طريقة الصلابة المباشرة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الإنشائية ، تُعدّ طريقة الصلابة المباشرة ، والمعروفة أيضًا بطريقة الصلابة المصفوفية ، تقنية تحليل إنشائي مناسبة بشكل خاص للتحليل الآلي الحاسوبي للهياكل المعقدة، بما في ذلك الهياكل غير المحددة استاتيكيًا . وهي طريقة مصفوفية تستخدم علاقات صلابة العناصر لحساب القوى والإزاحات في الهياكل. تُعتبر طريقة الصلابة المباشرة التطبيق الأكثر شيوعًا لطريقة العناصر المحدودة (FEM). عند تطبيق هذه الطريقة، يجب نمذجة النظام كمجموعة من العناصر المثالية البسيطة المتصلة عند العقد. ثم تُجمع خصائص صلابة المواد لهذه العناصر، من خلال الجبر الخطي ، في معادلة مصفوفية واحدة تحكم سلوك الهيكل المثالي بأكمله. بعد ذلك، يمكن تحديد الإزاحات والقوى المجهولة للهيكل عن طريق حل هذه المعادلة. تُشكّل طريقة الصلابة المباشرة أساس معظم برامج العناصر المحدودة.

نشأت طريقة الصلابة المباشرة في مجال هندسة الطيران والفضاء . درس الباحثون مناهج مختلفة لتحليل هياكل الطائرات المعقدة، شملت نظرية المرونة ، ومبادئ الطاقة في الميكانيكا الإنشائية ، وطريقة المرونة ، وطريقة الصلابة المصفوفية . ومن خلال تحليل هذه المناهج، برزت طريقة الصلابة المباشرة كطريقة فعالة ومثالية للتطبيق الحاسوبي.

تاريخ

بين عامي 1934 و1938، نشر كلٌ من أ. ر. كولار و و. ج. دنكان أولى الأبحاث التي تضمنت تمثيلًا ومصطلحات لأنظمة المصفوفات المستخدمة اليوم. واستمرت أبحاث المرونة الهوائية خلال الحرب العالمية الثانية، إلا أن قيود النشر المفروضة بين عامي 1938 و1947 جعلت من الصعب تتبع هذا العمل. وحدث الإنجاز الرئيسي الثاني في تحليل الهياكل باستخدام المصفوفات خلال عامي 1954 و1955، عندما قام البروفيسور جون هـ. أرجيريس بتنظيم مفهوم تجميع العناصر المكونة للهيكل في نظام من المعادلات. وأخيرًا، في 6 نوفمبر 1959، نشر م. ج. تيرنر ، رئيس وحدة ديناميكيات الهياكل في شركة بوينغ ، بحثًا يوضح فيه طريقة الصلابة المباشرة كنموذج فعال للتطبيق الحاسوبي ( فيليبا 2001 ) .

علاقات التصلب بين الأعضاء

تتخذ علاقة الصلابة النموذجية للعضو الشكل العام التالي:

أين

م = رقم العضو م .
سؤالم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}= متجه القوى المميزة للعضو، وهي قوى داخلية غير معروفة.
كم{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}= مصفوفة صلابة العضو التي تميز مقاومة العضو للتشوهات.
qم{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}= متجه الإزاحات أو التشوهات المميزة للعضو.
سؤالoم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}= متجه القوى المميزة للعضو الناتجة عن التأثيرات الخارجية (مثل القوى المعروفة وتغيرات درجة الحرارة) المطبقة على العضو بينماqم=0{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}.

لوqم{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}إذا كانت تشوهات العناصر هي تشوهات وليست إزاحات مطلقة،سؤالم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}هي قوى أعضاء مستقلة، وفي هذه الحالة يمكن عكس (1) للحصول على ما يسمى بمصفوفة مرونة الأعضاء ، والتي تستخدم في طريقة المرونة .

علاقات صلابة النظام

بالنسبة لنظام يحتوي على العديد من الأعضاء المتصلة ببعضها البعض عند نقاط تسمى العقد، يمكن دمج علاقات صلابة الأعضاء مثل المعادلة (1) من خلال الاستفادة من الملاحظات التالية:

  • تشوهات الأعضاءqم{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}يمكن التعبير عن ذلك بدلالة إزاحات العقد في النظام r لضمان التوافق بين العناصر. وهذا يعني أن r ستكون المجاهيل الرئيسية.
  • القوات الأعضاءسؤالم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}تساعد هذه القوى في الحفاظ على توازن العقد تحت تأثير قوى العقد R. وهذا يعني أن الطرف الأيمن من المعادلة (1) سيتم دمجه في الطرف الأيمن من معادلات توازن العقد التالية للنظام بأكمله:

أين

R{\displaystyle \mathbf {R} }= متجه القوى العقدية، الذي يمثل القوى الخارجية المطبقة على عقد النظام.
ك{\displaystyle \mathbf {K} }= مصفوفة صلابة النظام، والتي يتم إنشاؤها عن طريق تجميع مصفوفات صلابة العناصر.كم{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}.
ر{\displaystyle \mathbf {r} }= متجه إزاحات العقد للنظام الذي يمكنه تحديد جميع التكوينات المشوهة الممكنة للنظام الخاضع لقوى عقدية عشوائية R.
Ro{\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}= متجه قوى العقد المكافئة، الذي يمثل جميع التأثيرات الخارجية بخلاف قوى العقد المضمنة بالفعل في متجه قوى العقد السابق R. يتم إنشاء هذا المتجه عن طريق تجميع العناصرسؤالoم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}.

