cis (الرياضيات)

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرَّف الدالة cis بالصيغة cis x = cos x + i sin x ، حيث cos دالة جيب التمام ، و i الوحدة التخيلية ، و sin دالة الجيب . أما x فهو وسيط العدد المركب ( الزاوية بين الخط الواصل إلى النقطة ومحور السينات في الصورة القطبية ). وهي مكافئة رياضيًا لصيغة أويلر e ix ، التي تُقدم صيغةً مختصرةً للدالة cos x + i sin x ، ولكنها تُستخدم على نطاق واسع كاسم لهذه الدالة في مكتبات البرامج .cis(x)

ملخص

يُعدّ رمز cis اختصارًا لمجموعة الدوال الموجودة على الجانب الأيمن من صيغة أويلر :

هـأناx=كوس⁡x+أناالخطيئة⁡x،{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

حيث i 2 = −1 . إذن،

cis⁡x=كوس⁡x+أناالخطيئة⁡x،{\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

ie " cis " هو اختصار لـ " cos i sin ".

يربط هذا المفهوم الدوال المثلثية بالدوال الأسية في المستوى المركب عبر صيغة أويلر. بينما يكون مجال التعريف عادةًx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }القيم المركبةz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }من الممكن أيضًا:

cis⁡z=كوس⁡z+أناالخطيئة⁡z،{\displaystyle \operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,}

لذا يمكن استخدام دالة cis لتوسيع صيغة أويلر إلى نسخة أكثر عمومية معقدة . [ 5 ]

تُستخدم هذه الدالة في الغالب كاختصار ملائم لتبسيط بعض التعبيرات، [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] على سبيل المثال بالاقتران مع تحويلات فورييه وهارتلي ، [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] أو عندما لا ينبغي استخدام الدوال الأسية لسبب ما في تعليم الرياضيات.

في مجال تكنولوجيا المعلومات، تحظى هذه الوظيفة بدعم مخصص في العديد من مكتبات الرياضيات عالية الأداء (مثل مكتبة Intel Math Kernel Library (MKL) [ 12 ] أو MathCW [ 13 ] )، والمتوفرة للعديد من المترجمات ولغات البرمجة (بما في ذلك C و C++ [ 14 ] و Common Lisp [ 15 ] [ 16 ] و D [ 17 ] و Haskell [ 18 ] و Julia [ 19 ] و Rust [ 20 ] ). وبحسب النظام الأساسي، فإن العملية المدمجة أسرع بمرتين تقريبًا من استدعاء دالتي الجيب وجيب التمام بشكل منفصل. [ 17 ] [ 3 ]

المتطابقات الرياضية

المشتق

ددzcis⁡z=أناcis⁡z=أناهـأناz{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}[ 1 ] [ 21 ]

أساسي

∫cis⁡zدz=-أناcis⁡z=-أناهـأناz{\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,dz=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}[ 1 ]

خصائص أخرى

هذه النتائج تتبع مباشرة من صيغة أويلر .

كوس⁡(x)=cis⁡(x)+cis⁡(-x)2=هـأناx+هـ-أناx2{\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
الخطيئة⁡(x)=cis⁡(x)-cis⁡(-x)2أنا=هـأناx-هـ-أناx2أنا{\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
cis⁡(x+y)=cis⁡xcis⁡y{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}[ 22 ]
cis⁡(x-y)=cis⁡xcis⁡y{\displaystyle \operatorname {cis} (xy)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}
cis⁡(نx)=cis⁡(x)ن{\displaystyle \operatorname {cis} (nx)=\operatorname {cis} (x)^{n}}
cis⁡(xن)=cis⁡(x)ن{\displaystyle \operatorname {cis} \left({x \over n}\right)={\sqrt[{n}]{\operatorname {cis} (x)}}}

تتحقق المتطابقات المذكورة أعلاه إذا كان x و y أي عددين مركبين. أما إذا كان x و y عددين حقيقيين، فإن

|cis⁡x-cis⁡y|≤|x-y|.{\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |xy|.}[ 22 ]

