مقياس المساحة النقطي

جهاز قياس المساحة النقطي هو أداة تُستخدم في علم المساحة لتقدير مساحة شكل ما ، ويتكون من ورقة شفافة تحتوي على شبكة مربعة من النقاط. ولتقدير مساحة شكل ما، تُوضع الورقة فوق الشكل ويتم عدّ النقاط الموجودة داخله.

يُطلق على تقدير المساحة باستخدام شبكة النقاط اسم طريقة شبكة النقاط ، أو (خاصةً عندما يكون محاذاة الشبكة مع الشكل عشوائيًا) المعاينة المنتظمة . ^{[ 1 ]} ولعلّ بساطتها هي التي جعلتها تُعاد ابتكارها مرارًا وتكرارًا. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

لتقدير مساحة شكل ما باستخدام مقياس المساحة النقطي، يُوضع المقياس فوق الشكل، ثم تُحصى النقاط الموجودة داخله. بعد ذلك، تُحسب المساحة المُقدَّرة للشكل بضرب عدد النقاط في مساحة مربع واحد من الشبكة. يمكن أيضًا تجميع النقاط في مجموعات مربعة أكبر بخطوط مرسومة على الشفافية. تسمح هذه الخطوط بإضافة المجموعات الموجودة بالكامل داخل الشكل إلى العدد كوحدة واحدة، بدلًا من عدّ نقاطها واحدة تلو الأخرى. ^{[ 5 ]} في بعض تطبيقات هذه الطريقة، تُحسب النقاط التي تقع على حدود الشكل أو بالقرب منها كنصف وحدة. ^{[ 5 ]} مع ذلك، يجب التمييز بين استخدام مقياس المساحة النقطي و"طريقة المربعات"، وهي طريقة أكثر تطورًا لتقدير المساحة، حيث تُوضع شبكة من المربعات فوق الشكل، ويُقدَّر حجم المساحة المُغطاة داخل كل مربع، ثم تُجمع هذه التقديرات. ^{[ 6 ]}

في مجالات الغابات ورسم الخرائط والجغرافيا ، استُخدم جهاز قياس المساحة النقطي على الخرائط لتقدير مساحة قطع الأراضي. ^{[ 5 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]} وفي علم النبات والبستنة ، طُبِّق مباشرةً على عينات من الأوراق لتقدير متوسط ​​مساحة الورقة. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} وفي علم الأعصاب ، وخاصةً في التجارب على سلوك الحيوانات المصابة بآفات دماغية ، طُبِّق على مخططات لاشلي لتقدير حجم هذه الآفات. ^{[ 10 ]}

في علم المعادن ، تُستخدم تقنية مشابهة لعدّ النقاط في شبكة على مقاطع عرضية لعينات صخرية لغرض مختلف، وهو تقدير النسب النسبية للمعادن المكونة لها. في هذا التطبيق، يُصنّف المعدن الموجود أسفل كل نقطة في جهاز قياس المساحة، ثم تُقدّر نسبة المعادن في العينة من نسبة النقاط المخصصة لكل معدن. ^{[ 11 ]}

كل منطقة في المستوى محصورة بمنحنى جوردان وتتجنب جميع نقاط الشبكة الصحيحة، مساحتها لا تتجاوز نسبة محيطها . وبشكل أدق، لا تتجاوز المساحة 0.582823 ضعف المحيط. بالنسبة لجهاز قياس المساحة النقطي، يعني هذا أنه إذا سمح شكلٌ بدون ثقوب داخلية بوضع جهاز قياس المساحة النقطي بحيث تكون المساحة المقدرة صفرًا، فإن الخطأ في هذا التقدير الناقص لا يتجاوز نسبة المحيط مضروبًا في تباعد النقاط. ^{[ 12 ]} بالنسبة لمجموعة محدبة ذات محيط${\displaystyle p}$وجهاز قياس المسافة النقطي${\displaystyle s}$، تكون المساحة المقدرة دائماً ضمن${\displaystyle s(p/2+1)}$^{[ 13 ]} المساحة الحقيقية بواسطة متباينة نوسارزيفسكا .