حل

مصفوفة صلابة النظام K مربعة لأن المتجهين R و r لهما نفس الحجم. بالإضافة إلى ذلك، فهي متناظرة لأنكم{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}متناظر. بمجرد مراعاة قيود الدعامات في (2)، يتم إيجاد إزاحات العقد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية (2)، رمزياً:

ر=ك-1(R-Ro)(3){\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }

بعد ذلك، يمكن إيجاد القوى المميزة للأعضاء من المعادلة (1) حيثqم{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}يمكن إيجادها من خلال r عن طريق مراعاة التوافق.

طريقة الصلابة المباشرة

من الشائع أن تكون المعادلة (1) على شكل حيثqم{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}وسؤالoم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}تمثل هذه القيم، على التوالي، إزاحات وقوى طرفي العنصر المتوافقة في الاتجاه مع r و R. في هذه الحالة،ك{\displaystyle \mathbf {K} }وRo{\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}يمكن الحصول عليها عن طريق الجمع المباشر لمصفوفات الأعضاءكم{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}وسؤالoم{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}وتُعرف هذه الطريقة حينها باسم طريقة الصلابة المباشرة.

تتم مقارنة ومناقشة مزايا وعيوب طريقة صلابة المصفوفة في مقالة طريقة المرونة .

مثال

انفصال

تتمثل الخطوة الأولى عند استخدام طريقة الصلابة المباشرة في تحديد العناصر الفردية التي تشكل الهيكل.

بمجرد تحديد العناصر، يتم فصل الهيكل عند العقد، وهي النقاط التي تربط العناصر المختلفة ببعضها البعض.

ثم يتم تحليل كل عنصر على حدة لاستنباط معادلات صلابة العنصر. وترتبط القوى والإزاحات من خلال مصفوفة صلابة العنصر التي تعتمد على هندسة العنصر وخصائصه.

لا يمكن لعنصر الجمالون نقل القوى إلا في حالتي الضغط والشد. وهذا يعني أنه في بُعدين، لكل عقدة درجتا حرية : الإزاحة الأفقية والإزاحة الرأسية. تحتوي المعادلة الناتجة على مصفوفة صلابة رباعية الأبعاد.

[وx1وy1وx2وy2]=[ك11ك12ك13ك14ك21ك22ك23ك24ك31ك32ك33ك34ك41ك42ك43ك44][ux1uy1ux2uy2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}

يستطيع عنصر الإطار مقاومة عزوم الانحناء بالإضافة إلى الضغط والشد. ينتج عن ذلك ثلاث درجات حرية: الإزاحة الأفقية، والإزاحة الرأسية، والدوران في المستوى. مصفوفة الصلابة في هذه الحالة هي ستة في ستة.

[وx1وy1مz1وx2وy2مz2]=[ك11ك12ك13ك14ك15ك16ك21ك22ك23ك24ك25ك26ك31ك32ك33ك34ك35ك36ك41ك42ك43ك44ك45ك46ك51ك52ك53ك54ك55ك56ك61ك62ك63ك64ك65ك66][ux1uy1θz1ux2uy2θz2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}

يمكن أيضًا دمج عناصر أخرى مثل الصفائح والأغلفة في طريقة الصلابة المباشرة، ويجب تطوير معادلات مماثلة.

حَشد

بعد تحديد علاقات الصلابة للعناصر الفردية، يجب تجميعها في الهيكل الأصلي. تتمثل الخطوة الأولى في هذه العملية في تحويل علاقات الصلابة للعناصر الفردية إلى نظام إحداثيات شامل للهيكل بأكمله. في حالة عنصر الجمالون، يعتمد الشكل العام لطريقة الصلابة على زاوية العنصر بالنسبة لنظام الإحداثيات العالمي (وهذا النظام عادةً ما يكون نظام الإحداثيات الديكارتية التقليدي ).

[وx1وy1وx2وy2]=هـأل[ج2sج-ج2-sجsجs2-sج-s2-ج2-sجج2sج-sج-s2sجs2][ux1uy1ux2uy2]s=الخطيئة⁡βج=كوس⁡β{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}(لعنصر جملوني بزاوية β) أو ما يعادله، [وx1وy1وx2وy2]=هـأل[جxجxجxجy-جxجx-جxجyجyجxجyجy-جyجx-جyجy-جxجx-جxجyجxجxجxجy-جyجx-جyجyجyجxجyجy][ux1uy1ux2uy2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}

أينجx{\displaystyle c_{x}}وجy{\displaystyle c_{y}}تمثل هذه القيم جيوب تمام اتجاه عنصر الجمالون (أي أنها مركبات متجه وحدة محاذٍ للعنصر). يوضح هذا الشكل كيفية تعميم صلابة العنصر على الجمالونات الفضائية ثلاثية الأبعاد ببساطة عن طريق توسيع النمط الواضح في هذه الصيغة.

