التعددية (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُعرف تعددية عنصر في مجموعة متعددة بأنها عدد مرات ظهوره في تلك المجموعة. على سبيل المثال، عدد مرات وجود جذر لكثير حدود معين عند نقطة معينة هو تعددية ذلك الجذر.

يُعدّ مفهوم التعددية مهماً لضمان دقة الحساب دون الحاجة إلى تحديد الاستثناءات (على سبيل المثال، حساب الجذور المزدوجة مرتين). ومن هنا جاء التعبير "الحساب مع مراعاة التعددية".

إذا تم تجاهل التعددية، فيمكن التأكيد على ذلك بحساب عدد العناصر المختلفة ، كما في "عدد الجذور المختلفة". ومع ذلك، عند تكوين مجموعة (على عكس المجموعة المتعددة)، يتم تجاهل التعددية تلقائيًا، دون الحاجة إلى استخدام مصطلح "مختلف".

في التحليل إلى العوامل الأولية ، تعددية العامل الأولي هي${\displaystyle p}$التقييم -adic . على سبيل المثال، التحليل إلى العوامل الأولية للعدد الصحيح 60 هو

60 = 2 × 2 × 3 × 5،

تكرار العامل الأولي 2 هو 2 ، بينما تكرار كل من العاملين الأوليين 3 و 5 هو 1. وبالتالي، فإن العدد 60 له أربعة عوامل أولية تسمح بالتكرار، ولكن له ثلاثة عوامل أولية مختلفة فقط.

يترك${\displaystyle F}$كن حقلاً و${\displaystyle p(x)}$لتكن كثيرة حدود في متغير واحد بمعاملات في${\displaystyle F}$عنصر${\displaystyle a\in F}$هو جذر التعدد${\displaystyle k}$ل${\displaystyle p(x)}$إذا كان هناك متعددة حدود${\displaystyle s(x)}$بحيث${\displaystyle s(a)\neq 0}$و${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$. لو${\displaystyle k=1}$إذا كان ، فإن a يُسمى جذرًا بسيطًا .${\displaystyle k\geq 2}$، ثم${\displaystyle a}$يُطلق عليه اسم الجذر المتعدد .

على سبيل المثال، متعددة الحدود${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$للمعادلة جذور 1 و -4 ويمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$وهذا يعني أن 1 هو جذر ذو رتبة  2، وأن -4 هو جذر بسيط (ذو رتبة  1). وتُعرَّف رتبة الجذر بأنها عدد مرات ظهور هذا الجذر في التحليل الكامل لكثير الحدود، وذلك باستخدام النظرية الأساسية للجبر .

لو${\displaystyle a}$هو جذر التعدد${\displaystyle k}$إذا كان متعدد الحدود، فهو جذر متعدد.${\displaystyle k-1}$من مشتقة تلك متعددة الحدود، إلا إذا كانت خاصية الحقل الأساسي قاسمًا لـ k ، وفي هذه الحالة${\displaystyle a}$هو جذر للتعددية على الأقل${\displaystyle k}$من المشتق.

يكون مميز كثير الحدود صفراً إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود جذر متعدد.

سلوك دالة متعددة الحدود بالقرب من جذر متعدد

يتقاطع منحنى دالة كثيرة الحدود f مع المحور السيني عند الجذور الحقيقية لكثيرة الحدود. يكون المنحنى مماسًا لهذا المحور عند الجذور المضاعفة لـ f ، ولا يكون مماسًا عند الجذور البسيطة. يقطع المنحنى المحور السيني عند الجذور ذات الرتبة الفردية، ولا يقطعه عند الجذور ذات الرتبة الزوجية، حيث يعني "قطع المحور السيني " وجود نقاط على المنحنى على جانبي المحور بالقرب من الجذر.

تكون دالة كثيرة الحدود غير الصفرية غير سالبة في كل مكان إذا وفقط إذا كانت جميع جذورها ذات رتبة زوجية، ويوجد${\displaystyle x_{0}}$بحيث${\displaystyle f(x_{0})>0}$.

للمعادلة${\displaystyle f(x)=0}$مع حل بمتغير واحد${\displaystyle x_{*}}$، التعدد هو${\displaystyle k}$لو

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$و${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

بمعنى آخر، الدالة التفاضلية${\displaystyle \partial _{j}}$، والتي تُعرَّف بأنها المشتقة${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$دالة في${\displaystyle x_{*}}$يختفي عند${\displaystyle f}$ل${\displaystyle j}$حتى${\displaystyle k-1}$تلك الدوال التفاضلية${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$يمتد إلى فضاء متجهي ، يسمى فضاء ماكولاي الثنائي عند${\displaystyle x_{*}}$، ^{[ 1 ]} وبُعدها هو تعددية${\displaystyle x_{*}}$كصفر من${\displaystyle f}$.

