المصفوفة (الرياضيات)

يُحدد حجم المصفوفة بعدد صفوفها وأعمدتها. لا يوجد حد لعدد الصفوف والأعمدة التي يمكن أن تحتويها المصفوفة (بالمعنى المعتاد) طالما أنها أعداد صحيحة موجبة. تُسمى المصفوفة التي تحتوي على m صفًا و n عمودًا مصفوفة m × n ، ^{[ 4 ]} أو مصفوفة m × n ، ^{[ 5 ]} حيث يُطلق على m و n أبعادها . ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، المصفوفة${\displaystyle {\mathbf {A} }}$المصفوفة أعلاه هي مصفوفة 3 × 2 .

تُسمى المصفوفات ذات الصف الواحد مصفوفات الصفوف أو متجهات الصفوف ، وتُسمى المصفوفات ذات العمود الواحد مصفوفات الأعمدة أو متجهات الأعمدة . تُسمى المصفوفة التي يتساوى فيها عدد الصفوف والأعمدة مصفوفة مربعة . ^{[ 7 ]} أما المصفوفة التي تحتوي على عدد لا نهائي من الصفوف أو الأعمدة (أو كليهما) فتُسمى مصفوفة لانهائية . في بعض السياقات، مثل برامج الجبر الحاسوبي ، من المفيد اعتبار مصفوفة لا تحتوي على صفوف أو أعمدة، وتُسمى مصفوفة فارغة . ^{[ 8 ]}

نظرة عامة على حجم المصفوفة

اسم	مقاس	مثال	وصف
مصفوفة الصفوف	${\displaystyle 1\times n}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}$	مصفوفة تتكون من صف واحد وأكثر من عمود واحد، وتستخدم أحيانًا لتمثيل متجه
مصفوفة عمودية	${\displaystyle n\times 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}$	مصفوفة ذات عمود واحد وأكثر من صف واحد، تُستخدم أحيانًا لتمثيل متجه
مصفوفة مربعة	${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}$	مصفوفة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة، وتستخدم أحيانًا لتمثيل تحويل خطي من فضاء متجهي إلى نفسه، مثل الانعكاس أو الدوران أو القص .

تتطلب عمليتا جمع وطرح المصفوفات مصفوفات ذات حجم ثابت، ويتم حسابهما عنصرًا عنصرًا. مجموع A + B وفرق A − B لمصفوفتين من الرتبة m × n هما: ^{[ 18 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\\({\mathbf {A}}-{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}-{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال،

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$$

تمتد الخصائص المألوفة للأعداد إلى هذه العمليات على المصفوفات: على سبيل المثال، الجمع ^تبديلي ، أي أن مجموع المصفوفة لا يعتمد على ترتيب الحدود: A + B = B + A. ^{[ 19} ]

يتم حساب حاصل ضرب العدد c ( يسمى أيضًا عددًا قياسيًا في هذا السياق ) والمصفوفة A عن طريق ضرب كل عنصر من عناصر A في c : ^{[ 20 ]}$${\displaystyle (c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}}$$ تُسمى هذه العملية بالضرب القياسي ، ولكن لا يُطلق على نتيجتها اسم "الناتج القياسي" لتجنب الالتباس، حيث يُستخدم مصطلح "الناتج القياسي" غالبًا كمرادف لمصطلح " الناتج الداخلي ". ^{[ 21 ]} على سبيل المثال:

$${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$$

إن طرح المصفوفة يتوافق مع تركيب جمع المصفوفة مع الضرب القياسي في -1 : ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B} }$$

منقولة المصفوفة A من الرتبة m × n هي المصفوفة A ^{T من الرتبة} n × m (ويرمز لها أيضًا بـ A ^tr أو ^t A ) التي تتكون من تحويل الصفوف إلى أعمدة والعكس صحيح: $${\displaystyle \left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.}$$ على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$$

^عملية النقل متوافقة مع الجمع والضرب القياسي، كما ^هو موضح في ( cA ) ^T = c ( AT ) و ( A ⁺ B ) ^T = AT + BT ^. وأخيرًا ^، ( AT ) ^{T =} A. [ 23 ^]

يُقابل ضرب مصفوفتين تركيب التحويلات الخطية التي تُمثلها كل مصفوفة. ويُعرَّف هذا الضرب إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة اليسرى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة اليمنى. إذا كانت A مصفوفة من الرتبة m × n و B مصفوفة من الرتبة n × p ، فإن حاصل ضربهما AB هو مصفوفة من الرتبة m × p عناصرها هي حاصل الضرب الداخلي للصف المقابل في A والعمود المقابل في B : ^{[ 24 ]}$${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},}$$ حيث 1 ≤ i ≤ m و 1 ≤ j ≤ p . ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، يتم حساب القيمة 2340 المسطرة في الناتج على النحو التالي: (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

