دالة غاما p -adic

في الرياضيات ، تُعرف دالة غاما p -adic، Γp _، بأنها دالة لمتغير p -adic، وهي مماثلة لدالة غاما . وقد عرّفها موريتا (1975) صراحةً لأول مرة ، مع أن بويارسكي (1980) أشار إلى أن دورك (1964) استخدم الدالة نفسها ضمنيًا. عرّف دايموند (1977) نظيرًا p -adic، Gp _، لدالة log Γ. وكان أوفرهولتزر (1952) قد قدّم سابقًا تعريفًا لنظير p -adic مختلف لدالة غاما، إلا أن دالته لا تتمتع بخصائص مُرضية، ولذا فهي غير شائعة الاستخدام.

دالة غاما p -adic هي الدالة المتصلة الوحيدة لعدد صحيح p -adic x (بقيم في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$) بحيث

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة x ، حيث يقتصر الضرب على الأعداد الصحيحة i غير القابلة للقسمة على p . وبما أن الأعداد الصحيحة الموجبة كثيفة بالنسبة للطوبولوجيا p -adic في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$،${\displaystyle \Gamma _{p}(x)}$ويمكن توسيع نطاقها بشكل فريد ليشمل كامل${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. هنا${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة p -adic . ويترتب على التعريف أن قيم${\displaystyle \Gamma _{p}(\mathbb {Z} )}$قابلة للعكس في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$وذلك لأن هذه القيم هي نواتج ضرب أعداد صحيحة لا تقبل القسمة على p ، وتظل هذه الخاصية قائمة بعد التمديد المستمر إلى${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. هكذا${\displaystyle \Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$. هنا${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$هي مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic القابلة للعكس.

تحقق دالة غاما الكلاسيكية المعادلة الوظيفية${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$لأي${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$وهذا له نظير فيما يتعلق بدالة موريتا غاما:

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

صيغة أويلر للانعكاس${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$وله نظيره البسيط التالي في حالة p -adic:

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

أين${\displaystyle x_{0}}$هو الرقم الأول في التوسع p -adic لـ x ، إلا إذا${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$وفي هذه الحالة${\displaystyle x_{0}=p}$بدلاً من صفر.

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

وبشكل عام،

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

في${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ترتبط دالة موريتا غاما برمز ليجندر${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$:

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

ويمكن ملاحظة ذلك أيضاً${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$لذلك${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$[ ^{1 ] : 369​}

تأتي قيم خاصة أخرى مثيرة للاهتمام من صيغة غروس-كوبليتز ، التي تم إثباتها أولاً باستخدام أدوات علم التماثل ، ثم تم إثباتها لاحقًا باستخدام طرق أكثر بساطة. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال،

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

أين${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$يرمز إلى الجذر التربيعي الذي يبدأ برقم 3، و${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$يشير إلى الجذر التربيعي الذي يكون رقمه الأول 2. (يجب دائمًا القيام بهذه المواصفات إذا كنا نتحدث عن الجذور.)

مثال آخر هو

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

أين${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$هو الجذر التربيعي لـ${\displaystyle -2}$في${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$متطابق مع 1 بتردد 3. ^{[ 3 ]}

تنص صيغة رابي لدالة غاما الكلاسيكية على ما يلي:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log xx.}$

وهذا له نظير للوغاريتم إيواساوا لدالة موريتا غاما: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

دالة السقف التي يجب فهمها على أنها النهاية p -adic${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$بحيث${\displaystyle x_{n}\to x}$.

يُعدّ توسيع ماهلر ذا أهمية مماثلة لتوسيع تايلور في التحليل الكلاسيكي بالنسبة للدوال p -adic . ويُعطى توسيع ماهلر لدالة غاما p -adic بالصيغة التالية: ^{[ 1 ] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}{\binom {x}{k}},}$

حيث التسلسل${\displaystyle a_{k}}$يتم تعريفها بالهوية التالية:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

• صيغة غروس-كوبليتز

• بويارسكي، ماوريتسيو (1980)، "دوال غاما p-adic و تجانس دوورك"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 257 (2): 359-369 ، doi : 10.2307/1998301 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1998301 ، MR 0552263   
• دايموند، جاك (1977)، "دالة غاما اللوغاريتمية p-adic وثوابت أويلر p-adic"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 233 : 321-337 ، doi : 10.2307/1997840 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1997840 ، MR 0498503   
• دايموند، جاك (1984)، "دوال غاما p-adic وتطبيقاتها"، في تشودنوفسكي، ديفيد ف .؛ تشودنوفسكي، غريغوري ف.؛ كوهن، هنري؛ وآخرون  (محررون)، نظرية الأعداد (نيويورك، 1982) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1052، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات 168-175 ، doi : 10.1007/BFb0071542 ، ISBN  978-3-540-12909-7، MR 0750664 
• دورك، برنارد (1964)، "حول دالة زيتا لسطح فائق. الجزء الثاني"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 80 (2): 227-299 ، doi : 10.2307/1970392 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970392 ، MR 0188215   
• موريتا، ياسوو (1975)، "نظير p-adic لدالة Γ"، مجلة كلية العلوم، جامعة طوكيو، القسم 1أ، الرياضيات ، 22 (2): 255-266 ، hdl : 2261/6494 ، ISSN 0040-8980 ، MR 0424762  
• أوفرهولتزر، جوردون (1952)، "دوال الجمع في التحليل p-adic الأولي"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 74 (2): 332-346 ، doi : 10.2307/2371998 ، ISSN 0002-9327 ، JSTOR 2371998 ، MR 0048493