تاريخ

صاغ ويليام روان هاميلتون مصطلح "cis" لأول مرة في كتابه " عناصر الرباعيات" (1866) [ 23 ] [ 24 ] ، ثم استخدمه لاحقًا إيرفينغ سترينغهام (الذي أطلق عليه أيضًا اسم " قطاع x ") في أعمال مثل " الجبر أحادي المستوى " (1893) [ 25 ] [ 26 ]، وجيمس هاركنس وفرانك مورلي في كتابهما "مقدمة في نظرية الدوال التحليلية " (1898) [ 26 ] [ 27 ]، أو جورج آشلي كامبل (الذي أشار إليه أيضًا باسم "التذبذب السيسويدي") في أعماله حول خطوط النقل (1901 ) وتكاملات فورييه (1928) [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] .

في عام 1942، مستوحى من تدوين cis ، قدم رالف في إل هارتلي دالة cas (لجيب التمام والجيب ) لنواة هارتلي ذات القيم الحقيقية ، وهي اختصار راسخ في هذه الأثناء بالاقتران مع تحويلات هارتلي : [ 31 ] [ 32 ]

كاس⁡x=كوس⁡x+الخطيئة⁡x.{\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}

تحفيز

يُستخدم رمز cis أحيانًا للتأكيد على طريقة معينة في عرض المشكلة والتعامل معها دون غيرها. [ 33 ] ترتبط رياضيات حساب المثلثات والدوال الأسية، لكنها ليست متطابقة تمامًا؛ إذ يُركز الرمز الأسي على الكل، بينما يُركز رمزا cis x و cos x + i sin x على الأجزاء. قد يكون هذا مفيدًا بلاغيًا للرياضيين والمهندسين عند مناقشة هذه الدالة، كما يُمكن استخدامه كأداة تذكير (لـ cos + i sin ). [ 30 ]

يُعدّ ترميز cis مناسبًا لطلاب الرياضيات الذين تسمح لهم معرفتهم بعلم المثلثات والأعداد المركبة باستخدام هذا الترميز، ولكن فهمهم المفاهيمي لا يسمح لهم بعد باستخدام الترميز e ix . ويتطلب البرهان المعتاد على أن cis x = e ix حساب التفاضل والتكامل ، وهو ما قد لا يكون الطالب قد درسه قبل التعرّف على التعبير cos x + i sin x .

كان هذا الترميز أكثر شيوعًا عندما كانت الآلات الكاتبة تُستخدم لنقل التعبيرات الرياضية.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هنا، يشير الرمز i إلى الوحدة التخيلية في الرياضيات . ولأن i يُستخدم عادةً للدلالة على التيار الكهربائي في الهندسة الكهربائية وهندسة أنظمة التحكم ، يُشار إلى الوحدة التخيلية بالرمز j بدلاً من i في هذه السياقات. وبغض النظر عن السياق، فإن هذا لا يؤثر على الاسم المتعارف عليه للدالة وهو cis .