تُحقق عملية ضرب المصفوفات القواعد التالية: ( AB ) C = A ( BC ) ( خاصية التجميع )، و ( A + B ) C = AC + BC، بالإضافة إلى C ( A + B ) = CA + CB ( خاصية التوزيع من اليسار واليمين )، وذلك عندما يكون حجم المصفوفات كافيًا لتعريف نواتج الضرب المختلفة. ^{[ 26 ]} يمكن تعريف ناتج الضرب AB دون تعريف BA ، أي إذا كانت A و B مصفوفتين من الرتبة m × n و n × k على التوالي، و m ≠ k . حتى لو كان كلا الناتجين مُعرّفين، فليس بالضرورة أن يكونا متساويين، أي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.}$$

بمعنى آخر، ضرب المصفوفات ليس عملية تبديلية ، على عكس الأعداد (النسبية، والحقيقية، والمركبة) التي يكون ناتج ضربها مستقلاً عن ترتيب العوامل. ^{[ 24 ]} مثال على مصفوفتين لا تتبادلان مع بعضهما البعض هو: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}$$ بينما $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$$

إلى جانب عملية ضرب المصفوفات العادية الموصوفة آنفاً، توجد عمليات أخرى أقل استخداماً على المصفوفات يمكن اعتبارها أشكالاً من الضرب، مثل ضرب هادامارد وضرب كرونكر . ^{[ 28 ]} وتظهر هذه العمليات عند حل معادلات المصفوفات مثل معادلة سيلفستر . ^{[ 29 ]}

توجد ثلاثة أنواع من عمليات الصفوف: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

1. إضافة الصفوف، أي إضافة صف إلى صف آخر.
2. الضرب الصفي، أي ضرب جميع عناصر الصف بثابت غير صفري؛
3. تبديل الصفوف، أي تبديل صفين من المصفوفة؛

تُستخدم هذه العمليات بعدة طرق، بما في ذلك حل المعادلات الخطية وإيجاد معكوسات المصفوفات باستخدام طريقة جاوس للحذف وطريقة جاوس - جوردان للحذف، على التوالي. ^{[ 32 ]}

المصفوفة الفرعية هي مصفوفة يتم الحصول عليها بحذف أي مجموعة من الصفوف أو الأعمدة أو كليهما. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} على سبيل المثال، من المصفوفة التالية 3 × 4 ، يمكننا إنشاء مصفوفة فرعية 2 × 3 عن طريق حذف الصف 3 والعمود 2: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}$$

يتم إيجاد المحددات الصغرى والمرافقات للمصفوفة عن طريق حساب محدد بعض المصفوفات الفرعية. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

المصفوفة الفرعية الرئيسية هي مصفوفة فرعية مربعة تُنتج بحذف صفوف وأعمدة معينة. ويختلف تعريفها من مؤلف لآخر. فبعض المؤلفين يرون أنها مصفوفة فرعية يكون فيها عدد مؤشرات الصفوف المتبقية مساويًا لعدد مؤشرات الأعمدة المتبقية. ^{[ 37 ] [ 38 ]} بينما يُعرّفها آخرون بأنها مصفوفة فرعية تكون فيها أول k صفوف وأعمدة، حيث k عدد صحيح ، هي العناصر المتبقية؛ ^{[ 39 ]} ويُطلق على هذا النوع من المصفوفات الفرعية أيضًا اسم المصفوفة الفرعية الرئيسية الرائدة . ^{[ 40 ]}

اسم	مثال مع n = 3
المصفوفة القطرية	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
مصفوفة مثلثية سفلية	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
مصفوفة مثلثية علوية	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

مصفوفة محددة

مصفوفة موجبة محددة	مصفوفة غير محددة
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}+y^{2}}$	${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}}$
نقاط بحيث${\textstyle Q(x,y)=1}$ ( قطع ناقص )	نقاط بحيث${\textstyle Q(x,y)=1}$( القطع الزائد )

تُسمى المصفوفة الحقيقية المتناظرة A موجبة التحديد إذا كانت الصيغة التربيعية المرتبطة بها$${\displaystyle f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}}$$لها قيمة موجبة لكل متجه غير صفري x في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا كانت الدالة f ( x ) تُنتج قيمًا سالبة فقط، فإنالمصفوفة A سالبة التحديد ؛ أما إذا كانت f تُنتج قيمًا سالبة وموجبة، فإن A غير محددة . ^{[ 68 ]} إذا كانت الصيغة التربيعية f تُنتج قيمًا غير سالبة فقط (موجبة أو صفر)، تُسمى المصفوفة المتناظرة موجبة شبه محددة (أو سالبة شبه محددة إذا كانت القيم غير موجبة فقط)؛ وبالتالي، تكون المصفوفة غير محددة تحديدًا عندما لا تكون موجبة شبه محددة ولا سالبة شبه محددة. ^{[ 69 ]}

تكون المصفوفة المتناظرة موجبة التحديد إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية موجبة، أي أن المصفوفة موجبة شبه التحديد وقابلة للعكس. ^{[ 70 ]} يوضح الجدول على اليمين حالتين محتملتين لمصفوفات من الرتبة 2×2. القيم الذاتية للمصفوفة القطرية هي ببساطة عناصر القطر الرئيسي، ^{[ 71 ]} وبالتالي، في هذه الأمثلة، يمكن قراءة القيم الذاتية مباشرة من المصفوفات نفسها. تحتوي المصفوفة الأولى على قيمتين ذاتيتين موجبتين، بينما تحتوي الثانية على قيمة ذاتية موجبة وأخرى سالبة.

