خط الأرقام

على خط الأعداد، تكون المسافة بين نقطتين هي وحدة الطول إذا وفقط إذا كان الفرق بين العددين الممثلين يساوي 1. هناك خيارات أخرى ممكنة.

يُعدّ المقياس اللوغاريتمي أحد أكثر الخيارات شيوعًا ، وهو تمثيل للأعداد الموجبة على خط، بحيث تكون المسافة بين نقطتين وحدة طول، إذا كانت نسبة العددين المُمثَّلين ثابتة، وعادةً ما تكون 10. في هذا المقياس اللوغاريتمي، يُمثِّل الأصل 1؛ وبوصة واحدة إلى اليمين، يكون لدينا 10، وبوصة واحدة إلى يمين 10 يكون لدينا 10 × 10 = 100 ، ثم 10 × 100 = 1000 = 10³ ^، ثم 10 × 1000 = 10000 = 10⁴ ^، وهكذا. وبالمثل، بوصة واحدة إلى يسار 1، يكون لدينا 1/10 = 10⁻¹ ^، ثم 1/100 = 10⁻² ^، وهكذا.

يُعدّ هذا الأسلوب مفيدًا عند الرغبة في تمثيل قيم ذات رتب مقدارية مختلفة جدًا على نفس الشكل . على سبيل المثال، يتطلب الأمر مقياسًا لوغاريتميًا لتمثيل حجم الأجسام المختلفة الموجودة في الكون في آنٍ واحد ، والتي عادةً ما تكون الفوتون ، والإلكترون ، والذرة ، والجزيء ، والإنسان ، والأرض ، والنظام الشمسي ، والمجرة ، والكون المرئي.

تُستخدم المقاييس اللوغاريتمية في المسطرة الحاسبة لضرب أو قسمة الأرقام عن طريق جمع أو طرح الأطوال على المقاييس اللوغاريتمية.

يمكن استخدام خط مرسوم من نقطة الأصل بزاوية قائمة على خط الأعداد الحقيقية لتمثيل الأعداد التخيلية . هذا الخط، المسمى خط الأعداد التخيلية ، يمتد من خط الأعداد إلى مستوى الأعداد المركبة ، حيث تمثل النقاط الأعداد المركبة .

بدلاً من ذلك، يمكن رسم خط أعداد حقيقية أفقيًا لتمثيل القيم الممكنة لعدد حقيقي واحد، يُشار إليه عادةً بـ x ، وخط أعداد حقيقية آخر رأسيًا لتمثيل القيم الممكنة لعدد حقيقي آخر، يُشار إليه عادةً بـ y . تُشكل هذه الخطوط معًا ما يُعرف بنظام الإحداثيات الديكارتية ، وتمثل أي نقطة في المستوى قيمة زوج من الأعداد الحقيقية. علاوة على ذلك، يمكن توسيع نظام الإحداثيات الديكارتية نفسه بتصور خط أعداد ثالث "يخرج من الشاشة (أو الصفحة)"، لقياس متغير ثالث يُسمى z . الأعداد الموجبة أقرب إلى عيني المشاهد من الشاشة، بينما الأعداد السالبة "خلف الشاشة"؛ الأعداد الأكبر أبعد عن الشاشة. عندئذٍ، تمثل أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي نعيش فيه قيم ثلاثة أعداد حقيقية.

خط الأعداد الحقيقية هو متصل خطي وفقًا للترتيب القياسي < . تحديدًا، يتم ترتيب خط الأعداد الحقيقية خطيًا بواسطة < ، وهذا الترتيب كثيف وله خاصية الحد الأعلى الأدنى .

إضافةً إلى الخصائص المذكورة أعلاه، لا يحتوي خط الأعداد الحقيقية على عنصر أقصى أو أصغر . كما أنه يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد ، وهي مجموعة الأعداد النسبية . ومن المعلوم أن أي متصل خطي يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد ولا يحتوي على عنصر أقصى أو أصغر يكون متماثلاً ترتيبياً مع خط الأعداد الحقيقية.

يُحقق خط الأعداد الحقيقية أيضًا شرط السلسلة القابلة للعد : كل مجموعة من الفترات المفتوحة غير الفارغة والمنفصلة عن بعضها في R قابلة للعد. في نظرية الترتيب ، تسأل مسألة سوسلين الشهيرة عما إذا كان كل متصل خطي يحقق شرط السلسلة القابلة للعد، ولا يحتوي على عنصر أقصى أو أدنى، متماثلًا ترتيبيًا بالضرورة مع R. وقد ثبت أن هذه العبارة مستقلة عن النظام البديهي القياسي لنظرية المجموعات المعروف باسم ZFC .

يشكل خط الأعداد الحقيقية فضاءً متريًا ، حيث تُعطى دالة المسافة بالفرق المطلق:

${\displaystyle d(x,y)=|xy|.}$

من الواضح أن موتر القياس هو القياس الإقليدي أحادي البعد . وبما أن القياس الإقليدي ذو البعد n يمكن تمثيله في صورة مصفوفة كمصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، فإن القياس على خط الأعداد الحقيقية هو ببساطة مصفوفة الوحدة من الرتبة 1×1، أي 1.