بعد إنشاء مصفوفة صلابة العنصر في نظام الإحداثيات العالمي، يجب دمجها في مصفوفة صلابة "رئيسية" أو "عالمية" واحدة. عند دمج هذه المصفوفات، يجب مراعاة قاعدتين أساسيتين: توافق الإزاحات وتوازن القوى عند كل عقدة. ويتم تحقيق هاتين القاعدتين من خلال ربط إزاحات عقد العنصر بالإزاحات العقدية العالمية.

تحتوي متجهات الإزاحة والقوة الكلية على عنصر واحد لكل درجة حرية في الهيكل. يتم دمج مصفوفات صلابة العناصر عن طريق زيادة أو توسيع كل مصفوفة بما يتوافق مع متجهات الإزاحة والحمل الكلية.

ك(1)=هـأل[10-100000-10100000]→ك(1)=هـأل[10-1000000000-101000000000000000000000]{\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}(بالنسبة للعنصر (1) من البنية المذكورة أعلاه)

وأخيرًا، يتم إنشاء مصفوفة الصلابة العالمية عن طريق جمع مصفوفات العناصر الموسعة الفردية معًا.

حل

بمجرد إنشاء مصفوفة الصلابة العالمية ومتجه الإزاحة ومتجه القوة، يمكن التعبير عن النظام كمعادلة مصفوفة واحدة.

لكل درجة من درجات الحرية في الهيكل، إما أن تكون الإزاحة أو القوة معروفة.

بعد إدخال القيمة المعروفة لكل درجة من درجات الحرية، تكتمل معادلة الصلابة الرئيسية وتصبح جاهزة للتقييم. تتوفر عدة طرق مختلفة لتقييم معادلة المصفوفة، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر، تحليل تشوليسكي والتقييم المباشر لأنظمة المعادلات. إذا لم يكن الهيكل مقيدًا بشكل صحيح، فإن تطبيق قوة عليه سيؤدي إلى تحركه بشكل صلب، مما يستدعي إضافة شروط دعم إضافية.

تهدف الطريقة الموضحة في هذا القسم إلى تقديم لمحة عامة عن طريقة الصلابة المباشرة. يُنصح بالرجوع إلى مصادر إضافية لمزيد من التفاصيل حول هذه العملية، بالإضافة إلى الافتراضات المتعلقة بخصائص المواد التي تنطوي عليها.

التطبيقات

طُوِّرت طريقة الصلابة المباشرة خصيصًا لتطبيقها بكفاءة وسهولة في برامج الحاسوب لتقييم الهياكل المعقدة التي تحتوي على عدد كبير من العناصر. واليوم، تعتمد جميع برامج حل العناصر المحدودة تقريبًا على طريقة الصلابة المباشرة. ورغم أن جميع البرامج تستخدم نفس العملية، فقد تم تبسيط العديد منها لتقليل وقت الحساب واستهلاك الذاكرة. ولتحقيق ذلك، طُوِّرت اختصارات.

يُعدّ مجال تحليل الهياكل أحد أبرز المجالات التي تستخدم طريقة الصلابة المباشرة، حيث تمّ دمج هذه الطريقة في برامج النمذجة. يُمكّن البرنامج المستخدمين من نمذجة الهيكل، وبعد تحديد خصائص المواد للعناصر، يقوم البرنامج تلقائيًا بإنشاء علاقات الصلابة للعناصر وللهيكل ككل. عند تطبيق ظروف تحميل مختلفة، يُقيّم البرنامج الهيكل ويُولد الانحرافات للمستخدم.

انظر أيضاً

مراجع

  • فيليبا، كارلوس أ. (2001)، "لمحة تاريخية عن تحليل المصفوفات الهيكلية: مسرحية من ثلاثة فصول" (ملف PDF) ، الحوسبة والهياكل ، 79 (14): 1313-1324 ، doi : 10.1016/S0045-7949(01)00025-6 ، ISSN 0045-7949 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29-06-2007 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 05-10-2005 
  • فيليبا، كارلوس أ. مقدمة في طريقة العناصر المحدودة. خريف 2001. جامعة كولورادو. 18 سبتمبر 2005
  • روبنسون، جون. تحليل المصفوفات الهيكلية للمهندس. نيويورك: جون وايلي وأولاده، 1966
  • روبنشتاين، موشيه ف. تحليل المصفوفات الحاسوبية للهياكل. نيو جيرسي: برنتيس هول، 1966
  • McGuire, W., Gallagher, RH, and Ziemian, RD Matrix Structural Analysis, 2nd Ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.