مراجع

  1. 1 2 3 فايشتاين، إريك وولفغانغ (2015) [2000]. "Cis" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك . مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2016. تم الاسترجاع في 9 يناير 2016 .
  2. ↑ سيمونز، بروس (28 يوليو 2014) [2004]. "Cis" . مصطلحات وصيغ رياضية من الجبر 1 إلى حساب التفاضل والتكامل . أوريغون سيتي، أوريغون، الولايات المتحدة الأمريكية: كلية كلاكاماس المجتمعية ، قسم الرياضيات. مؤرشف من الأصل في 16 يوليو 2023. تم الاسترجاع في 15 يناير 2016 .
  3. 1 2 "الأساس المنطقي للمعيار الدولي - لغات البرمجة - لغة C" (ملف PDF) . 5.10 أبريل 2003. الصفحات 114، 117، 183، 186-187 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2016-06-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2010-10-17 . 
  4. ^ أمان، هربرت [في ويكي بيانات] ؛ إيشر، يواكيم [بالألمانية] (2006). تحليل أنا . Grundstudium Mathematik (بالألمانية) (3 ed.). بازل، سويسرا: Birkhäuser Verlag . ص 292، 298. ردمك   978-3-76437755-7رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 3-76437755-0.(445 صفحة)
  5. ↑ موسكوفيتز، مارتن أ. (2002). "الفصل 1. المفاهيم الأساسية" . كُتب في مركز الدراسات العليا بجامعة مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية. دورة في التحليل المركب لمتغير واحد . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية المحدودة. ص 7. ISBN  981-02-4780-X.(9+149 صفحة)
  6. ↑ سوكوفسكي، إيرل ويليام [في ويكي بيانات] ؛ كول، جيفري (2011). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي: الدوال والرسوم البيانية . سلسلة حساب التفاضل والتكامل التمهيدي ( الطبعة 12). سينجايج ليرنينج . ISBN  978-0-84006857-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2016 .
  7. ↑ ريس، كلايف (2011). الجبر المجرد: مقدمة في المجموعات والحلقات والحقول ( الطبعة الأولى). دار النشر العالمية العلمية المحدودة. الصفحات 434-438 . ISBN   978-9-81433564-5.
  8. ↑ ويتز، إدموند [بالألمانية] (2016). "النظرية الأساسية للجبر - برهان مرئي" . هامبورغ، ألمانيا: جامعة هامبورغ للعلوم التطبيقية (HAW)، قسم هندسة الوسائط . تاريخ الاسترجاع: 3 أغسطس 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  9. ↑ ل. روندبلاد، إيكاترينا؛ ميدان، أليكسي؛ نوفاك، بيتر؛ لابونيتس، فاليري (2004). "تحويلات هار-هارتلي-بروميثيوس السريعة لمعالجة الصور باستخدام الموجات اللونية". كُتب في شركة بروميثيوس، نيوبورت، الولايات المتحدة الأمريكية. في: بيرنز، جيم (محرر). الجبر الحسابي غير التبادلي وتطبيقاته (ملف PDF) . سلسلة علوم الناتو الثانية: الرياضيات والفيزياء والكيمياء (NAII). المجلد 136. دوردريخت، هولندا: سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا، الصفحات 401-411 . doi : 10.1007/1-4020-2307-3 . ISBN   978-1-4020-1982-1ISSN 1568-2609 . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 28-10-2017 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-10-2017 . 
  10. ↑ كاملر، ديفيد و. (17 يناير 2008). مدخل إلى تحليل فورييه ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN  978-1-13946903-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-10-2017 .
  11. ↑ لورينزو، كارل ف.؛ هارتلي، توم ت. (14-11-2016). حساب المثلثات الكسري: مع تطبيقات على المعادلات التفاضلية الكسرية والعلوم . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-1-11913942-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-10-2017 .
  12. ↑ "v?CIS". مرجع المطور لمكتبة Intel Math Kernel Library (Intel MKL) 2017 - C. وثائق MKL؛ مكتبة وثائق IDZ. شركة Intel . 2016-09-06. ص 1799. 671504. تم الاسترجاع في 2016-01-15 . 
