دالة مجموع المربعات

عدد الطرق لكتابة عدد طبيعي على صورة مجموع مربعين يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle r_{2}(n)}$وقد تم توضيح ذلك صراحةً بواسطة

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

أين${\displaystyle d_{1}(n)}$عدد قواسم​${\displaystyle n}$والتي تتطابق مع 1 بتردد 4 و${\displaystyle d_{3}(n)}$عدد قواسم${\displaystyle n}$والتي تتطابق مع 3 بتردد 4. باستخدام عمليات الجمع، يمكن كتابة التعبير على النحو التالي:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

التحليل إلى العوامل الأولية${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$، أين${\displaystyle p_{i}}$العوامل الرئيسية للشكل${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$و${\displaystyle q_{i}}$العوامل الرئيسية للشكل${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$يعطي صيغة أخرى

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$إذا كانت جميع الأسس${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$تكون متساوية . إذا كان واحد أو أكثر${\displaystyle h_{i}}$إذا كانت أعدادًا فردية ، فـ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$.

أثبت غاوس أنه بالنسبة لعدد خالٍ من المربعات${\displaystyle n>4}$،

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{إذا كان }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{إذا كان }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{فيما عدا ذلك}},\end{cases}}}$

أين${\displaystyle h(m)}$يشير إلى رقم فئة عدد صحيح${\displaystyle m}$.

توجد امتدادات لصيغة جاوس لتشمل أي عدد صحيح${\displaystyle n}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

عدد طرق التمثيل${\displaystyle n}$بما أن مجموع أربعة مربعات يعود إلى كارل غوستاف جاكوب جاكوبي، وهو يساوي ثمانية أضعاف مجموع جميع قواسمه التي لا تقبل القسمة على 4، أي

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

تمثيل${\displaystyle n=2^{k}m}$، أين${\displaystyle m}$إذا كان عددًا فرديًا، فيمكن التعبير عنه${\displaystyle r_{4}(n)}$من حيث دالة القاسم كما يلي:

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

عدد طرق التمثيل${\displaystyle n}$بما أن مجموع ستة مربعات يُعطى بواسطة

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

أين${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$هو رمز كرونيكر . ^{[ 3 ]}

كما وجد جاكوبي صيغة صريحة لهذه الحالة${\displaystyle k=8}$: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$