يؤدي السماح بإدخال متجهين مختلفين بدلاً من ذلك إلى الحصول على الشكل الثنائي الخطي المرتبط بـ A : ^{[ 72 ]}$${\displaystyle B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.}$$

في حالة المصفوفات المعقدة، تنطبق نفس المصطلحات والنتائج، مع استبدال المصفوفة المتناظرة ، ^والشكل التربيعي ، والشكل الثنائي الخطي ، والمنقولة x ^T على التوالي بالمصفوفة الهرميتية ، والشكل الهرميتي ، والشكل شبه الخطي ، والمنقولة المترافقة x ^{H. [ 73} ]

تركز هذه المقالة على المصفوفات التي تكون عناصرها أعدادًا حقيقية أو مركبة. مع ذلك، يمكن النظر إلى المصفوفات بأنواع عناصر أكثر عمومية من الأعداد الحقيقية أو المركبة. كخطوة أولى نحو التعميم، يمكن استخدام أي حقل ، أي مجموعة تُعرَّف فيها عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وتكون ذات سلوك جيد، بدلاً من ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$أو​​${\displaystyle \mathbb {C} }$على سبيل المثال، الأعداد النسبية أو الحقول المنتهية . فعلى سبيل المثال،تستخدم نظرية الترميز المصفوفات على الحقول المنتهية. ^{[ 116 ]} عند النظر في القيم الذاتية ، باعتبارها جذورًا لكثير الحدود، فقد توجد فقط في حقل أكبر من حقل عناصر المصفوفة. على سبيل المثال، قد تكون مركبة في حالة مصفوفة ذات عناصر حقيقية. إن إمكانية إعادة تفسير عناصر المصفوفة كعناصر في حقل أكبر (على سبيل المثال، اعتبار مصفوفة حقيقية مصفوفة مركبة عناصرها جميعها حقيقية) تسمح باعتبار كل مصفوفة مربعة تمتلك مجموعة كاملة من القيم الذاتية. ^{[ 117 ]} بدلاً من ذلك، يمكن النظر فقط في المصفوفات ذات العناصر في حقل مغلق جبريًا ، مثل ...${\displaystyle \mathbb {C} ,}$^منذ البداية. [ ^{118 ]}

تُستخدم المصفوفات التي عناصرها كثيرات حدود ، ^{[ 119 ]} وبشكل أعم، المصفوفات التي عناصرها في حلقة R، على نطاق واسع في الرياضيات. ^{[ 1 ]} تُعدّ الحلقات مفهومًا أعمّ من الحقول، إذ لا يشترط وجود عملية قسمة فيها. وتمتدّ عمليتا الجمع والضرب للمصفوفات إلى هذا السياق أيضًا. تُعرف المجموعة M( n , R ) (والتي يُرمز لها أيضًا بـ Mn ( _R ) ^{[ 15 ]} ) لجميع المصفوفات المربعة من الرتبة n×n على R ^{بحلقة تُسمى حلقة المصفوفات، وهي متماثلة مع حلقة التشكل الداخلي للوحدة النمطية Rn اليسرى على R.} [ 120 ] إذا كانت الحلقة R تبديلية ، أي أن ضربها تبديلي ^{، فإن الحلقة} M ( n , R ) تُعدّ أيضًا جبرًا ترابطيًا على R. ويمكن تعريف مُحدِّد المصفوفات المربعة على حلقة تبديلية R باستخدام صيغة لايبنيز . تكون هذه المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها قابلاً للعكس في R ، وهو تعميم للحالة على حقل F ، حيث يكون كل عنصر غير صفري قابلاً للعكس. ^{[ 121 ]} تُسمى المصفوفات على الحلقات الفائقة بالمصفوفات الفائقة . ^{[ 122 ]}

لا تحتوي المصفوفات دائمًا على جميع عناصرها في نفس الحلقة  ، أو حتى في أي حلقة على الإطلاق. ومن الحالات الخاصة والشائعة مصفوفات الكتل ، التي يمكن اعتبارها مصفوفات عناصرها نفسها مصفوفات. لا يشترط أن تكون العناصر مصفوفات مربعة، وبالتالي لا يشترط أن تكون أعضاءً في أي حلقة ؛ ولكن لكي يتم ضربها، يجب أن تستوفي أحجامها شروطًا معينة: يجب أن يكون لكل زوج من المصفوفات الفرعية التي تُضرب لتكوين الناتج الكلي أحجام متوافقة. ^{[ 123 ]}

