال من الممكن تقدير المتوسط ​​والتباين (وبالتالي الانحراف المعياري) للكمية المشتقة. سيتم شرح هذه الطريقة، التي تُسمى "الطريقة التفاضلية" ^{[ 9 ]،} لاحقًا. (للاطلاع على اشتقاق المعادلتين (13) و(14)، انظر هذا القسم أدناه).

كما هو معتاد في الرياضيات التطبيقية، يتمثل أحد أساليب تجنب التعقيد في تقريب دالة بدالة أخرى أبسط، وغالبًا ما يتم ذلك باستخدام متسلسلة تايلور منخفضة الرتبة . يمكن إثبات ^{[ 10 ]} أنه إذا استُبدلت الدالة z بمتسلسلة من الرتبة الأولى حول نقطة محددة بمتوسط ​​قيم كل من المتغيرات p، x ، فإن تباين الدالة الخطية يُقارب بـ

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\,\sum \limits _{j\,=\,1}^{p}{\left({{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right)}}\left({{\partial z} \over {\partial x_{j}}}\right)\sigma _{i,j}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(13)} }}$

حيث يُمثل σ_{_ij} التباين المشترك لمتغيرين x_i و x_{_j}. يُحسب المجموع المزدوج على جميع تركيبات i و j ، مع العلم أن التباين المشترك لمتغير مع نفسه هو تباين ذلك المتغير، أي σ _{_ii} = σ_{_i} ^² . كما أن التباينات المشتركة متناظرة، بحيث σ _{_ij} = σ_{_ji} . وكما هو الحال مع حسابات الانحياز، تُحسب المشتقات الجزئية عند نقطة محددة، وهي في هذه الحالة، القيمة المتوسطة، أو أفضل تقدير آخر، لكل متغير من المتغيرات المستقلة. تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت f خطية، فإن المعادلة (13) تكون دقيقة، وفقط في هذه الحالة .

يمكن تقدير القيمة المتوقعة (المتوسط) لدالة كثافة الاحتمال المشتقة، في حالة كون z دالة لمتغير واحد أو متغيرين مقاسين، باستخدام ^{[ 11 ].}

${\displaystyle \mu _{z}\,\,\approx \,\,z\left({\mu _{1},\mu _{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\left\{{\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}^{2}}}\sigma _{1}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}^{2}}}\sigma _{2}^{2}}\right\}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z^{2}} \over {\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\sigma _{12}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(14)} }}$

حيث يتم تقييم الدوال الجزئية عند متوسط ​​متغير القياس المعني. (بالنسبة لأكثر من متغيرين مدخلين، يتم توسيع هذه المعادلة لتشمل الدوال الجزئية المختلطة المختلفة).

بالعودة إلى المثال البسيط لحالة z = x² ^، يتم تقدير المتوسط ​​بواسطة

${\displaystyle \mu _{z}\,\,\approx \,\,\mu ^{2}\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^{2}\,\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x^{2}}}\,\,\,=\,\,\,\mu ^{2}+\,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^{2}\,\,\left[2\right]\,\,\,\,=\,\,\,\mu ^{2}+\,\sigma ^{2}}$

وهو ما يُعادل النتيجة الدقيقة في هذه الحالة تحديدًا. أما بالنسبة للتباين (في الواقع MS _e )،

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\approx \left({{\partial z} \over {\partial x}}\right)^{2}\sigma ^{2}\,\,=\,\,4\,x^{2}\,\sigma ^{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,4\left({\mu ^{2}}\right)\sigma ^{2}=\,\,\,\,4\,\mu ^{2}\sigma ^{2}}$

والذي يختلف فقط بغياب الحد الأخير الذي كان موجودًا في النتيجة الدقيقة؛ نظرًا لأن σ يجب أن تكون صغيرة مقارنة بـ μ ، فلا ينبغي أن تكون هذه مشكلة كبيرة.

