نقطة عامة

في الهندسة الجبرية ، النقطة العامة P لمجموعة جبرية X هي نقطة في موضع عام ، حيث تكون جميع الخصائص العامة صحيحة، والخاصية العامة هي خاصية صحيحة لكل نقطة تقريبًا .

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، النقطة العامة لمتنوعة جبرية أفينية أو إسقاطية ذات بُعد d هي نقطة يكون للحقل الناتج عن إحداثياتها درجة تجاوز d على الحقل الناتج عن معاملات معادلات المتنوعة.

في نظرية المخططات ، يمتلك طيف مجال تكاملي نقطة عامة فريدة، وهي المثالي الصفري. ولأن إغلاق هذه النقطة في طوبولوجيا زاريسكي هو الطيف بأكمله، فقد تم توسيع التعريف ليشمل الطوبولوجيا العامة ، حيث تُعرَّف النقطة العامة في فضاء طوبولوجي X بأنها نقطة يكون إغلاقها هو X.

النقطة العامة للفضاء الطوبولوجي X هي نقطة P يكون إغلاقها هو كل X ^، أي نقطة كثيفة في X. ^{[ 1} ]

تنشأ المصطلحات من حالة طوبولوجيا زاريسكي على مجموعة الأصناف الفرعية لمجموعة جبرية : تكون المجموعة الجبرية غير قابلة للاختزال (أي أنها ليست اتحاد مجموعتين جبريتين مناسبتين) إذا وفقط إذا كان للفضاء الطوبولوجي للأصناف الفرعية نقطة عامة.

• الفضاء الهاوسدورفي الوحيد الذي يحتوي على نقطة عامة هو مجموعة العناصر المفردة .
• أي مخطط تكاملي له نقطة عامة (فريدة)؛ في حالة المخطط التكاملي الأفيني (أي الطيف الأولي لمجال تكاملي ) تكون النقطة العامة هي النقطة المرتبطة بالمثالي الأولي (0).

في المنهج التأسيسي لأندريه ويل ، الذي طُوِّر في كتابه "أسس الهندسة الجبرية" ، لعبت النقاط العامة دورًا هامًا، ولكن جرى التعامل معها بطريقة مختلفة. بالنسبة لمتنوعة جبرية V على حقل K ، كانت النقاط العامة لـ V فئة كاملة من نقاط V التي تأخذ قيمًا في مجال شامل Ω، وهو حقل مغلق جبريًا يحتوي على K بالإضافة إلى عدد لا نهائي من المتغيرات غير المحددة. وقد نجح هذا المنهج دون الحاجة إلى التعامل مباشرة مع طوبولوجيا V ( طوبولوجيا زاريسكي K )، لأن التخصصات يمكن مناقشتها جميعًا على مستوى الحقل (كما هو الحال في منهج نظرية التقييم للهندسة الجبرية، الذي شاع في ثلاثينيات القرن العشرين).

كان لهذا ثمنٌ تمثل في وجود مجموعة هائلة من النقاط العامة المتشابهة. لطالما أصرّ أوسكار زاريسكي ، زميل ويل في ساو باولو بعد الحرب العالمية الثانية مباشرة ، على أن تكون النقاط العامة فريدة. (يمكن إعادة صياغة هذا بمصطلحات علماء الطوبولوجيا: فكرة ويل لا تُقدّم فضاء كولموغوروف ، بينما يفكر زاريسكي من منظور حاصل قسمة كولموغوروف ).

في خضم التغيرات الجذرية السريعة التي شهدتها خمسينيات القرن العشرين، أصبح منهج ويل متقادمًا. مع ذلك، في نظرية المخططات ، ومنذ عام ١٩٥٧، عادت النقاط العامة، هذه المرة على غرار زاريسكي . على سبيل المثال، بالنسبة لحلقة التقييم المنفصلة R ، تتكون Spec ( R ) من نقطتين: نقطة عامة (مشتقة من المثالي الأولي {٠}) ونقطة مغلقة أو نقطة خاصة مشتقة من المثالي الأعظمي الوحيد . بالنسبة للتشاكلات على Spec ( R )، فإن الليف الموجود فوق النقطة الخاصة هو الليف الخاص ، وهو مفهوم مهم، على سبيل المثال، في الاختزال modulo p ، ونظرية المونودروميا، ونظريات أخرى حول الانحلال. وبالمثل، فإن الليف العام هو الليف الموجود فوق النقطة العامة. إذن، تتمحور هندسة الانحلال إلى حد كبير حول الانتقال من الألياف العامة إلى الألياف الخاصة، أو بعبارة أخرى، كيف يؤثر تخصيص المعاملات على الأمور. (بالنسبة لحلقة التقييم المنفصلة، ​​فإن الفضاء الطوبولوجي المعني هو فضاء سيربينسكي للطوبولوجيات. أما الحلقات المحلية الأخرى فلها نقاط عامة وخاصة فريدة، ولكن طيفها أكثر تعقيدًا، لأنها تمثل أبعادًا عامة. وتشبه حالة التقييم المنفصل إلى حد كبير قرص الوحدة المركب ، لهذه الأغراض.)