إذا كان p ∈ R و ε > 0 ، فإن الكرة ε في R المتمركزة عند p هي ببساطة الفترة المفتوحة ( p − ε ، p + ε ) .

يتمتع هذا الخط الحقيقي بعدة خصائص مهمة كفضاء متري:

• الخط الحقيقي هو فضاء متري كامل ، بمعنى أن أي متتالية كوشي من النقاط تتقارب.
• الخط الحقيقي متصل بالمسار وهو أحد أبسط الأمثلة على الفضاء المتري الجيوديسي .
• البعد الهاوسدورفي للخط الحقيقي يساوي واحدًا.

يحمل خط الأعداد الحقيقية طوبولوجيا قياسية ، يمكن تعريفها بطريقتين مختلفتين ومتكافئتين. أولًا، بما أن الأعداد الحقيقية مرتبة ترتيبًا كليًا ، فإنها تحمل طوبولوجيا ترتيب . ثانيًا، ترث الأعداد الحقيقية طوبولوجيا مترية من المقياس المعرّف أعلاه. طوبولوجيا الترتيب والطوبولوجيا المترية على R متطابقتان. وباعتباره فضاءً طوبولوجيًا، فإن خط الأعداد الحقيقية متماثل طوبولوجيًا مع الفترة المفتوحة (0، 1) .

الخط الحقيقي هو، بطبيعة الحال، متعدد شعب طوبولوجي ذو بُعد 1. وحتى التشاكل الموضعي، هو أحد متعددَي شعب متصلين من بُعد 1 فقط بدون حدود ، والآخر هو الدائرة . كما أنه يمتلك بنية تفاضلية قياسية، مما يجعله متعدد شعب تفاضلي . (حتى التشاكل التفاضلي ، لا توجد سوى بنية تفاضلية واحدة يدعمها الفضاء الطوبولوجي).

الخط الحقيقي فضاء متراص محليًا وفضاء شبه متراص ، بالإضافة إلى كونه قابلًا للعد من الدرجة الثانية وعموديًا . وهو أيضًا متصل مساريًا ، وبالتالي فهو متصل أيضًا، مع إمكانية فصله بإزالة أي نقطة منه. الخط الحقيقي قابل للانكماش أيضًا ، ولذلك فإن جميع زمر التماثل ومجموعات التماثل المختزلة فيه تساوي صفرًا.

باعتبارها فضاءً متراصًا محليًا، يمكن تكثيف خط الأعداد الحقيقية بعدة طرق مختلفة. التكثيف بنقطة واحدة لخط الأعداد الحقيقية هو دائرة (أي خط الإسقاط الحقيقي )، ويمكن اعتبار النقطة الإضافية بمثابة لانهاية غير سالبة. بدلاً من ذلك، يمتلك خط الأعداد الحقيقية طرفين ، ويكون التكثيف الناتج عند الطرفين هو خط الأعداد الحقيقية الممتد [−∞, +∞] . يوجد أيضًا تكثيف ستون-تشيك لخط الأعداد الحقيقية، والذي يتضمن إضافة عدد لا نهائي من النقاط الإضافية.

في بعض السياقات، يكون من المفيد تطبيق طوبولوجيات أخرى على مجموعة الأعداد الحقيقية، مثل طوبولوجيا الحد الأدنى أو طوبولوجيا زاريسكي . بالنسبة للأعداد الحقيقية، فإن الأخيرة هي نفسها طوبولوجيا المكمل المنتهي .

الخط الحقيقي هو فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية R (أي على نفسه) ذو بُعد 1. يحتوي على عملية الضرب المعتادة كحاصل ضرب داخلي ، مما يجعله فضاءً متجهيًا إقليديًا . المعيار المُعرَّف بهذا الحاصل الداخلي هو ببساطة القيمة المطلقة .

يحمل خط الأعداد الحقيقية مقياسًا معياريًا ، وهو مقياس ليبيغ . ويمكن تعريف هذا المقياس بأنه إكمال لمقياس بوريل المعرف على R ، حيث يكون مقياس أي فترة هو طول تلك الفترة.

يُعد مقياس ليبيغ على الخط الحقيقي أحد أبسط الأمثلة على مقياس هار على مجموعة متراصة محليًا .

عندما تكون A جبرًا حقيقيًا أحاديًا ، فإن حاصل ضرب الأعداد الحقيقية في 1 يُمثل خطًا حقيقيًا داخل الجبر. على سبيل المثال، في المستوى المركب z = x + iy ، فإن الفضاء الجزئي { z  : y = 0} هو خط حقيقي. وبالمثل، فإن جبر الكواترنيونات

q = w + x i + y j + z k

له خط حقيقي في الفضاء الجزئي { q  : x = y = z = 0}.

عندما يكون الجبر الحقيقي مجموعًا مباشرًا${\displaystyle A=R\oplus V,}$ثم يتم إدخال اقتران على A بواسطة التعيين${\displaystyle v\to -v}$ من الفضاء الجزئي V. وبهذه الطريقة يتكون الخط الحقيقي من النقاط الثابتة للمرافق.

بالنسبة للبعد n ، تشكل المصفوفات المربعة حلقة تحتوي على خط حقيقي في شكل جداءات حقيقية مع مصفوفة الوحدة في الحلقة.