يوضح الشكل 3 دالة كثافة الاحتمال الطبيعية (الخطوط المتقطعة) مع المتوسط ​​والتباين الناتجين عن هذه التقريبات. لا تصف دالة كثافة الاحتمال الطبيعية هذه البيانات المشتقة بدقة، خاصةً عند القيم المنخفضة. عند استبدال المتوسط ​​المعروف (10) والتباين (4) لقيم x في هذه المحاكاة، أو في المعادلات أعلاه، نلاحظ أن التباين التقريبي (1600) والتباين الدقيق (1632) يختلفان اختلافًا طفيفًا (2%).

تتمثل إحدى الطرق الأكثر أناقة لكتابة معادلة تباين "انتشار الخطأ" في استخدام المصفوفات . ^{[ 12 ]} أولاً، عرّف متجه المشتقات الجزئية، كما هو مستخدم في المعادلة (8) أعلاه:

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}^{T}\equiv {\begin{pmatrix}{\partial z \over \partial x_{1}}&{\partial z \over \partial x_{2}}&{\partial z \over \partial x_{3}}&\cdots &{\partial z \over \partial x_{p}}\end{pmatrix}}}$

حيث يشير الرمز T العلوي إلى منقولة المصفوفة؛ ثم نُعرّف مصفوفة التغاير

${\displaystyle \mathbf {C} \,\,\equiv \,{\begin{pmatrix}{\sigma _{1}^{2}}&{\sigma _{12}}&{\sigma _{13}}&\cdots &{\sigma _{1p}}\\{\sigma _{21}}&{\sigma _{2}^{2}}&{\sigma _{23}}&\cdots &{\sigma _{2p}}\\{\sigma _{31}}&{\sigma _{32}}&{\sigma _{3}^{2}}&\cdots &{\sigma _{3p}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\sigma _{p1}}&{\sigma _{p2}}&{\sigma _{p3}}&\cdots &{\sigma _{p}^{2}}\end{pmatrix}}}$

يمكن كتابة تقريب انتشار الخطأ باختصار على شكل الصيغة التربيعية

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\approx \,\,{\boldsymbol {\gamma }}^{T}\,\mathbf {C} \,\,{\boldsymbol {\gamma }}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(15)} }}$

إذا كانت الارتباطات بين المتغيرات p جميعها معدومة، كما هو مفترض في كثير من الأحيان، فإن مصفوفة التغاير C تصبح قطرية، مع وجود التباينات الفردية على طول القطر الرئيسي . وللتأكيد على هذه النقطة، يتم حساب جميع المشتقات الجزئية في المتجه γ عند نقطة محددة، بحيث تُعطي المعادلة (15) نتيجة عددية واحدة.

سيكون من المفيد كتابة تعبير التباين بالتفصيل باستخدام المعادلة (13) أو (15) في حالة p = 2. وهذا يؤدي إلى

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\sigma _{11}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\sigma _{22}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\sigma _{12}\,\,\,+\,\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\sigma _{21}}$

وبما أن المصطلحين الأخيرين أعلاه هما نفس الشيء، فإن

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)^{2}\sigma _{1}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)^{2}\sigma _{2}^{2}\,\,\,+\,\,\,2\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\,\,\sigma _{12}}$

لنأخذ مثالاً جبرياً بسيطاً نسبياً، قبل العودة إلى مثال البندول الأكثر تعقيداً.

${\displaystyle z\,\,=\,\,x^{2}\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x}}\,\,=\,\,2x\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial y}}\,\,=\,\,x^{2}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({2\,x\,y}\right)^{2}\sigma _{x}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({x^{2}}\right)^{2}\sigma _{y}^{2}\,\,\,+\,\,\,2\left({2\,x\,y}\right)\left({x^{2}}\right)\sigma _{x,y}}$

^{يمكن أن} يبقى هذا التعبير على هذا الشكل، ولكن من الممارسات الشائعة القسمة على z² لأن هذا سيؤدي إلى إلغاء العديد من العوامل، وسينتج عنه أيضًا نتيجة أكثر فائدة:

${\displaystyle {{\sigma _{z}^{2}\,} \over {z^{2}}}\,\,\approx \,\,\,{{\left({2xy}\right)^{2}} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{x}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{\left({x^{2}}\right)^{2}} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{y}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{2\left({2xy}\right)\left({x^{2}}\right)} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{x,y}}$