الخرائط الخطية${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$تُكافئ هذه المصفوفات مصفوفات من الرتبة m × n ، كما هو موضح أعلاه . وبشكل أعم، يمكن وصف أي تطبيق خطي f : V → W بين فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة بواسطة مصفوفة A = ( a _ij ) ، بعد اختيار قواعد v ₁ , ..., v _n من V ، و w ₁ , ..., w _m من W (حيث n هو بُعد V و m هو بُعد W )، بحيث $${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.}$$ بمعنى آخر، يُعبّر العمود j من المصفوفة A عن صورة v _j بدلالة متجهات الأساس w _i للمصفوفة W ؛ وبالتالي، تُحدد هذه العلاقة عناصر المصفوفة A بشكل فريد . وتعتمد المصفوفة على اختيار الأساسات: إذ تُنتج اختيارات مختلفة للأساسات مصفوفات مختلفة، ولكنها متكافئة . ^{[ 124 ]} يمكن إعادة تفسير العديد من المفاهيم الملموسة المذكورة أعلاه في هذا السياق، فعلى سبيل المثال، تصف مصفوفة النقل A ^T منقولة التحويل الخطي المُعطى بواسطة A ، فيما يتعلق بالأساسات الثنائية . ^{[ 125 ]}

يمكن إعادة صياغة هذه الخصائص بشكل أكثر طبيعية: فئة المصفوفات ذات المدخلات في حقل${\displaystyle k}$إن استخدام الضرب كتركيب يكافئ فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة والخرائط الخطية على هذا الحقل. ^{[ 126 ]}

بشكلٍ أعم، يمكن استخدام مجموعة المصفوفات من الرتبة m × n لتمثيل التطبيقات الخطية R بين الوحدات الحرة R m و R n  لأي حلقة R تحتوي على عنصر محايد. عندما n = m ، يصبح تركيب هذه التطبيقات ممكنًا، مما يُنتج حلقة المصفوفات من الرتبة n × n التي تُمثل حلقة التشكل الداخلي لـ R n . [ 127 ]

الزمرة هي بنية رياضية تتكون من مجموعة من العناصر بالإضافة إلى عملية ثنائية ، أي عملية تجمع أي عنصرين لتكوين عنصر ثالث، وفقًا لشروط معينة. ^{[ 128 ]} الزمرة التي تكون عناصرها قابلة للعكس .${\displaystyle n\times n}$المصفوفات وعملية المجموعة التي هي ضرب المصفوفات تسمى مجموعة المصفوفات من الدرجة ⁠${\displaystyle n}$[ 129 ^{] كل مجموعة مصفوفات من} هذا القبيل هي مجموعة جزئية من (أي مجموعة أصغر محتواة داخل) مجموعة جميع ^{المصفوفات} القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ، المجموعة الخطية العامة من الدرجة${\displaystyle n}$[ ¹³⁰ ]^​​

يمكن استخدام أي خاصية من خصائص المصفوفات المربعة التي تبقى محفوظة تحت تأثير ضرب المصفوفات ومعكوساتها لتعريف زمرة مصفوفية. على سبيل المثال، مجموعة جميع ⁠${\displaystyle n\times n}$المصفوفات التي يكون محددها 1 تشكل مجموعة تسمى المجموعة الخطية الخاصة من الدرجة 1${\displaystyle n}$[ 131 ^] مجموعة المصفوفات المتعامدة ^{، التي} تحددها الشروط $${\displaystyle {\mathbf {M}}^{\rm {T}}{\mathbf {M}}={\mathbf {I}},}$$ تُشكّل المجموعة المتعامدة . ^{[ 132 ]} كل مصفوفة متعامدة لها مُحدِّد يساوي 1 أو -1 . تُشكّل المصفوفات المتعامدة ذات المُحدِّد 1 مجموعة تُسمى المجموعة المتعامدة الخاصة . ^{[ 133 ]}

كل زمرة منتهية متماثلة مع زمرة مصفوفية، كما يتضح من خلال النظر في التمثيل المنتظم للزمرة المتناظرة . ^{[ 134 ]} يمكن دراسة الزمر العامة باستخدام الزمر المصفوفية، التي تُفهم جيدًا نسبيًا، باستخدام نظرية التمثيل . ^{[ 135 ]}