إذا تم اختيار موضع إزاحة جهاز قياس المساحة النقطي عشوائيًا بالنسبة للشكل المراد قياسه، فإن المساحة المُقدَّرة تُعدّ تقديرًا غير متحيز للمساحة الصحيحة: إذ تساوي قيمتها المتوقعة المساحة الصحيحة. ويكون خطأها المعياري متناسبًا على الأكثر مع الجذر التربيعي لعدد مربعات الشبكة التي يتقاطع معها حدود الشكل. ^{[ 6 ]} مع ذلك، ولأن مواضع النقاط في جهاز قياس المساحة ليست عشوائية بحد ذاتها، فإن خطأ التقدير لا يخضع لنظرية النهاية المركزية ، ويكون الخطأ المعياري أقل دلالة مما هو عليه في حالة العينات العشوائية المستقلة، لا سيما في الحالات التي ترتبط فيها المساحة المراد تقديرها مكانيًا بنمط النقاط، كما هو الحال في تأثير موير . ^{[ 14 ]} ويمكن تحقيق دقة أكبر باستخدام جهاز قياس مساحة نقطي بشبكة نقاط أدق. ^{[ 6 ]} بدلاً من ذلك، يمكن أن يؤدي وضع جهاز قياس المساحة النقطي بشكل متكرر بإزاحات غير منطقية مختلفة عن موضعه السابق، ثم حساب متوسط ​​القياسات الناتجة، إلى مجموعة من القياسات المأخوذة عينات يكون متوسطها أقرب إلى المساحة الحقيقية للشكل المقاس. ^{[ 2 ]} تميل الطريقة التي تستخدم شبكة أدق إلى أن تكون ذات كفاءة إحصائية أفضل من القياس المتكرر مع المواضع العشوائية. ^{[ 1 ]}

وفقًا لنظرية بيك ، التي نشرها جورج ألكسندر بيك عام 1899، فإن نسخة مقياس المساحة النقطي، التي تُحسب فيها النقاط المحيطة بنصف مربع (مع طرح مربع واحد من المجموع كتصحيح ثانٍ)، تُعطي نتائج دقيقة للمضلعات التي تكون النقاط رؤوسها . [ ^{15 ] [ 16 ] ووفقًا} لنظرية بليشفيلدت ، التي نشرها هانز فريدريك بليشفيلدت عام 1914، فإنه من الممكن دائمًا تحريك مقياس المساحة النقطي بالنسبة لشكل معين دون تدويره، بحيث يكون عدد النقاط داخل الشكل مساويًا على الأقل لمساحته. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

تتعلق مسألة دائرة غاوس بالخطأ الناتج عن استخدام جهاز قياس المساحة النقطي لتقدير مساحة دائرة يقع مركزها على إحدى النقاط. وكما يوحي اسمها، فقد درسها كارل فريدريش غاوس في أوائل القرن التاسع عشر . ومن المعروف أن أقصى خطأ محدود بقوة كسرية لنصف قطر الدائرة، حيث يتراوح الأس بين 1/2 و131/208. ^{[ 19 ]}

يختلف جهاز قياس المساحة النقطي عن الأنواع الأخرى من أجهزة قياس المساحة ، التي تقيس مساحة شكل ما عن طريق تمرير جهاز حول حدوده. ^{[ 4 ]}

يُعد مقياس الطول شتاينهاوس جهازًا مشابهًا يعتمد على الشفافية لتقدير طول المنحنيات عن طريق عد التقاطعات. ^{[ 20 ]}

• مجموعة دانزر ، نمط نقاط أكثر تعقيدًا يلامس كل مجموعة محدبة ذات مساحة وحدة

• جهاز قياس المساحة النقطية ، كريس ستايكر، جامعة فيرفيلد