والذي يختزل إلى

${\displaystyle {{\sigma _{z}^{2}} \over {z^{2}}}\,\,\approx \,\,\,\left({{2\sigma _{x}} \over x}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({{\sigma _{y}} \over y}\right)^{2}\,+\,\,\,4\left({{\sigma _{x,y}} \over {x\,y}}\right)}$

بما أن الانحراف المعياري لـ z عادةً ما يكون محل اهتمام، فإن تقديره هو

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}\,\,\approx \,\,{\bar {z}}\,\,{\sqrt {\,\,\left({{2{\hat {\sigma }}_{x}} \over {\bar {x}}}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({{{\hat {\sigma }}_{y}} \over {\bar {y}}}\right)^{2}\,+\,\,\,4\left({{{\hat {\sigma }}_{x,y}} \over {{\bar {x}}\,{\bar {y}}}}\right)}}}$

حيث يُشار إلى استخدام المتوسطات (المعدلات) للمتغيرات بواسطة الخطوط العلوية، وتشير علامات الإقحام إلى أنه يجب أيضًا تقدير التباينات (المشتركة) للمكونات، ما لم تكن هناك معرفة مسبقة راسخة بها. وعمومًا، هذا ليس هو الحال، لذا فإن المُقدِّرات

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}\,\,\,=\,\,\,{\sqrt {{\,\,\sum \limits _{k=1}^{n}{\left({x_{k}-{\bar {x}}_{i}}\right)^{2}}} \over {n-1}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\hat {\sigma }}_{i,j}\,\,\,=\,\,\,{\sqrt {{\,\,\sum \limits _{k=1}^{n}{\left({x_{k}-{\bar {x}}_{i}}\right)\left({x_{k}-{\bar {x}}_{j}}\right)}} \over {n-1}}}}$

يتم استخدامها بشكل متكرر، ^{[ 13 ]} بناءً على عدد n من الملاحظات (القياسات).

لتبسيط الأمور، اعتبر الزمن المقاس فقط متغيرًا عشوائيًا، بحيث تكون الكمية المشتقة، وهي تقدير g ، مساوية لـ

${\displaystyle {\hat {g}}=\,\,{k \over {T^{2}}}}$

حيث يجمع k العوامل في المعادلة (2) التي تُعتبر ثوابت في الوقت الحالي. بتطبيق قواعد حساب الاحتمالات، يمكن اشتقاق دالة كثافة الاحتمال لتقديرات g (تم تمثيل هذه الدالة بيانيًا في الشكل 2). في هذه الحالة، على عكس المثال المستخدم سابقًا، لم يكن من الممكن إيجاد المتوسط ​​والتباين تحليليًا. لذا، لا يوجد خيار سوى استخدام التقريبات الخطية. بالنسبة للمتوسط، باستخدام المعادلة (14)، مع المعادلة المبسطة لتقدير g ،

${\displaystyle {{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\,\,=\,\,\,{{-2k} \over {T^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial ^{2}{\hat {g}}} \over {\partial T^{2}}}\,\,\,=\,\,\,-2\,k{{-3} \over {T^{4}}}\,\,\,=\,\,{{6\,k} \over {T^{4}}}}$

عندئذٍ ستكون القيمة المتوقعة لـ g المقدرة هي

${\displaystyle {\rm {E}}[{\hat {g}}]\,\,\,=\,\,\,{k \over {\mu _{T}^{2}}}\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\left({{6\,k} \over {\mu _{T}^{4}}}\right)\sigma _{T}^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(16)} }}$

إذا كانت أزمنة دورة البندول T غير متحيزة، فإن الحد الأول يساوي 9.80  م/ث² ^. تشير هذه النتيجة إلى أن متوسط ​​قيم g المقدرة متحيز نحو الأعلى. سيتم التحقق من ذلك من خلال محاكاة لاحقة.