  13. ↑ بيبي، نيلسون إتش إف (22 أغسطس 2017). "الفصل 15.2. القيمة المطلقة المركبة". دليل حساب الدوال الرياضية - البرمجة باستخدام مكتبة برامج MathCW المحمولة ( الطبعة الأولى). سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر إنترناشونال بابليشينج إيه جي . ص 443. doi : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN   978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .  
  14. ↑ "مرجع مُصرّف لغة C++ من إنتل" (ملف PDF) . شركة إنتل . 2007 [1996]. الصفحات 34، 59-60 . 307777-004US. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2023. تاريخ الاسترجاع: 15 يناير 2016 . 
  15. ↑ "CIS" . مواصفات لغة Common Lisp الفائقة . مجموعة هارليكوين المحدودة . 1996. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يناير 2016 .
  16. ↑ "CIS" . شركة LispWorks المحدودة، 2005 [1996]. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يناير 2016 .
  17. 1 2 "std.math: expi" . لغة البرمجة D. ديجيتال مارس . 11 يناير 2016 [2000]. مؤرشف من الأصل في 16 يوليو 2023. تم الاسترجاع في 14 يناير 2016 .
  18. ↑ "CIS" . مرجع هاسكل . ZVON. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يناير 2016 .
  19. ↑ "الرياضيات؛ المؤثرات الرياضية" . لغة جوليا . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2019 .
  20. ↑ "Struct num_complex::Complex" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-07-2023 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 05-08-2022 .
  21. ^ فوكس، مارتن (2011). “الفصل 11: Differenzierbarkeit von Funktionen”. التحليل الأول (PDF) (باللغة الألمانية) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 الرياضيات، جامعة سارلاند ، ألمانيا. ص 3، 13. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2023-07-16 . تم الاسترجاع 2016/01/15 .  
  22. 1 2 فوكس، مارتن (2011). “الفصل 8.IV: الوظائف الخاصة – وظائف علم المثلثات”. التحليل الأول (PDF) (باللغة الألمانية) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 الرياضيات، جامعة سارلاند ، ألمانيا. ص 16 – 20. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2023-07-16 . تم الاسترجاع 2016/01/15 .  
  23. ↑ هاميلتون، ويليام روان (1866-01-01). "الكتاب الثاني، الفصل الثاني. القوى الكسرية، الجذور العامة للوحدة" . كُتب في دبلن، أيرلندا. في هاميلتون، ويليام إدوين (محرر). عناصر الرباعيات ( الطبعة الأولى). لندن، المملكة المتحدة: لونغمانز، غرين وشركاه ، مطبعة الجامعة ، مايكل هنري جيل . الصفحات 250-257 ، 260، 262-263 . تم الاسترجاع في 2016-01-17 . الصفحات 250، 252: [...] cos [...] + i sin [...] سنختصرها أحيانًا إلى ما يلي: [...] cis [...]. أما بالنسبة للعلامات [...]، فيجب اعتبارها متاحة بشكل أساسي للعرض الحالي للنظام ، ونادرًا ما تكون مطلوبة أو مستخدمة في الممارسة اللاحقة له ؛ وينطبق الشيء نفسه على الاختصار الأخير cis، لـ cos + i sin [...]   (،) (ملاحظة: تم نشر هذا العمل بعد وفاة هاميلتون، الذي توفي عام 1865.)
  24. ↑ هاملتون، ويليام روان (1899) [1866-01-01]. هاملتون، ويليام إدوين ؛ جولي، تشارلز جاسبر (محرران). عناصر الرباعيات . المجلد الأول ( الطبعة الثانية). لندن، المملكة المتحدة: لونجمانز، جرين وشركاه. ص 262. تم الاسترجاع في 2019-08-03 . ص 262: [...] اختصار حديث cis لـ cos + i sin [...]    (ملاحظة: أعيد طبع هذه الطبعة بواسطة شركة تشيلسي للنشر في عام 1969.)
  25. ↑سترينغهام، إيرفينغ (1893-07-01) [1891]. الجبر أحادي المستوى، الجزء  الأول من مقدمة في التحليل الرياضي المتقدم . المجلد  1. دار نشر سي إيه موردوك وشركاه (الطابعة) (  الطبعة الأولى). سان فرانسيسكو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة بيركلي . الصفحات 71-75 ، 77، 79-80 ، 82، 84-86 ، 89، 91-92 ، 94-95 ، 100-102 ، 116، 123 ، 128-129، 134-135 . تاريخ الاسترجاع: 2016-01-18 . 71: كاختصار لـ cos θ + i sin θ من الملائم استخدام cis θ ، والتي يمكن قراءتها: قطاع θ .   
