التكافؤ (الرياضيات)

في الرياضيات ، الزوجية هي خاصية العدد الصحيح التي تحدد ما إذا كان زوجيًا أم فرديًا . يكون العدد زوجيًا إذا كان يقبل القسمة على 2، وفرديًا إذا لم يكن كذلك. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، -4، 0، و82 أعداد زوجية، بينما -3، 5، و23 أعداد فردية.

ينطبق تعريف التكافؤ المذكور أعلاه على الأعداد الصحيحة فقط، وبالتالي لا يمكن تطبيقه على الأعداد التي تحتوي على كسور أو أعداد عشرية مثل 1/2 أو 4.6978 . انظر قسم الرياضيات  المتقدمة للاطلاع على بعض التوسعات لمفهوم التكافؤ ليشمل فئة أكبر من "الأعداد" أو في سياقات أخرى أكثر عمومية.

للأعداد الزوجية والفردية زوجية مختلفة، على سبيل المثال 22 (عدد زوجي) و13 (عدد فردي). وبالتحديد، زوجية الصفر زوجية. ^{[ 2 ]} أي عددين صحيحين متتاليين لهما زوجية مختلفة. يكون العدد الصحيح المُعبَّر عنه في النظام العشري زوجيًا أو فرديًا وفقًا لما إذا كان رقمه الأخير زوجيًا أم فرديًا. أي، إذا كان الرقم الأخير 1 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9، فهو فردي؛ وإلا فهو زوجي - لأن الرقم الأخير لأي عدد زوجي هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8. ^{[ 3 ]}

ينطبق هذا المفهوم على أي نظام عد زوجي: أي عدد صحيح مُعبَّر عنه في النظام الثنائي يكون فرديًا إذا كان رقمه الأخير 1، ويكون زوجيًا إذا كان رقمه الأخير 0. في النظام الفردي، يكون العدد زوجيًا إذا وفقط إذا كان مجموع أرقامه زوجيًا؛ على سبيل المثال، في النظام ذي الأساس 7 ، يكون العدد 11 (المكافئ للعدد 8 في النظام ذي الأساس 10) زوجيًا (لأنه 11 = 11).${\displaystyle \Sigma =2}$) و 115 (ما يعادل 61 في النظام العشري) عدد فردي (لأن${\displaystyle \Sigma =7}$). ^{[ 3 ]}

العدد الزوجي هو عدد صحيح على الصورة $${\displaystyle x=2k}$$ حيث k عدد صحيح؛ ^{[ 4 ]} العدد الفردي هو عدد صحيح على الصورة $${\displaystyle x=2k+1.}$$

التعريف المكافئ هو أن العدد الزوجي يقبل القسمة على 2: $${\displaystyle 2\ |\ x}$$ والعدد الفردي ليس: $${\displaystyle 2\not |\ x}$$

يمكن تعريف مجموعات الأعداد الزوجية والفردية على النحو التالي: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}$$$${\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}$$

مجموعة الأعداد الزوجية هي مثال أولي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$وحلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$هو الحقل الذي يحتوي على عنصرين . ويمكن تعريف التكافؤ على أنه التماثل الحلقي الوحيد من${\displaystyle \mathbb {Z} }$ل${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$حيث الأعداد الفردية تساوي 1 والأعداد الزوجية تساوي 0. وسيتم تناول نتائج هذا التشاكل أدناه.

يمكن التحقق من القوانين التالية باستخدام خصائص قابلية القسمة . وهي حالة خاصة من قواعد الحساب النمطي ، وتُستخدم عادةً للتحقق من صحة المساواة عن طريق اختبار زوجية كل طرف. وكما هو الحال في الحساب العادي، فإن الضرب والجمع عمليتان تبديليتان وتجميعيتان في الحساب النمطي 2، والضرب عملية توزيعية على الجمع. مع ذلك، فإن الطرح في الحساب النمطي 2 مطابق للجمع، لذا فإن الطرح يمتلك هذه الخصائص أيضًا، وهو ما لا ينطبق على الحساب الصحيح العادي.