بعد ذلك، ولإيجاد تقدير للتباين في مثال البندول، بما أن المشتقات الجزئية قد وُجدت بالفعل في المعادلة (10)، فإن جميع المتغيرات ستعود إلى المسألة. تُضاف المشتقات الجزئية إلى المتجه γ . ووفقًا للممارسة المعتادة، خاصةً إذا لم يكن هناك دليل على خلاف ذلك، يُفترض أن جميع التغايرات تساوي صفرًا، وبالتالي فإن C مصفوفة قطرية. ^{[ 14 ]} ثم

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\,{\begin{pmatrix}{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}&{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}&{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sigma _{L}^{2}}&0&0\\0&{\sigma _{T}^{2}}&0\\0&0&{\sigma _{\theta }^{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\end{pmatrix}}\,=\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\right)^{2}\sigma _{L}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\right)^{2}\sigma _{\theta }^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(17)} }}$

تُحَصَّل النتيجة نفسها باستخدام المعادلة (13). يجب التأكيد على أن هذه "الانحرافات المعيارية" هي التباينات التي تصف التباين العشوائي في قياسات L و T و θ ؛ ولا ينبغي الخلط بينها وبين الانحيازات المستخدمة سابقًا. فالتباينات (أو الانحرافات المعيارية) والانحيازات ليست شيئًا واحدًا .

لتوضيح هذه الحسابات، انظر إلى نتائج المحاكاة في الشكل 2. هنا، افترضنا أن قياس الوقت فقط هو الذي يتسم بتغير عشوائي، وكان الانحراف المعياري المستخدم له 0.03 ثانية. وبالتالي، باستخدام المعادلة (17)،

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,=\,\,\,\left({{{-8L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}}$

وباستخدام القيم العددية المخصصة مسبقًا لهذا المثال،

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{{-8\times 0.5\times \pi ^{2}} \over {1.443^{3}}}1.0338}\right)^{2}0.03^{2}\,\,=\,\,0.166}$

وهذا يُقارن بشكل إيجابي مع التباين المُلاحظ البالغ 0.171، كما تم حسابه بواسطة برنامج المحاكاة. (تتسم التباينات المُقدّرة بقدر كبير من التباين، ولا يُتوقع أن تتطابق هذه القيم تمامًا). بالنسبة للقيمة المتوسطة، تُعطي المعادلة (16) انحيازًا يبلغ حوالي 0.01  م/ث² ^فقط ، وهو غير ظاهر في الشكل 2.

لتوضيح ما يحدث عند ازدياد الخطأ العشوائي في متغير القياس، انظر إلى الشكل 4، حيث زاد الانحراف المعياري لقياسات الزمن إلى 0.15 ثانية، أي ما يقارب عشرة بالمئة. تم رسم دالة كثافة الاحتمال لقيم g المقدرة ، كما في الشكل 2؛ لاحظ أن دالة كثافة الاحتمال لحالة التباين الزمني الأكبر ملتوية، ويظهر الآن بوضوح المتوسط ​​المتحيز. يتوافق المتوسط ​​التقريبي (المتحيز) مع المتوسط ​​الملاحظ مباشرة من البيانات بشكل جيد. المنحنى المتقطع هو دالة كثافة احتمال طبيعية بمتوسط ​​وتباين من التقريبات؛ وهو لا يمثل البيانات بدقة.

بدلاً من التباين، غالباً ما يكون الانحراف المعياري σ مقياساً أكثر فائدة ، وعند قسمته على المتوسط ​​μ نحصل على كمية تُسمى الخطأ النسبي ، أو معامل التباين . وهذا مقياس للدقة .

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\equiv \,\,\,{{\sigma _{\hat {g}}} \over {\mu _{\hat {g}}}}\,\,\,=\,\,\,{{\sqrt {0.166}} \over {9.8}}\,\,\,=\,\,0.042}$

في مثال البندول، تُعطي هذه الطريقة دقة تزيد قليلاً عن 4%. وكما هو الحال مع الانحياز، من المفيد ربط الخطأ النسبي في الكمية المُستنتجة بالخطأ النسبي في الكميات المقاسة. قسّم المعادلة (17) على مربع g .

