الحدود العليا والسفلى

في الرياضيات ، وخاصةً في نظرية الترتيب ، يُعرَّف الحد الأعلى أو العنصر الأكبر ^{[ 1 ]} لمجموعة جزئية S من مجموعة مرتبة مسبقًا ( K , ≤) بأنه عنصر من K أكبر من أو يساوي كل عنصر من S. ^{[ 2 ] [ 3 ]} وبالمثل ، يُعرَّف الحد الأدنى أو العنصر الأصغر لـ S بأنه عنصر من K أصغر من أو يساوي كل عنصر من S. يُقال إن المجموعة التي لها حد أعلى (أو حد أدنى) محدودة من الأعلى أو ذات عنصر أكبر ^{[ 1 ]} (أو محدودة من الأسفل أو ذات عنصر أصغر ) بهذا الحد. كما تُستخدم مصطلحات " محدود من الأعلى" (أو "محدود من الأسفل ") في الأدبيات الرياضية للمجموعات التي لها حدود أعلى (أو حدود دنيا). ^{[ 4 ]}

على سبيل المثال، يُعدّ العدد 5 حدًا أدنى للمجموعة S = {5، 8، 42، 34، 13934} (كمجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة أو الأعداد الحقيقية ، إلخ)، وكذلك العدد 4. من جهة أخرى، لا يُعدّ العدد 6 حدًا أدنى للمجموعة S لأنه ليس أصغر من أي عنصر فيها . أما العدد 13934 والأعداد الأخرى x التي تحقق x ≥ 13934، فتُشكّل حدًا أعلى للمجموعة S.

المجموعة S = {42} تحتوي على 42 كحد أعلى وحد أدنى؛ جميع الأرقام الأخرى إما حد أعلى أو حد أدنى لتلك المجموعة S.

لكل مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية حد أدنى، لأن الأعداد الطبيعية تحتوي على أصغر عنصر (0 أو 1، حسب الاصطلاح). لا يمكن تحديد حد أعلى لمجموعة جزئية غير منتهية من الأعداد الطبيعية. يمكن تحديد حد أدنى لمجموعة جزئية غير منتهية من الأعداد الصحيحة، أو يمكن تحديد حد أعلى لها، ولكن ليس كليهما. يمكن تحديد حد أدنى لمجموعة جزئية غير منتهية من الأعداد النسبية ، وقد لا يكون هذا الحد موجودًا، وكذلك يمكن تحديد حد أعلى لها أو لا يكون.

كل مجموعة جزئية منتهية من مجموعة مرتبة كليًا وغير فارغة لها حدود عليا وسفلى.

يمكن تعميم التعريفات لتشمل الدوال وحتى مجموعات الدوال.

بفرض دالة f مجالها D ومجموعة مرتبة مسبقًا ( K , ≤) كمجال مقابل ، فإن العنصر y من K يُعد حدًا أعلى لـ f إذا كان y ≥ f ( x ) لكل x في D. يُسمى الحد الأعلى دقيقًا إذا تحققت المساواة لقيمة واحدة على الأقل من x . وهذا يدل على أن القيد مثالي، وبالتالي لا يمكن اختزاله أكثر من ذلك دون إبطال المتباينة.

وبالمثل، فإن الدالة g المعرفة على المجال D والتي لها نفس المجال المقابل ( K , ≤) تُعتبر حدًا أعلى للدالة f ، إذا كان g ( x ) ≥ f ( x ) لكل x في D. ويُقال أيضًا أن الدالة g تُعتبر حدًا أعلى لمجموعة من الدوال، إذا كانت حدًا أعلى لكل دالة في تلك المجموعة.

يتم تعريف مفهوم الحد الأدنى للدوال (مجموعات الدوال) بشكل مماثل، عن طريق استبدال ≥ بـ ≤.

يُقال عن الحد الأعلى أنه حد أعلى دقيق ، أو حد أعلى أدنى ، أو قيمة عليا ، إذا لم تكن هناك قيمة أصغر منه حدًا أعلى. وبالمثل، يُقال عن الحد الأدنى أنه حد أدنى دقيق ، أو حد أدنى أعلى ، أو قيمة دنيا ، إذا لم تكن هناك قيمة أكبر منه حدًا أدنى.

يُقال إن الحد الأعلى u لمجموعة جزئية S من مجموعة مرتبة مسبقًا ( K , ≤) هو حد أعلى دقيق لـ S إذا كان كل عنصر من K الذي يُهيمن عليه u بشكل صارم يُهيمن عليه أيضًا عنصر ما من S. تلعب الحدود العليا الدقيقة للمنتجات المختزلة ذات الرتب الخطية دورًا مهمًا في نظرية PCF . ^{[ 5 ]}

• أكبر عنصر وأصغر عنصر
• الحد الأدنى والحد الأعلى
• العناصر القصوى والدنيا