من الممكن أيضًا دراسة المصفوفات ذات عدد لا نهائي من الصفوف والأعمدة. ^{[ 136 ]} تُعرَّف العمليات الأساسية المذكورة أعلاه بنفس الطريقة في هذه الحالة. مع ذلك، فإن ضرب المصفوفات، وجميع العمليات المشتقة منه، لا يكون ذا معنى إلا عند تقييده بمصفوفات معينة، لأن المجموع الوارد في تعريف ضرب المصفوفات أعلاه سيحتوي على عدد لا نهائي من الحدود. ^{[ 137 ]} إحدى الطرق السهلة لتجاوز هذه المشكلة هي التقييد بالمصفوفات المنتهية التي تحتوي جميع صفوفها (أو أعمدتها) على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية. ^{[ 138 ]} كما هو الحال في الحالة المنتهية (انظر أعلاه )، حيث تصف المصفوفات التحويلات الخطية، يمكن استخدام المصفوفات غير المنتهية لوصف المؤثرات على فضاءات هيلبرت ، حيث تظهر مسائل التقارب والاستمرارية . ومع ذلك، فإن وجهة النظر الصريحة للمصفوفات تميل إلى إخفاء الأمر، ^{[ 139 ]} ويتم استخدام الأدوات المجردة والأكثر قوة للتحليل الوظيفي بدلاً من ذلك، من خلال ربط المصفوفات بالخرائط الخطية (كما في الحالة المحدودة أعلاه )، ولكن مع فرض قيود إضافية على التقارب والاستمرارية.

المصفوفة الفارغة هي مصفوفة يكون عدد صفوفها أو أعمدتها (أو كليهما) صفرًا. ^{[ 140 ] [ 8 ]} يمكن أن تكون المصفوفات الفارغة حالة أساسية مفيدة لبعض الإنشاءات التكرارية ، ^{[ 141 ]} ويمكن أن تساعد في التعامل مع التطبيقات التي تتضمن فضاء المتجهات الصفرية . ^{[ 142 ]} على سبيل المثال، إذا كانت A مصفوفة 3 × 0 و B مصفوفة 0 × 3 ، فإن AB هي مصفوفة 3 × 3 الصفرية المقابلة للتطبيق الصفري من فضاء ثلاثي الأبعاد V إلى نفسه، بينما BA هي مصفوفة 0 × 0. لا يوجد ترميز موحد للمصفوفات الفارغة، ولكن معظم أنظمة الجبر الحاسوبي تسمح بإنشائها وإجراء العمليات الحسابية عليها. ^{[ 143 ]} يُعرَّف محدد المصفوفة 0 × 0 اصطلاحًا بأنه يساوي 1، بما يتوافق مع الضرب الفارغ الوارد في صيغة لايبنتز للمحدد. ^{[ 144 ]} هذه القيمة ضرورية أيضًا للتوافق مع حالة 2 × 2 لهوية ديسنانوت-جاكوبي التي تربط المحددات بمحددات المصفوفات الأصغر. ^{[ 145 ]}

الحلقة شبه الدائرية تشبه الحلقة الدائرية، لكن عناصرها لا يشترط أن تمتلك معكوسات جمعية ، لذا لا يمكن إجراء عمليات الطرح فيها بحرية. ينطبق تعريف جمع وضرب المصفوفات ذات العناصر في حلقة دائرية على المصفوفات ذات العناصر في حلقة شبه دائرية دون تعديل. تشكل المصفوفات ذات الحجم الثابت والعناصر في حلقة شبه دائرية شبه زمرة تبديلية.${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$في عملية الجمع. ^{[ 146 ]} المصفوفات المربعة ذات الحجم الثابت والتي تحتوي عناصرها على شبه حلقة تُشكل شبه حلقة${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$في عمليات الجمع والضرب. ^{[ 146 ]}

محدد مصفوفة مربعة من الرتبة n × n${\displaystyle M}$مع إدخالات في شبه حلقة تبديلية${\displaystyle R}$لا يمكن تعريفها بشكل عام لأن التعريف سيتضمن المعكوسات الجمعية لعناصر شبه الحلقة. ما يلعب دورها بدلاً من ذلك هو زوج المحددات الموجبة والسالبة

${\displaystyle \det \nolimits _{+}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}}$

${\displaystyle \det \nolimits _{-}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (n)\setminus \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}}$

حيث يتم حساب المجاميع على التباديل الزوجية والتباديل الفردية، على التوالي. ^{[ 147 ] [ 148 ]}

يمكن تعريف المصفوفات وضربها باستخدام عناصر من فئة مزودة بـ" حاصل ضرب موتر " مشابه للضرب في حلقة، ولها نواتج مشتركة مشابهة للجمع في حلقة، حيث يكون الأول توزيعيًا على الثاني. ^{[ 149 ]} مع ذلك، قد يكون الضرب المعرّف بهذه الطريقة تجميعيًا فقط بمعنى أضعف من المعتاد. هذه العناصر جزء من بنية أكبر تُسمى الفئة الثنائية للمصفوفات . فيما يلي وصف كامل للملخص أعلاه للقراء المهتمين.