${\displaystyle {{\sigma _{\hat {g}}^{2}\,} \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\,\,\approx \,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\right)^{2}\sigma _{L}^{2}\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\right)^{2}\sigma _{\theta }^{2}}$

واستخدم النتائج التي تم الحصول عليها من حسابات انحياز التغير الجزئي لإعطاء (قارن بالمعادلة (12)):

${\displaystyle {{\sigma _{\hat {g}}^{2}\,} \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\sigma _{L}^{2}\,} \over {L^{2}}}\,\,\,+\,\,\,\,4{{\sigma _{T}^{2}} \over {T^{2}}}\,\,\,+\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{4}{{\sigma _{\theta }^{2}} \over {\theta ^{2}}}}$

ثم بأخذ الجذر التربيعي نحصل على RE:

${\displaystyle RE_{\hat {g}}\,\,=\,\,{{\sigma _{g}\,} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{\sqrt {\,\,\left({{\sigma _{L}} \over L}\right)^{2}\,\,\,+\,\,\,\,4\left({{\sigma _{T}} \over T}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{4}\left({{\sigma _{\theta }} \over \theta }\right)^{2}\,}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(18)} }}$

في المثال المذكور، هذا يعطي

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,2\,\,{{\sigma _{T}} \over T}\,\,\,=\,\,\,2{{0.03} \over {1.443}}\,\,\,=\,\,\,0.042}$

وهذا يتوافق مع الخطأ النسبي الذي تم الحصول عليه سابقًا. هذه الطريقة، التي تستخدم الأخطاء النسبية في الكميات المكونة (المقاسة)، أبسط، بمجرد إجراء العمليات الحسابية اللازمة للحصول على علاقة مثل المعادلة (17). تذكر أن الزوايا المستخدمة في المعادلة (17) يجب التعبير عنها بالراديان.

إذا دعت الحاجة، كما هو الحال غالبًا، إلى حساب الانحراف المعياري لقيمة g المقدرة بشكل منفصل، فيمكن الحصول عليه بسهولة بإعادة ترتيب بسيطة للمعادلة (18). يُذكر هذا الانحراف المعياري عادةً مع "التقدير النقطي" للقيمة المتوسطة: في المحاكاة، ستكون هذه القيمة 9.81 ± 0.41  م/ث² ^. يجب دراسة ما يُستنتج من الفترات المذكورة بهذه الطريقة بعناية فائقة. لا يتسع نطاق هذه المقالة لمناقشة هذا الموضوع المهم، ولكن كتاب ناتريلا يتناول هذه المسألة بتفصيلٍ وافٍ. ^{[ 15 ]}

من الممارسات الجيدة التحقق من حسابات عدم اليقين باستخدام المحاكاة . قد تكون هذه الحسابات معقدة للغاية، ومن السهل الوقوع في الأخطاء. على سبيل المثال، للتحقق من صحة الخطأ النسبي لقياس الزاوية فقط، تم إنشاء محاكاة لأخذ عينات من الزوايا من دالة كثافة احتمالية طبيعية بمتوسط ​​30 درجة وانحراف معياري 5 درجات؛ حيث تم تحويل كليهما إلى راديان في المحاكاة. وبذلك، بلغ الخطأ النسبي في الزاوية حوالي 17%. من المعادلة (18)، يكون الخطأ النسبي في قيمة g المقدرة هو، مع إهمال التباين في القياسات الأخرى.

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{2}{{\sigma _{\theta }} \over \theta }\,\,\,=\,\,\,\left({{0.524} \over 2}\right)^{2}{{0.0873} \over {0.524}}\,\,\,\approx \,\,\,0.0114}$

تُظهر المحاكاة أن الخطأ النسبي الملحوظ في قيمة g يبلغ حوالي 0.011، مما يُثبت صحة حسابات عدم اليقين في الزاوية. وبالتالي، وكما لوحظ في حسابات الانحياز، فإن التباين العشوائي الكبير نسبيًا في الزاوية الأولية (17%) لا يُسبب سوى خطأ نسبي بنسبة 1% تقريبًا في تقدير قيمة g .