يترك${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$أن يكون نظامًا من${\displaystyle m}$معادلات${\displaystyle n}$متغيرات مع حل${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$أين${\displaystyle \mathbf {f} }$هي عملية ربط من${\displaystyle R^{n}}$ل${\displaystyle R^{m}}$أو من${\displaystyle C^{n}}$ل${\displaystyle C^{m}}$يوجد أيضًا فضاء ماكولاي الثنائي للدوال التفاضلية عند${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$حيث تختفي كل وظيفة عند${\displaystyle \mathbf {f} }$بُعد فضاء ماكولاي الثنائي هذا هو تعدد الحلول${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$إلى المعادلة${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$يشكل فضاء ماكولاي الثنائي بنية التعددية للنظام عند الحل. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

على سبيل المثال، الحل${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$من نظام المعادلات على شكل ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$مع

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

هي من التعددية 3 لأن الفضاء الثنائي لماكولاي

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

وهو ذو بُعد 3، حيث${\displaystyle \جزئي _{ij}}$يرمز إلى الدالة التفاضلية${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$يتم تطبيقها على دالة عند النقطة${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$.

تكون التعددية محدودة دائمًا إذا كان الحل معزولًا، وهي ثابتة تحت تأثير الاضطراب بمعنى أن${\displaystyle k}$يصبح الحل ذو التعددية - مجموعة من الحلول ذات التعددية المشتركة${\displaystyle k}$تحت تأثير الاضطراب في الفضاءات المعقدة، وهو مطابق لتعددية التقاطع على الأنظمة متعددة الحدود.

في الهندسة الجبرية ، يُعرَّف تقاطع مجموعتين فرعيتين من مجموعة جبرية بأنه اتحاد منتهٍ لمجموعات غير قابلة للاختزال . ويُلحق بكل مكون من مكونات هذا التقاطع تعددية تقاطع . هذا المفهوم محلي بمعنى أنه يُمكن تعريفه بالنظر إلى ما يحدث في جوار أي نقطة عامة من هذا المكون. وبناءً على ذلك، ودون الإخلال بعمومية الحل ، يُمكننا، لتعريف تعددية التقاطع، اعتبار تقاطع مجموعتين أفينيتين (مجموعتين فرعيتين من فضاء أفيني).

بناءً على ذلك، إذا كان لدينا نوعان من الأصناف الأفينية V1 وV2، فلنعتبر مكونًا غير قابل للاختزال W لتقاطع V1 وV2. ولتكن d بُعد _{W ،} و _P أي نقطة عامة _في W. تقاطع W مع d من المستويات الفائقة في الوضع العام المار بالنقطة P له مكون غير قابل للاختزال يُختزل إلى النقطة P. بالتالي ، فإن الحلقة المحلية عند هذا المكون من حلقة إحداثيات التقاطع لا تحتوي إلا على مثالي أولي واحد _، وهي بالتالي حلقة أرتينية . هذه الحلقة هي فضاء متجهي محدود الأبعاد فوق الحقل الأساسي. بُعدها هو تعدد تقاطع V1 و _V2 عند W.

هذا التعريف يسمح لنا بصياغة نظرية بيزو وتعميماتها بدقة.

يُعمم هذا التعريف تعددية جذر متعددة الحدود على النحو التالي: جذور متعددة الحدود f هي نقاط على الخط الأفيني ، وهي مكونات المجموعة الجبرية المعرفة بواسطة متعددة الحدود. حلقة الإحداثيات لهذه المجموعة الأفينية هي${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$حيث K حقل مغلق جبريًا يحتوي على معاملات f . إذا${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$إذا كان تحليل f إلى عوامل ، فإن الحلقة المحلية لـ R عند المثالي الأولي${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$يكون${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$هذا فضاء متجهي على K ، والذي له التعددية${\displaystyle m_{i}}$من الجذر كبعد.

هذا التعريف لتعددية التقاطع، والذي يعود الفضل فيه أساسًا إلى جان بيير سير في كتابه "الجبر المحلي " ، لا ينطبق إلا على المكونات النظرية للمجموعات (وتسمى أيضًا المكونات المعزولة ) للتقاطع، وليس على المكونات المضمنة . وقد طُوّرت نظريات لمعالجة الحالة المضمنة (انظر نظرية التقاطع لمزيد من التفاصيل).

ليكن z₀ جذرًا للدالة التحليلية f ، وليكن n أصغر عدد صحيح موجب بحيث تكون _{المشتقة} النونية للدالة f عند z₀ غير ^صفرية . عندئذٍ ، تبدأ _{متسلسلة} قوى f حول z₀ بالحد النوني ، ويُقال إن ^للدالة f _جذرًا من الرتبة n . إذا كان n = 1، يُسمى الجذر جذرًا بسيطًا. ^{[ 4 ]}   

يمكننا أيضًا تعريف تعددية أصفار وأقطاب الدالة الميرومورفية . إذا كانت لدينا دالة ميرومورفية${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$خذ مفكوك تايلور للدالتين g و h حول النقطة z = ₀ ، وأوجد أول حد غير صفري في كل منهما (مع الإشارة إلى رتبة الحدين m و n على التوالي). إذا كان m  = n ، فإن النقطة لها قيمة غير صفرية. ${\displaystyle m>n,}$إذن، النقطة هي صفر من التعددية${\displaystyle m-n.}$لو${\displaystyle m<n}$إذن، فإن النقطة لها قطب متعدد.${\displaystyle n-m.}$يقوم مبدأ الحجة بحساب الأصفار والأقطاب وفقًا لتعددها.

• التعدد الجبري

• كرانز، إس جي. دليل المتغيرات المركبة . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر، 1999. ISBN 0-8176-4011-8.