يترك${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$أن تكون فئة أحادية تحقق الشرطين التاليين:

• جميع المنتجات الثانوية (الصغيرة) موجودة؛ على وجه الخصوص، لنفترض${\displaystyle \varnothing }$أن يكون كائنًا أوليًا .
• الدالة${\displaystyle \otimes }$وهي توزيعية على المنتجات المشتركة؛ أي، لجميع الكائنات${\displaystyle X}$ومجموعة من الأشياء${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، المتعارف عليه${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-المورفيزمات$${\displaystyle \coprod _{i\in I}(X\otimes Y_{i})\to X\otimes \coprod _{i\in I}Y_{i}}$$$${\displaystyle \coprod _{i\in I}(Y_{i}\otimes X)\to \left(\coprod _{i\in I}Y_{i}\right)\otimes X}$$هي عمليات تماثل . على وجه الخصوص، التشكلات القانونية${\displaystyle \varnothing \to X\otimes \varnothing }$و${\displaystyle \varnothing \to \varnothing \otimes X}$هي عمليات متماثلة.

ثم، التصنيف الثنائي لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-المصفوفات${\displaystyle \operatorname {Mat} ({\mathcal {C}})}$وهو كما يلي: ^{[ 149 ]}

• الأشياء هي المجموعات.
• 1 -مورفيزم${\displaystyle M\colon A\to B}$هي خريطة${\displaystyle M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$هذه مجرد مصفوفة فوق${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
  • تركيب التشكلات من الدرجة الأولى${\displaystyle M\colon A\to B}$و${\displaystyle N\colon B\to C}$، والتي يمكن فهمها على أنها ضرب المصفوفات، هي$${\displaystyle (N\circ M)(a,c)=\coprod _{b\in B}M(a,b)\otimes N(b,c).}$$
  • التماثل الأحادي على${\displaystyle A}$يكون$${\displaystyle \operatorname {id} _{A}(a,b)={\begin{cases}I&a=b\\\varnothing &a\neq b\end{cases}}.}$$
• تماثل ثنائي بين تماثلات أحادية${\displaystyle M,N\colon A\to B}$هي عائلة من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-المورفيزمات${\displaystyle (f_{ab}\colon M(a,b)\to N(a,b))_{(a,b)\in A\times B}}$إن تعريف التركيب الرأسي والأفقي للمورفيزمات الثنائية أمر طبيعي: فالتركيب الرأسي هو تركيب مكون من مكونات${\displaystyle {\mathcal {C}}}$التشكلات؛ التركيب الأفقي هو التركيب المشتق من الخاصية الوظيفية لـ${\displaystyle \otimes }$والخاصية العامة للمنتجات الثانوية.

بشكل عام، لا يشترط أن تكون الفئة الثنائية للمصفوفات فئة ثنائية صارمة . على سبيل المثال، قد لا يكون تركيب التشكلات الأحادية تجميعيًا بالمعنى الصارم المعتاد، بل فقط حتى التشاكل المتماسك .

مصفوفة التجاور للرسم البياني المحدود مفهوم أساسي في نظرية الرسوم البيانية . ^{[ 160 ]} تسجل هذه المصفوفة رؤوس الرسم البياني المتصلة بحافة. ​​تُسمى المصفوفات التي تحتوي على قيمتين فقط ( 1 و 0 ، بمعنى "نعم" و"لا" على التوالي) بالمصفوفات المنطقية . تحتوي مصفوفة المسافة (أو التكلفة) على معلومات حول مسافات الحواف. ^{[ 161 ]} يمكن تطبيق هذه المفاهيم على مواقع الويب المتصلة عبر الروابط التشعبية ، ^{[ 162 ]} أو المدن المتصلة عبر الطرق، وما إلى ذلك، وفي هذه الحالة (ما لم تكن شبكة الاتصال كثيفة للغاية) تميل المصفوفات إلى أن تكون متفرقة ، أي تحتوي على عدد قليل من العناصر غير الصفرية. لذلك، يمكن استخدام خوارزميات مصفوفات مصممة خصيصًا في نظرية الشبكات . ^{[ 163 ]}

مصفوفة هيسيان لدالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$يتكون من المشتقات الثانية لـ ƒ فيما يتعلق باتجاهات الإحداثيات المختلفة، أي ^{[ 164 ]}$${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$$

يُشفّر هذا النموذج معلومات حول سلوك النمو المحلي للدالة: عند وجود نقطة حرجة x = ( x1 , ..., xn ₎ ، أي نقطة تكون عندها _{المشتقات} الجزئية الأولى${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$إذا كانت f تتلاشى، فإن للدالة قيمة صغرى محلية إذا كانت مصفوفة هيسيان موجبة التحديد . يمكن استخدام البرمجة التربيعية لإيجاد القيم الصغرى أو العظمى المطلقة للدوال التربيعية المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتلك المرتبطة بالمصفوفات (انظر أعلاه ). ^{[ 165 ]}