يوضح الشكل 5 المدرج التكراري لتقديرات g هذه . نظرًا لأن الخطأ النسبي في الزاوية كان كبيرًا نسبيًا، فإن دالة كثافة الاحتمال لتقديرات g ملتوية (ليست طبيعية، وليست متناظرة)، والمتوسط ​​منحاز قليلًا. في هذه الحالة، دالة كثافة الاحتمال غير معروفة، ولكن لا يزال من الممكن تقدير المتوسط ​​باستخدام المعادلة (14). يمكن إثبات أن الجزء الجزئي الثاني لجزء الزاوية من المعادلة (2)، مع تثبيت المتغيرات الأخرى، والمجمعة في k ، هو ^{[ 8 ].}

${\displaystyle {{\partial ^{2}{\hat {g}}} \over {\partial \theta ^{2}}}\,\,\,=\,\,\,{k \over {32}}\left[{9\cos \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,-\,\,\,\cos \left({2\mu _{\theta }}\right)}\right]}$

بحيث تكون القيمة المتوقعة

${\displaystyle {\rm {E}}[{\hat {g}}]\,\,\,\approx \,\,\,\,k\alpha \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\,\,{k \over {32}}\left[{9\cos \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,-\,\,\,\cos \left({2\mu _{\theta }}\right)}\right]\sigma _{\theta }^{2}}$

والخط العمودي المنقط، الناتج عن هذه المعادلة، يتوافق مع المتوسط ​​المرصود.

ذُكر في المقدمة أن هناك طريقتين لتحليل مجموعة من قياسات فترة التذبذب T للبندول:

الطريقة 1 : حساب متوسط ​​قياسات T n ، واستخدام هذا المتوسط ​​في المعادلة (2) للحصول على تقدير g النهائي ؛

الطريقة الثانية : استخدم جميع القياسات الفردية n لـ T في المعادلة (2)، واحدة تلو الأخرى، للحصول على n تقديرات لـ g ، وقم بحساب متوسطها للحصول على تقدير g النهائي .

من المنطقي الاعتقاد بأن هاتين الطريقتين تؤديان إلى النتيجة نفسها، وأنه لا يوجد سبب لتفضيل إحداهما على الأخرى. مع ذلك، تُنتج الطريقة الثانية تحيزًا لا يُزال بزيادة حجم العينة. أما الطريقة الأولى، فهي متحيزة أيضًا، لكن هذا التحيز يقل مع زيادة حجم العينة. في كلتا الحالتين، لا يُعد هذا التحيز كبيرًا، ويجب عدم الخلط بينه وبين التحيز الذي نوقش في القسم الأول. ما يُمكن تسميته "تحيز النوع الأول" ينتج عن خطأ منهجي في عملية القياس؛ أما "تحيز النوع الثاني" فينتج عن تحويل متغير عشوائي للقياس عبر نموذج غير خطي؛ هنا، المعادلة (2).

يتميز الانحياز من النوع الثاني بالحدود التي تلي الحد الأول في المعادلة (14). وكما حُسب للمحاكاة في الشكل 4، فإن الانحياز في قيمة g المقدرة لتباين معقول في الأزمنة المقاسة (0.03 ثانية) يُستخلص من المعادلة (16) وكان حوالي 0.01  م/ث² ^فقط . بإعادة ترتيب جزء الانحياز (الحد الثاني) من المعادلة (16)، وباستخدام β للانحياز،

${\displaystyle \beta \,\,\,\approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _{T}^{2}}}\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}\,\,\,\approx \,\,\,30\,\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(19)} }}$

باستخدام معلمات البندول كمثال، يتضح أن الانحياز يتناسب طرديًا مع مربع الخطأ النسبي في الدورة T ؛ فعند زيادة الخطأ النسبي، حوالي عشرة بالمائة، يصبح الانحياز حوالي 0.32  م/ث² ^، وهو ما يثير قلقًا أكبر.

