نظرية الجذر المترافق المركب

في الرياضيات ، تنص نظرية الجذر المركب المترافق على أنه إذا كانت P متعددة حدود في متغير واحد بمعاملات حقيقية ، وكان a + bi جذرًا لـ P حيث a و b أعداد حقيقية ، فإن مرافقها المركب a − bi هو أيضًا جذر لـ P. ^{[ 1 ]}    

يستنتج من هذا (ومن النظرية الأساسية للجبر ) أنه إذا كانت درجة كثيرة الحدود الحقيقية فردية ، فلا بد أن يكون لها جذر حقيقي واحد على الأقل. ^{[ 2 ]} ويمكن إثبات هذه الحقيقة أيضًا باستخدام نظرية القيمة المتوسطة .

• متعددة الحدود${\displaystyle x^{2}+1=0}$له جذران وهميان:${\displaystyle \pm i}$

• أي مصفوفة مربعة حقيقية من الدرجة الفردية لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل . على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة متعامدة ، فإن 1 أو -1 قيمة ذاتية.
• متعددة الحدود

${\displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

له جذور من

${\displaystyle 3,\,2+5i,\,2-5i,}$

وبالتالي يمكن اعتبارها عاملاً

${\displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

عند حساب حاصل ضرب العاملين الأخيرين، يتم حذف الأجزاء التخيلية ، فنحصل على

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

تأتي العوامل غير الحقيقية في أزواج، وعند ضربها نحصل على كثيرات حدود تربيعية ذات معاملات حقيقية. وبما أن كل كثيرة حدود ذات معاملات مركبة يمكن تحليلها إلى عوامل من الدرجة الأولى (وهذه إحدى طرق صياغة النظرية الأساسية في الجبر )، فإنه يترتب على ذلك أن كل كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى عوامل من الدرجة الثانية أو أقل: عوامل من الدرجة الأولى وعوامل تربيعية فقط.

• إذا كانت الجذور هي a + bi و a − bi ، فإنها تشكل معادلة تربيعية

${\displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$.

إذا كان الجذر الثالث هو c ، فإن هذا يصبح

${\displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)}$

${\displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$.

أحد البراهين على النظرية هو كما يلي: ^{[ 2 ]}

لنفترض متعددة الحدود

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

حيث جميع a و _r أعداد حقيقية. لنفترض أن عددًا مركبًا ما ζ هو جذر للمعادلة P ، أي${\displaystyle P(\zeta )=0}$يجب إثبات ذلك

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0}$

أيضًا.

إذا كانت P ( ζ )  =  0، فإن

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0}$

والتي يمكن صياغتها على النحو التالي

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.}$

الآن

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}}$

وبالنظر إلى خصائص الاقتران المركب ،

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.}$

منذ

${\displaystyle {\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.}$

إنه،

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{n}=0.}$

لاحظ أن هذا يعمل فقط لأن a _r حقيقية، أي${\displaystyle {\overline {a_{r}}}=a_{r}}$إذا كان أي من المعاملات غير حقيقي، فلن تأتي الجذور بالضرورة في أزواج مترافقة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إثبات أنه لأي${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }$ويرى ذلك أن${\displaystyle P({\overline {\zeta }})={\overline {P(\zeta )}}}$حتى لو${\displaystyle P(\zeta )\neq 0}$.