ومن المصفوفات الأخرى التي تُستخدم بكثرة في المسائل الهندسية مصفوفة جاكوبي للدالة القابلة للتفاضل .${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$إذا كانت f ₁ ، ... ، f _m تمثل مكونات f ، فإن مصفوفة جاكوبي تُعرف على النحو ^{التالي [} 166 ^]$${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.}$$ إذا كان n > m ، وإذا بلغت رتبة مصفوفة جاكوبي قيمتها القصوى m ، فإن f قابلة للعكس محليًا عند تلك النقطة، وفقًا لنظرية الدالة الضمنية . ^{[ 167 ]}

يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية بالنظر إلى مصفوفة معاملات المؤثرات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى للمعادلة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، تكون هذه المصفوفة موجبة التحديد، مما يؤثر بشكل حاسم على مجموعة الحلول الممكنة للمعادلة المعنية. ^{[ 168 ]}

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة طريقة عددية مهمة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية، وتُستخدم على نطاق واسع في محاكاة الأنظمة الفيزيائية المعقدة. وتسعى هذه الطريقة إلى تقريب حل معادلة ما باستخدام دوال خطية متقطعة، حيث تُختار هذه الأجزاء وفقًا لشبكة دقيقة بما فيه الكفاية، والتي بدورها يمكن إعادة صياغتها كمعادلة مصفوفية. ^{[ 169 ]}

المصفوفات العشوائية هي مصفوفات مربعة صفوفها عبارة عن متجهات احتمالية ، أي أن عناصرها غير سالبة ومجموعها يساوي واحدًا. تُستخدم المصفوفات العشوائية لتعريف سلاسل ماركوف ذات عدد محدود من الحالات. ^{[ 170 ]} يُعطي كل صف في المصفوفة العشوائية التوزيع الاحتمالي للموضع التالي لجسيم موجود حاليًا في الحالة التي تُقابل ذلك الصف. يمكن استنتاج خصائص سلسلة ماركوف - مثل الحالات الممتصة ، أي الحالات التي يصل إليها أي جسيم في النهاية - من المتجهات الذاتية لمصفوفات الانتقال. ^{[ 171 ]}

يستخدم علم الإحصاء المصفوفات بأشكالٍ عديدة. ^{[ 172 ]} يهتم الإحصاء الوصفي بوصف مجموعات البيانات، والتي غالبًا ما تُمثَّل بمصفوفات بيانات ، والتي يمكن بعد ذلك إخضاعها لتقنيات تقليل الأبعاد . تُشفِّر مصفوفة التغاير التباين المتبادل لعدة متغيرات عشوائية . ^{[ 173 ]} ومن التقنيات _الأخرى التي تستخدم المصفوفات طريقة المربعات الصغرى الخطية _، وهي طريقة تُقرِّب مجموعةً محدودةً من الأزواج ( x1 _, y1 ₎ ، ( x2 _, y2 ) ، ...، ( xN , yN ₎ بدالة خطية .$${\displaystyle y_{i}\approx ax_{i}+b,\quad i=1,\ldots ,N}$$ والتي يمكن صياغتها بدلالة المصفوفات، والمرتبطة بتحليل القيم المفردة للمصفوفات. ^{[ 174 ]}

المصفوفات العشوائية هي مصفوفات عناصرها أعداد عشوائية، تخضع لتوزيعات احتمالية مناسبة ، مثل التوزيع الطبيعي للمصفوفات . وبعيدًا عن نظرية الاحتمالات، تُستخدم هذه المصفوفات في مجالات تتراوح من نظرية الأعداد إلى الفيزياء . ^{[ 175 ] [ 176 ]}

استخدم النموذج الأول لميكانيكا الكم ( هايزنبرغ ، 1925) المصفوفات اللانهائية الأبعاد لتعريف المؤثرات التي حلت محل متغيرات مثل الموضع والزخم والطاقة من الفيزياء الكلاسيكية. ^{[ 177 ]} (يُشار إلى هذا أحيانًا باسم ميكانيكا المصفوفات . ^{[ 178 ]} ) ومنذ ذلك الحين، استُخدمت المصفوفات، سواءً المحدودة أو اللانهائية الأبعاد، لأغراض عديدة في ميكانيكا الكم. ومن الأمثلة على ذلك مصفوفة الكثافة ، وهي أداة تُستخدم في حساب احتمالات نتائج القياسات التي تُجرى على الأنظمة الفيزيائية . ^{[ 179 ] [ 180 ]}