ما يغيب هنا، والذي تم تجنبه عمدًا في جميع المواد السابقة، هو تأثير حجم العينة على هذه الحسابات. لم يظهر عدد القياسات (n) في أي معادلة حتى الآن. ضمنيًا، كان التحليل كله متعلقًا بنهج الطريقة الثانية، حيث يتم أخذ قياس واحد (مثلًا، لـ T ) في كل مرة، ومعالجته من خلال المعادلة (2) للحصول على تقدير لـ g .

لاستخدام المعادلات المختلفة المذكورة أعلاه، يلزم معرفة قيم المتوسط ​​والتباين للمعاملات المتعددة التي تظهر في تلك المعادلات. في التجارب العملية، تُقدَّر هذه القيم من البيانات المرصودة، أي القياسات. تُحسب متوسطات هذه القياسات للحصول على قيم المتوسط ​​المقدرة التي تُستخدم في المعادلات، على سبيل المثال، لتقييم المشتقات الجزئية. وبالتالي، فإن التباين المطلوب هو تباين المتوسط ، وليس تباين المجتمع، ولذا، على سبيل المثال،

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,=\,\,\,\left({{{-8L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\left({{{-8{\bar {L}}\,\pi ^{2}} \over {{\bar {T}}^{3}}}\alpha ({\bar {\theta }})}\right)^{2}{{\sigma _{T}^{2}} \over {n_{T}}}}$

وهذا يعكس حقيقة أنه مع ازدياد عدد قياسات T ، يقل تباين متوسط ​​قيمة T. يوجد قدر من التباين المتأصل في قياسات T ، ويُفترض أن يظل هذا التباين ثابتًا، لكن تباين متوسط ​​T سيقل مع ازدياد n . بافتراض عدم وجود تباين مشترك بين المعلمات (القياسات)، يمكن إعادة صياغة توسيع المعادلة (13) أو (15) على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right)_{{\bar {x}}_{i}}^{2}}\,\,{{\sigma _{i}^{2}} \over {n_{i}}}}$

where the subscript on n reflects the fact that different numbers of measurements might be done on the several variables (e.g., 3 for L, 10 for T, 5 for θ, etc.)

This dependence of the overall variance on the number of measurements implies that a component of statistical experimental design would be to define these sample sizes to keep the overall relative error (precision) within some reasonable bounds. Having an estimate of the variability of the individual measurements, perhaps from a pilot study, then it should be possible to estimate what sample sizes (number of replicates for measuring, e.g., T in the pendulum example) would be required.

Returning to the Type II bias in the Method 2 approach, Eq(19) can now be re-stated more accurately as

${\displaystyle \beta \,\,\,\approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _{T}^{2}}}\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}\,\,\,\approx \,\,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {n_{T}\,{\bar {T}}}}\right)^{2}}$

where s is the estimated standard deviation of the n_T T measurements. In Method 2, each individual T measurement is used to estimate g, so that n_T = 1 for this approach. On the other hand, for Method 1, the T measurements are first averaged before using Eq(2), so that n_Tis greater than one. This means that

${\displaystyle \beta _{\,\,1}\,\,\,\approx \,\,\,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {n_{T}\,{\bar {T}}}}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{\,\,2}\,\,\,\approx \,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {\bar {T}}}\right)^{2}}$

which says that the Type II bias of Method 2 does not decrease with sample size; it is constant. The variance of the estimate of g, on the other hand, is in both cases

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{{-8{\bar {L}}\,\pi ^{2}} \over {{\bar {T}}^{3}}}\alpha ({\bar {\theta }})}\right)^{2}{{\sigma _{T}^{2}} \over {n_{T}}}}$

because in both methods n_T measurements are used to form the average g estimate.^[16] Thus the variance decreases with sample size for both methods.

These effects are illustrated in Figures 6 and 7. In Figure 6 is a series PDFs of the Method 2 estimated g for a comparatively large relative error in the T measurements, with varying sample sizes. The relative error in T is larger than might be reasonable so that the effect of the bias can be more clearly seen. In the figure the dots show the mean; the bias is evident, and it does not change with n. The variance, or width of the PDF, does become smaller with increasing n, and the PDF also becomes more symmetric. In Figure 7 are the PDFs for Method 1, and it is seen that the means converge toward the correct g value of 9.8 m/s² as the number of measurements increases, and the variance also decreases.

