تجانس الجيسين

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الرياضيات المعروف باسم الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ متتالية جيسين متتاليةً تامةً طويلةً تربط بين فئات التماثل للفضاء الأساسي ، والألياف، والفضاء الكلي لحزمة كروية . تُعتبر متتالية جيسين أداةً مفيدةً لحساب حلقات التماثل بمعرفة فئة أويلر للحزمة الكروية، والعكس صحيح. وقد قدّمها جيسين ( 1942 ) ، وهي مُعمّمة بواسطة متتالية سير الطيفية . 

تعريف

لنفترض حزمة كروية موجهة بالألياف ذات فضاء كلي E ، وفضاء أساسي M ، وألياف S k، وخريطة إسقاطπ{\displaystyle \pi }: Sك↪هـ⟶πم.{\displaystyle S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.}

أي حزمة من هذا القبيل تحدد فئة تماثل من الدرجة k  +  1 تسمى فئة أويلر للحزمة .

علم التماثل دي رام

تكون مناقشة المتتالية أوضح ما يكون باستخدام علم التماثل لـ de Rham . يتم تمثيل فئات علم التماثل هذه بأشكال تفاضلية ، بحيث يمكن تمثيل e بصيغة ( k  +  1).

خريطة الإسقاطπ{\displaystyle \pi }يُنشئ خريطة في علم التماثلح*{\displaystyle H^{\ast }}أطلق عليه اسم التراجعπ*{\displaystyle \pi ^{\ast }}

π*:ح*(م)⟶ح*(هـ).{\displaystyle \pi ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,}

في حالة حزمة الألياف، يمكن أيضًا تحديد خريطة دفع للأمامπ*{\displaystyle \pi _{\ast }}

π*:ح*(هـ)⟶ح*-ك(م){\displaystyle \pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)}

والتي تعمل عن طريق التكامل الليفي للأشكال التفاضلية على الكرة الموجهة - لاحظ أن هذه الخريطة تسير "في الاتجاه الخاطئ" : إنها خريطة متغيرة بين الكائنات المرتبطة بدالة متغيرة عكسيًا.

أثبت جيسين أن ما يلي عبارة عن متتالية تامة طويلة

⋯⟶حن(هـ)⟶π*حن-ك(م)⟶هـ∧حن+1(م)⟶π*حن+1(هـ)⟶⋯{\displaystyle \cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{nk}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots }

أينهـ∧{\displaystyle e_{\wedge }}هو حاصل الضرب الخارجي لشكل تفاضلي من فئة أويلر e . 

علم التماثل المتكامل

تُعدّ متتالية جيسين متتاليةً تامةً طويلةً، ليس فقط في علم التماثل التفاضلي لـ de Rham ، بل أيضًا في علم التماثل ذي المعاملات الصحيحة. في الحالة الصحيحة، يلزم استبدال الضرب الخارجي مع فئة أويلر بالضرب الكأسي ، ولا يعود تطبيق الدفع الأمامي متوافقًا مع التكامل.

التشاكل الجيسيني في الهندسة الجبرية

ليكن i : X → Y تضمينًا منتظمًا (مغلقًا) ذو بُعد مشترك d ، و Y ' → Y تشاكلًا، و i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' التطبيق المستحث. ليكن N السحب العكسي للحزمة العمودية لـ i إلى X ' . عندئذٍ، يشير تشاكل جيسين المُحسَّن i ! إلى التركيب.

أنا!:أك(Y′)⟶σأك(شمال)⟶جيسينأك-د(X′){\displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow }}A_{kd}(X')}

أين

  • σ هو تشاكل التخصص ؛ الذي يرسل صنفًا فرعيًا V ذو بُعد k إلى المخروط الطبيعي إلى تقاطع V و X ' في V. تقع النتيجة في N من خلالجX′/Y′↪شمال{\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow N}.
  • الخريطة الثانية هي تماثل جيسين (المعتاد) الناتج عن تضمين المقطع الصفريX′↪شمال{\displaystyle X'\hookrightarrow N}.

يرمز التشاكل i ! إلى حاصل الضرب التقاطعي في نظرية التقاطع، حيث يمكن إثبات أن حاصل الضرب التقاطعي لـ X و V يُعطى بالصيغة التالية:X⋅V=أنا![V]،{\displaystyle X\cdot V=i^{!}[V],}أو يعتبر هذه الصيغة تعريفاً. [ 1 ]

مثال : إذا كانت لدينا حزمة متجهات E ، ولتكن s : X → E مقطعًا من E. عندئذٍ، عندما يكون s مقطعًا منتظمًا ،s![X]{\displaystyle s^{!}[X]}[ 2 ] هي فئة الموضع الصفري لـ s ، حيث [ X ] هي الفئة الأساسية لـ X.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فولتون 1998 ، مثال 6.2.1..
  2. ↑ فولتون 1998 ، الاقتراح 14.1. (ج).

مصادر