تلعب التحويلات الخطية والتناظرات المرتبطة بها دورًا محوريًا في الفيزياء الحديثة . فعلى سبيل المثال، تُصنَّف الجسيمات الأولية في نظرية الحقل الكمومي كتمثيلات لمجموعة لورنتز في النسبية الخاصة، وتحديدًا وفقًا لسلوكها تحت تأثير مجموعة اللف المغزلي . وتُعدّ التمثيلات الملموسة التي تتضمن مصفوفات باولي ومصفوفات غاما الأكثر عمومية جزءًا لا يتجزأ من الوصف الفيزيائي للفيرميونات ، التي تتصرف كجسيمات ذات لف مغزلي . ^{[ 181 ]} أما بالنسبة لأخف ثلاثة كواركات ، فيوجد تمثيل نظري للمجموعات يتضمن المجموعة الوحدوية الخاصة SU(3)؛ ولحساباتها، يستخدم الفيزيائيون تمثيلًا مصفوفيًا ملائمًا يُعرف باسم مصفوفات غيل-مان ، والتي تُستخدم أيضًا لمجموعة القياس SU(3) التي تُشكّل أساس الوصف الحديث للتفاعلات النووية القوية، أي الديناميكا اللونية الكمومية . بدورها، تعبر مصفوفة كابيبو -كوباياشي-ماسكاوا عن حقيقة أن حالات الكوارك الأساسية المهمة للتفاعلات الضعيفة ليست هي نفسها، ولكنها مرتبطة خطيًا بحالات الكوارك الأساسية التي تحدد الجسيمات ذات الكتل المحددة والمميزة . ^{[ 182 ]}

تُستخدم مصفوفة أخرى كأداة أساسية لوصف تجارب التشتت التي تُشكل حجر الزاوية في فيزياء الجسيمات التجريبية: تفاعلات التصادم، كما هو الحال في مُسرّعات الجسيمات ، حيث تتجه جسيمات غير متفاعلة نحو بعضها البعض وتصطدم في منطقة تفاعل صغيرة، مُنتجةً مجموعة جديدة من الجسيمات غير المتفاعلة، يُمكن وصفها بأنها حاصل الضرب القياسي لحالات الجسيمات الخارجة ومزيج خطي من حالات الجسيمات الداخلة. يُعطى المزيج الخطي بواسطة مصفوفة تُعرف باسم مصفوفة S ، والتي تُشفّر جميع المعلومات حول التفاعلات المُحتملة بين الجسيمات. ^{[ 183 ]}

يُعدّ وصف الأنظمة التوافقية المترابطة خطيًا أحد التطبيقات العامة للمصفوفات في الفيزياء. ويمكن وصف معادلات حركة هذه الأنظمة بصيغة المصفوفات، حيث تُضرب مصفوفة الكتلة في سرعة عامة للحصول على الحد الحركي، وتُضرب مصفوفة القوة في متجه الإزاحة لتوصيف التفاعلات. وأفضل طريقة للحصول على الحلول هي تحديد المتجهات الذاتية للنظام ، أي أنماطه الطبيعية ، عن طريق قطريّة معادلة المصفوفة. وتُعدّ هذه التقنيات بالغة الأهمية عند دراسة الديناميكيات الداخلية للجزيئات : الاهتزازات الداخلية للأنظمة المكونة من ذرات مرتبطة فيما بينها. ^{[ 184 ]} كما أنها ضرورية لوصف الاهتزازات الميكانيكية، والتذبذبات في الدوائر الكهربائية. ^{[ 185 ]}

توفر البصريات الهندسية تطبيقات إضافية للمصفوفات. في هذه النظرية التقريبية، يُهمل الطابع الموجي للضوء. والنتيجة هي نموذج تكون فيه أشعة الضوء أشعة هندسية بالفعل . إذا كان انحراف أشعة الضوء بواسطة العناصر البصرية ضئيلاً، فيمكن التعبير عن تأثير العدسة أو العنصر العاكس على شعاع ضوئي معين بضرب متجه ثنائي المكونات في مصفوفة ثنائية الأبعاد تُسمى تحليل مصفوفة نقل الشعاع : مكونات المتجه هي ميل الشعاع الضوئي ومسافته عن المحور البصري، بينما تُشفّر المصفوفة خصائص العنصر البصري. يوجد نوعان من المصفوفات، وهما: مصفوفة الانكسار التي تصف الانكسار على سطح العدسة، ومصفوفة الإزاحة التي تصف إزاحة مستوى المرجع إلى سطح الانكسار التالي، حيث تُطبق مصفوفة انكسار أخرى. يُوصف النظام البصري، الذي يتكون من مزيج من العدسات والعناصر العاكسة، ببساطة بواسطة المصفوفة الناتجة عن ضرب مصفوفات المكونات. ^{[ 186 ]}

يُصوّر حساب جونز استقطاب مصدر الضوء على أنه${\displaystyle 2\times 2}$المتجه، وتأثيرات المرشحات البصرية على متجه الاستقطاب هذا كمصفوفة. ^{[ 48 ]}

تخضع الدوائر الإلكترونية المكونة من عناصر خطية (مثل المقاومات والمحاثات والمكثفات) لقوانين كيرشوف للدوائر ، مما يؤدي إلى نظام من المعادلات الخطية، والتي يمكن وصفها بمعادلة مصفوفية تربط تيارات وفولتيات المصدر بالتيارات والفولتيات الناتجة عند كل نقطة في الدائرة، حيث يتم تحديد عناصر المصفوفة بواسطة الدائرة. ^{[ 187 ]}