عملية جبرية

في الرياضيات ، تُعرَّف العملية الجبرية الأساسية بأنها عملية رياضية تُشابه أيًا من العمليات الشائعة في الجبر الابتدائي ، والتي تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة ورفع عدد إلى قوة عددية صحيحة وإيجاد الجذور ( القوى الكسرية ). ^{[ 1 ]} يمكن إجراء عمليات الجبر الابتدائي على الأعداد ، وفي هذه الحالة تُسمى غالبًا بالعمليات الحسابية . كما يمكن إجراؤها، بطريقة مماثلة، على المتغيرات والتعبيرات الجبرية ، ^{[ 2 ]} وبشكل أعم، على عناصر ^البنى الجبرية ، مثل الزمر والحقول . ^{[ 3} ]

عملية جبرية على مجموعة${\displaystyle S}$يمكن تعريفها بشكل أكثر رسمية على أنها دالة تُطابق ⁠${\displaystyle S}$⁠ مجموعاتمن عناصر ذات طول معين من ⁠${\displaystyle S}$يُطلق على طول الأزواج المرتبة اسم رتبة العملية، ويُسمى كل عنصر من عناصر الزوج المرتب مُعاملًا . الحالة الأكثر شيوعًا هي حالة الرتبة الثانية، حيث تُسمى العملية عملية ثنائية ، وتُشكل المُعاملات زوجًا مُرتبًا . العملية الأحادية هي عملية ذات رتبة واحدة ولها مُعامل واحد فقط؛ على سبيل المثال، الجذر التربيعي . مثال على العملية الثلاثية (الرتبة الثالثة) هو الضرب الثلاثي . ^{[ 4 ]}

يُستخدم مصطلح " العملية الجبرية" أيضًا للإشارة إلى العمليات التي يمكن تعريفها بتركيب عمليات جبرية أساسية، مثل الضرب القياسي . في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، يُستخدم مصطلح "العملية الجبرية" أيضًا للإشارة إلى العمليات التي يمكن تعريفها بطرق جبرية بحتة . على سبيل المثال، يُعدّ رفع الأس باستخدام أس صحيح أو كسري عملية جبرية، بينما لا يُعدّ رفع الأس باستخدام أس حقيقي أو مركب عملية جبرية. كذلك، تُعدّ المشتقة عملية غير جبرية.

عادةً ما تُحذف علامات الضرب، ويُستدل عليها ضمنيًا، عند عدم وجود عامل بين متغيرين أو حدين، أو عند استخدام معامل . على سبيل المثال، يُكتب 3 × x² على الصورة 3 × 2 ^{، ويُكتب} 2 × x × y على الصورة 2xy . ^{[ 5 ]} في بعض الأحيان، تُستبدل علامات الضرب بنقطة أو نقطة مركزية، بحيث يُكتب x × y على الصورة x.y أو x · y . كما تستخدم النصوص العادية ولغات البرمجة والآلات الحاسبة علامة نجمة واحدة لتمثيل علامة الضرب، ^{[ 6 ]} ويجب استخدامها صراحةً؛ على سبيل المثال، يُكتب 3x على الصورة 3 * x . 

بدلاً من استخدام علامة القسمة المبهمة (÷)، تُستخدم عادةً علامة القسمة ^{بخط أفقي} ، كما في 3 / x + 1. في النصوص العادية ولغات البرمجة، تُستخدم علامة الشرطة المائلة (وتُسمى أيضًا علامة الوصل)، على سبيل المثال 3 / ( ^x + 1 ) .

تُكتب الأسس عادةً باستخدام رموز مرتفعة، كما في x² ^. في النصوص العادية ، ولغة ترميز TeX ، وبعض لغات البرمجة مثل MATLAB و Julia ، يُمثل رمز الإقحام (^) الأسس، لذا يُكتب x² على النحو التالي: x ^2. ^{[ 8 ] [ 9 ] في} لغات البرمجة مثل Ada ، ^{[ 10 ]} وFortran ، ^{[ 11 ]} وPerl ، ^{[ 12 ]} و Python، ^{[ 13 ]} و Ruby ، ^{[ 14 ]} يُستخدم رمز النجمة المزدوجة، لذا يُكتب x² على النحو التالي : x ^** 2.

تُستخدم علامة الجمع والطرح ، ±، كاختصار للتعبير عن تعبيرين مكتوبين كتعبير واحد، حيث يُمثل أحدهما بعلامة جمع والآخر بعلامة طرح. على سبيل المثال، y = x ± 1 يُمثل المعادلتين y = x + 1 و y = x − 1. أحيانًا، تُستخدم للدلالة على حد موجب أو سالب مثل ± x .

تعمل العمليات الجبرية بنفس طريقة العمليات الحسابية ، كما هو موضح في الجدول أدناه.

عملية	مثال حسابي	مثال في الجبر	التعليقات ≡ تعني "مكافئ لـ" ≢ تعني "غير مكافئ لـ"
إضافة	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ ما يعادل: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ ما يعادل: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
الطرح	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ ما يعادل: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-ba}$ ما يعادل: ${\displaystyle b^{2}-ba}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
الضرب	${\displaystyle 3\times 5}$أو ${\displaystyle 3\ .\ 5}$ أو ${\displaystyle 3\cdot 5}$ أو ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$أو ${\displaystyle ab}$ أو ${\displaystyle a\cdot b}$ أو ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$هو نفسه${\displaystyle a^{3}}$
قسم	${\displaystyle 12\div 4}$أو  ${\displaystyle 12/4}$أو  ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$أو  ${\displaystyle b/a}$أو  ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
الأس	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle b^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$هو نفسه${\displaystyle {\sqrt {a}}}$  ${\displaystyle b^{3}}$هو نفسه${\displaystyle b\times b\times b}$

ملاحظة: استخدام الأحرف${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هذا الأمر اعتباطي، وكانت الأمثلة ستكون صحيحة بنفس القدر لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تم استخدامها.

• التعبير الجبري
• الدالة الجبرية
• الجبر الابتدائي
• تحليل عبارة تربيعية
• ترتيب العمليات