From this it is concluded that Method 1 is the preferred approach to processing the pendulum or other data.

1. بالنظر إلى دالة z لعدة متغيرات عشوائية x ، يتم البحث عن المتوسط ​​والتباين لـ z .
2. يتمثل النهج المباشر في إيجاد دالة كثافة الاحتمال لـ z ثم إيجاد متوسطها وتباينها:

${\displaystyle {\rm {E}}[z]\,\,\,=\,\,\,\int {z\,\,{\rm {PDF}}_{z}}\,\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm {Var}}[z]\,\,=\,\,\int {\left({z-{\rm {E}}[z]}\right)^{2}\,\,{\rm {PDF}}_{z}}\,\,dz}$

3. إن إيجاد دالة كثافة الاحتمال ليس بالأمر الهين، وقد يكون مستحيلاً في بعض الحالات، وهو بالتأكيد ليس أسلوباً عملياً لأغراض تحليل البيانات العادية. وحتى في حال إمكانية إيجاد دالة كثافة الاحتمال، فإن إيجاد العزوم (المذكورة أعلاه) قد يكون صعباً.

4. الحل هو توسيع الدالة z في متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية ؛ ويتم التوسيع حول القيم المتوسطة للمتغيرات x . (عادةً ما يتم التوسيع حتى الدرجة الأولى؛ وتُستخدم حدود الدرجة الثانية لإيجاد الانحياز في المتوسط. وعادةً ما تُهمل هذه الحدود عند إيجاد التباين؛ انظر أدناه).

٥. بعد الحصول على صيغة التوسع، أوجد القيمة المتوقعة. سيعطي هذا تقريبًا لمتوسط ​​z ، وسيتضمن حدودًا تمثل أي انحياز. في الواقع، تعمل صيغة التوسع على "عزل" المتغيرات العشوائية x بحيث يمكن إيجاد قيمها المتوقعة.

6. بعد الحصول على صيغة القيمة المتوقعة لـ z ، والتي ستتضمن المشتقات الجزئية ومتوسطات وتباينات المتغيرات العشوائية x ، قم بوضع صيغة توقع التباين:

${\displaystyle {\rm {Var}}[z]\,\,\,\equiv \,\,{\rm {E}}\left[{\left({\,z\,\,-\,\,{\rm {E}}[z]\,}\right)^{2}}\right]}$

أي، إيجاد ( z − E[ z ] ) وإجراء العمليات الجبرية اللازمة لجمع الحدود وتبسيطها.

7. بالنسبة لمعظم الأغراض، يكفي الاحتفاظ فقط بالحدود من الدرجة الأولى؛ قم بتربيع تلك الكمية.

8. أوجد القيمة المتوقعة لتلك النتيجة. ستكون هذه القيمة بمثابة تقريب لتباين z .

هذه هي العلاقة الأساسية للتوسع من الدرجة الثانية المستخدمة في التقريبات: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}z\left({x_{1}\,\,\,x_{2}\,\cdots \,\,\,x_{p}}\right)\,\,\,\approx \,\,\,z\left({{\bar {x}}_{1}\,\,\,{\bar {x}}_{2}\,\,\cdots \,\,\,{\bar {x}}_{p}}\right)\,\,\,\,+\,\,\,\,\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\left.{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right|}_{{\bar {x}}_{i}}\left({x_{i}-{\bar {x}}_{i}}\right)\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over 2}\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\sum \limits _{j\,=\,1}^{p}{\left.{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right|}}_{{\bar {x}}_{i},{\bar {x}}_{j}}\left({x_{i}-{\bar {x}}_{i}}\right)\left({x_{j}-{\bar {x}}_{j}}\right)\end{aligned}}}$

لتقليل التشويش في الرموز، لا يتم عرض رموز التقييم عند المتوسط:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\left({x_{1}\,\,x_{2}}\right)\,\,\,\,\approx \,\,\,z\left({{\bar {x}}_{1}\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}\partial x_{1}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}\partial x_{1}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}\partial x_{2}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\end{aligned}}}$