اعتبر الإغريق القدماء أن العدد 1، وهو الموناد ، ليس فرديًا تمامًا ولا زوجيًا تمامًا. ^{[ 7 ]} وقد استمر بعض هذا الرأي حتى القرن التاسع عشر: إذ يوجه فريدريك فيلهلم أوغست فروبل في كتابه "تربية الإنسان " الصادر عام 1826، المعلم إلى تدريب الطلاب على الادعاء بأن العدد 1 ليس زوجيًا ولا فرديًا، والذي يلحق به فروبل فكرة فلسفية لاحقة.

من المفيد توجيه انتباه الطالب هنا مباشرةً إلى قانونٍ عظيمٍ وواسع النطاق في الطبيعة والفكر. وهو أنه بين شيئين أو فكرتين مختلفتين نسبيًا، يوجد دائمًا عنصر ثالث، في نوعٍ من التوازن، يبدو وكأنه يوحدهما. وهكذا، يوجد هنا بين الأعداد الفردية والزوجية عدد واحد (واحد) ليس أيًا منهما. وبالمثل، في الشكل، تقع الزاوية القائمة بين الزاويتين الحادة والمنفرجة؛ وفي اللغة، تقع أشباه الحروف المتحركة أو الحروف الهامسة بين الحروف الصامتة والحروف المتحركة. لا يسع المعلم المتأمل والطالب الذي تعلم التفكير بنفسه إلا أن يلاحظا هذا القانون وغيره من القوانين المهمة. ^{[ 8 ]}

في نظرية المعلومات ، تُعدّ بتة التكافؤ المُلحقة بالعدد الثنائي أبسط أشكال ترميز كشف الأخطاء . فإذا تغيّر بت واحد في القيمة الناتجة، فلن يكون لها التكافؤ الصحيح: إذ يُغيّر تغيير بت في العدد الأصلي تكافؤه عن التكافؤ المُسجّل، كما أن تغيير بتة التكافؤ دون تغيير العدد الأصلي يُنتج نتيجة خاطئة. وبهذه الطريقة، يُمكن كشف جميع أخطاء الإرسال أحادية البت بدقة. ^{[ 24 ]} وتعتمد بعض ترميزات كشف الأخطاء الأكثر تطورًا على استخدام بتات تكافؤ متعددة لمجموعات فرعية من بتات القيمة المُشفّرة الأصلية. ^{[ 25 ]}

في آلات النفخ ذات التجويف الأسطواني المغلق فعليًا من أحد طرفيه، مثل الكلارينيت عند الفوهة، تكون التوافقيات الناتجة مضاعفات فردية للتردد الأساسي . (أما في الأنابيب الأسطوانية المفتوحة من كلا الطرفين، المستخدمة مثلاً في بعض مفاتيح الأرغن مثل الديابازون المفتوح ، فتكون التوافقيات مضاعفات زوجية للتردد نفسه لطول التجويف المحدد، ولكن هذا يؤدي إلى مضاعفة التردد الأساسي وإنتاج جميع مضاعفاته). انظر سلسلة التوافقيات (الموسيقى) . ^{[ 26 ]}

في بعض البلدان، تُختار أرقام المنازل بحيث تحمل المنازل على أحد جانبي الشارع أرقامًا زوجية، بينما تحمل المنازل على الجانب الآخر أرقامًا فردية. ^{[ 27 ]} وبالمثل، في الولايات المتحدة ، تشير الأرقام الزوجية في الغالب إلى الطرق السريعة الممتدة من الشرق إلى الغرب، بينما تشير الأرقام الفردية في الغالب إلى الطرق السريعة الممتدة من الشمال إلى الجنوب. ^{[ 28 ]} وفي أرقام رحلات الطيران ، تُشير الأرقام الزوجية عادةً إلى الرحلات المتجهة شرقًا أو شمالًا، بينما تُشير الأرقام الفردية عادةً إلى الرحلات المتجهة غربًا أو جنوبًا. ^{[ 29 ]}

• المقسوم عليه
• نصف عدد صحيح