  26. 1 2 كاجوري، فلوريان (1952) [مارس 1929]. تاريخ الرموز الرياضية . المجلد 2 (الطبعة الثالثة المصححة لإصدار 1929، الطبعة الثانية). شيكاغو، إلينوي، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر أوبن كورت . ص 133. ISBN    978-1-60206-714-1تم الاسترجاع في 2016-01-18 . ص  133: قام سترينغهام برمز cos β + i sin β بـ "cis β "، وهو رمز استخدمه أيضًا هاركنس ومورلي . {{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) (ملاحظة: رقم ISBN ورابط لإعادة طباعة الطبعة الثانية من قبل Cosimo, Inc.، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 2013.)
  27. ↑هاركنس، جيمس ؛ مورلي، فرانك (1898). مقدمة في نظرية الدوال التحليلية (  الطبعة الأولى). لندن، المملكة المتحدة: ماكميلان وشركاه . الصفحات 18 ، 22، 48، 52، 170. ISBN  978-1-16407019-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2016 .{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) (ملاحظة: رقم ISBN لإعادة الطبع بواسطة دار نشر كيسينجر ، 2010.)
  28. ↑ كامبل، جورج آشلي (1903) [1901-06-07]. "الفصل الثلاثون. حول الخطوط المحملة في الإرسال الهاتفي" (ملف PDF) . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . السلسلة 6. 5 (27). تايلور وفرانسيس : 313-330 . doi : 10.1080/14786440309462928 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 2023-07-16 . تم الاسترجاع في 2023-07-16 .(صفحتان + 18 صفحة)
  29. ↑ كامبل، جورج آشلي (أبريل 1911). "التذبذبات السيسويدية" (ملف PDF) . وقائع المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين . XXX ( 1-6 ). المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين : 789-824 . doi : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 . S2CID 51647814. تاريخ الاسترجاع : 24 يونيو 2023 . (37 صفحة)
  30. 1 2 كامبل، جورج آشلي (1 أكتوبر 1928) [13 سبتمبر 1927]. "التطبيق العملي لتكامل فورييه" (ملف PDF) . المجلة التقنية لنظام بيل . 7 (4). شركة الهاتف والتلغراف الأمريكية : 639-707 [641]. doi : 10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x . S2CID 53552671. تاريخ الاسترجاع: 24 يونيو 2023. ص 641: مع ذلك، فقد تم الاعتراف، منذ البداية تقريبًا، بأن الشكل الذي يجمع بين البساطة الرياضية والعمومية الكاملة هو الذي يستخدم دالة التذبذب الأسي e i 2π ft . وفي الآونة الأخيرة، تم الاعتراف بشكل عام بالميزة الكبيرة لاستخدام دالة التذبذب هذه في مناقشة أنظمة التذبذب الجيبية. لذا، من الواضح أنه ينبغي اعتماد هذه الدالة المتذبذبة كدالة أساسية للتذبذب في كلا الجدولين المقترحين. ويبدو من المستحسن تسمية هذا التذبذب بأسماء تربطه بدالتي الجيب وجيب التمام، بدلاً من الدالة الأسية الحقيقية. ويشير الاختصار cis x للدالة (cos x + i sin x ) إلى أنه ينبغي تسمية هذه الدالة بالتذبذب السيسويدي.  (69 صفحة)
  31. ↑ هارتلي، رالف ف. ل. ( مارس 1942). "تحليل فورييه أكثر تناظرًا مُطبق على مشاكل الإرسال" . وقائع معهد مهندسي الراديو . 30 (3). معهد مهندسي الراديو : 144-150 . doi : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127. مؤرشف من الأصل في 5 أبريل 2019. تم الاسترجاع في 16 يوليو 2023 . 
  32. ↑ براسويل، رونالد ن. (يونيو 1999) [1985، 1978، 1965]. تحويل فورييه وتطبيقاته ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل . ISBN  978-0-07303938-1.
  33. ^ ديهل، كريستينا. ليوب ، مارسيل (يناير 2010). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm في Mathematik (PDF) (باللغة الألمانية). بازل وهيريسو، سويسرا: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). ص. 41. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 27-08-2017. ص. 41: [...] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. في أماكن أخرى من البوشرن، غالبًا ما يتم استخدام Ausdruck cis( φ ) anstelle von eφ verwendet . [...]  (109 صفحات)