هارتلي يتحول

في الرياضيات ، يُعدّ تحويل هارتلي ( HT ) تحويلاً تكاملياً وثيق الصلة بتحويل فورييه (FT)، ولكنه يحوّل الدوال الحقيقية إلى دوال حقيقية أخرى. وقد اقترحه رالف في. إل. هارتلي كبديل لتحويل فورييه عام 1942، ^{[ 1 ]} وهو أحد التحويلات العديدة المعروفة المرتبطة بتحويل فورييه . وبالمقارنة مع تحويل فورييه، يتميز تحويل هارتلي بقدرته على تحويل الدوال الحقيقية إلى دوال حقيقية أخرى (بدلاً من اشتراط الأعداد المركبة )، فضلاً عن كونه معكوسه.

تم تقديم النسخة المنفصلة من التحويل، وهي تحويل هارتلي المنفصل (DHT)، بواسطة رونالد ن. براسويل في عام 1983. ^{[ 2 ]}

يمكن حساب تحويل هارتلي ثنائي الأبعاد باستخدام عملية بصرية تناظرية مشابهة لتحويل فورييه البصري (OFT)، مع ميزة مقترحة تتمثل في الحاجة فقط إلى تحديد سعته وإشارته بدلاً من طوره المركب. ^{[ 3 ]} ومع ذلك، يبدو أن تحويلات هارتلي البصرية لم تشهد استخدامًا واسع النطاق.

تحويل هارتلي للدالة${\displaystyle f(t)}$يُعرَّف بما يلي:

$${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

أين${\displaystyle \omega }$يمكن أن يكون التردد الزاوي في التطبيقات و

$${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,}$$

هي دالة الجيب وجيب التمام (cas) أو نواة هارتلي . من الناحية الهندسية، يقوم هذا التحويل بتحويل الإشارة (الدالة) من المجال الزمني إلى المجال الطيفي لهارتلي (مجال التردد).

يختلف هذا التحويل عن تحويل فورييه الكلاسيكي ${\displaystyle \ F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\ {\bigl \{}\ f(t)\ {\bigr \}}(\omega )\ }$في اختيار النواة؛ في تحويل فورييه الكلاسيكي، لدينا النواة الأسية، ${\displaystyle \ \exp \left({-\mathrm {i} \ \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \ \sin(\omega t)\ ,}$ أين${\displaystyle \ \mathrm {i} \ }$هي الوحدة التخيلية .

ومع ذلك، فإن التحويلين مرتبطان ارتباطًا وثيقًا، وبافتراض أن كلاهما يستخدم نفس${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ }$اتفاقية التوحيد القياسي – يمكن حساب تحويل فورييه من تحويل هارتلي عبر:

$${\displaystyle F(\omega )={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )+H(-\omega )\ {\bigr ]}-\mathrm {i} \ {\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )-H(-\omega )\ {\bigr ]}~.}$$

أي أن الأجزاء الحقيقية والخيالية لتحويل فورييه يتم إعطاؤها ببساطة من خلال الأجزاء الزوجية والفردية لتحويل هارتلي، على التوالي.

وعلى العكس من ذلك، بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية${\displaystyle \ f(t)\ ,}$يُعطى تحويل هارتلي من الأجزاء الحقيقية والخيالية لتحويل فورييه:

$${\displaystyle \operatorname {\mathcal {H}} {\bigl \{}\ f\ {\bigr \}}=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}\ -\ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}={\mathcal {R_{e}}}{\Bigl \{}\ \operatorname {\mathcal {F}} \ {\bigl [}f\cdot \left(1+\mathrm {i} \right){\bigr ]}\ {\Bigr \}}\ ,}$$

أين${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\ }$و${\displaystyle \ {\mathcal {I_{m}}}\ }$تشير إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية.

تحويل هارتلي هو مؤثر خطي حقيقي ، وهو متناظر ( وهرميتي ). ومن خصائص التناظر والانعكاس الذاتي، يتبين أن التحويل مؤثر وحدوي (بل متعامد ).

الالتفاف باستخدام تحويلات هارتلي هو ^{[ 4 ]}$${\displaystyle f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}}$$ أين${\displaystyle F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )}$و${\displaystyle G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )}$

على غرار تحويل فورييه، فإن تحويل هارتلي لدالة زوجية/فردية يكون زوجيًا/فرديًا، على التوالي.

• cis (الرياضيات)
• تحويل فورييه الجزئي

• براسويل، رونالد ن. (1986). كُتب في ستانفورد، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. تحويل هارتلي . سلسلة أكسفورد لعلوم الهندسة. المجلد  19 (  الطبعة الأولى). نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-503969-6.(ملاحظة: تمت ترجمتها أيضاً إلى الألمانية والروسية.)
• براسويل، رونالد ن. (1994). "جوانب من تحويل هارتلي". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 82 (3): 381-387 . doi : 10.1109/5.272142 .
• ميلان، ريك ب. (1994). "الخصائص التحليلية لتحويل هارتلي". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 82 (3): 413-428 . doi : 10.1109/5.272146 .

• أولنيجنيتشاك، كريج ج.؛ هيدت، جيرالد ت.، محرران. (مارس 1994). "استعراض القسم الخاص بتحويل هارتلي" . عدد خاص عن تحويل هارتلي . المجلد  82. وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . الصفحات 372-380 . تاريخ الاسترجاع: 31 أكتوبر 2017 . (ملاحظة: يحتوي على قائمة مراجع شاملة.)