فئة التكافؤ

في الرياضيات ، عندما تكون عناصر مجموعة ما${\displaystyle S}$إذا كان لدينا مفهوم التكافؤ (مصاغًا رسميًا كعلاقة تكافؤ )، فيمكن للمرء بشكل طبيعي تقسيم المجموعة${\displaystyle S}$إلى فئات التكافؤ . يتم إنشاء فئات التكافؤ هذه بحيث تكون العناصر${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ينتميان إلى نفس فئة التكافؤ إذا وفقط إذا كانا متكافئين.

بصورة رسمية، بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle S}$وعلاقة تكافؤ${\displaystyle \sim }$على${\displaystyle S,}$فئة التكافؤ لعنصر ما${\displaystyle a}$في${\displaystyle S}$يُشار إليه بـ${\displaystyle [a]}$أو، على نحو مماثل،${\displaystyle [a]_{\sim }}$للتأكيد على علاقة التكافؤ الخاصة بها${\displaystyle \sim }$، ويُعرَّف بأنه مجموعة جميع العناصر في${\displaystyle S}$مع من${\displaystyle a}$يكون${\displaystyle \sim }$-مرتبطة. يشير تعريف علاقات التكافؤ إلى أن فئات التكافؤ تشكل تقسيمًا لـ${\displaystyle S,}$ بمعنى أن كل عنصر من عناصر المجموعة ينتمي إلى فئة تكافؤ واحدة فقط. وتُسمى مجموعة فئات التكافؤ أحيانًا مجموعة القسمة أو فضاء القسمة لـ${\displaystyle S}$بواسطة${\displaystyle \sim ,}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle S/{\sim }.}$

عندما يتم ضبط${\displaystyle S}$له بنية معينة (مثل عملية المجموعة أو الطوبولوجيا ) وعلاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$إذا كان هذا الهيكل متوافقًا مع مجموعة القسمة، فغالبًا ما ترث مجموعة القسمة هيكلًا مشابهًا من مجموعتها الأصلية. ومن الأمثلة على ذلك فضاءات القسمة في الجبر الخطي ، وفضاءات القسمة في الطوبولوجيا ، ومجموعات القسمة ، والفضاءات المتجانسة ، وحلقات القسمة ، وأحاديات القسمة ، وفئات القسمة .

علاقة تكافؤ على مجموعة${\displaystyle X}$هي علاقة ثنائية${\displaystyle \sim }$على${\displaystyle X}$تحقيق الخصائص الثلاث: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle a\sim a}$للجميع${\displaystyle a\in X}$( الانعكاسية )،
• ${\displaystyle a\sim b}$يشير إلى${\displaystyle b\sim a}$للجميع${\displaystyle a,b\in X}$( التناظر )،
• لو${\displaystyle a\sim b}$و${\displaystyle b\sim c}$ثم${\displaystyle a\sim c}$للجميع${\displaystyle a,b,c\in X}$( خاصية التعدي ).

فئة التكافؤ لعنصر ما${\displaystyle a}$يُعرَّف على أنه ^{[ 2 ]}

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

يمكن اعتبار كلمة "فئة" في مصطلح "فئة التكافؤ" مرادفًا لكلمة " مجموعة "، على الرغم من أن بعض فئات التكافؤ ليست مجموعات بل فئات حقيقية . على سبيل المثال، "كونها متماثلة " هي علاقة تكافؤ على الزمر ، وفئات التكافؤ، التي تسمى فئات التماثل ، ليست مجموعات.

مجموعة جميع فئات التكافؤ في${\displaystyle X}$فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ${\displaystyle R}$يُشار إليه بـ${\displaystyle X/R,}$ويسمى${\displaystyle X}$modulo${\displaystyle R}$(أومجموعة خارج القسمة من${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle R}$[ ^{3 ]} الخريطة الشاملة^​${\displaystyle x\mapsto [x]}$من${\displaystyle X}$على${\displaystyle X/R,}$تُسمى الدالة التي تربط كل عنصر بفئة التكافؤ الخاصة به بـالإسقاط الكنسي ، أوالإسقاط الكنسي.

كل عنصر من عناصر فئة التكافؤ يُميز تلك الفئة، ويمكن استخدامه لتمثيلها . عند اختيار مثل هذا العنصر، يُسمى ممثلًا للفئة. يُحدد اختيار ممثل في كل فئة عملية حقن من${\displaystyle X/R}$إلى X. بما أن تركيبها مع الإسقاط الشامل المتعارف عليه هو هوية${\displaystyle X/R,}$يُطلق على هذا الحقن اسم القسم ، عند استخدام مصطلحات نظرية الفئات .

أحيانًا، يكون هناك قسمٌ أكثر "طبيعية" من الأقسام الأخرى. في هذه الحالة، تُسمى هذه الأقسام بالممثلين القانونيين . على سبيل المثال، في الحساب النمطي ، لكل عدد صحيح m أكبر من 1 ، فإن التطابق بتردد m هو علاقة تكافؤ بين الأعداد الصحيحة، حيث يكون العددان الصحيحان a و b متكافئين - أو متطابقين في هذه الحالة - إذا كان m يقسم a على b.${\displaystyle ab;}$يُشار إلى ذلك بـ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$تحتوي كل فئة على عدد صحيح غير سالب فريد أصغر من${\displaystyle m,}$وهذه الأعداد الصحيحة هي الممثلات الأساسية.

يُتيح استخدام المُمثلين لتمثيل الفئات تجنب اعتبار الفئات صراحةً كمجموعات. في هذه الحالة، يُستبدل الإسقاط الشامل المتعارف عليه الذي يُسقط عنصرًا على فئته بالدالة التي تُسقط عنصرًا على مُمثل فئته. في المثال السابق، يُشار إلى هذه الدالة بـ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$وينتج باقي القسمة الإقليدية لـ a على m .

لمجموعة${\displaystyle X}$بعلاقة تكافؤ${\displaystyle \sim }$كل عنصر${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$هو عضو في فئة التكافؤ${\displaystyle [x]}$عن طريق الانعكاسية (${\displaystyle a\sim a}$للجميع${\displaystyle a\in X}$). كل فئتين من فئات التكافؤ${\displaystyle [x]}$و${\displaystyle [y]}$إما أن تكون متساوية إذا${\displaystyle x\sim y}$أو منفصلة بخلاف ذلك. لذلك، فإن مجموعة جميع فئات التكافؤ لـ${\displaystyle X}$يشكل قسماً من${\displaystyle X}$كل عنصر${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$ينتمي إلى فئة تكافؤ واحدة فقط. ^{[ 4 ]}

وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لمجموعة${\displaystyle X}$كل تقسيم ينشأ من علاقة تكافؤ بهذه الطريقة، والعلاقات المختلفة تعطي تقسيمات مختلفة.${\displaystyle x\sim y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$^{[ 5 ]} تنتمي إلى نفس مجموعة التقسيم.

ويترتب على الخصائص الواردة في القسم السابق أنه إذا${\displaystyle \,\sim \,}$هي علاقة تكافؤ على مجموعة${\displaystyle X,}$و${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هما عنصران من${\displaystyle X,}$العبارات التالية متكافئة:

• ${\displaystyle x\sim y}$،
• ${\displaystyle [x]=[y]}$، و
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• يترك${\displaystyle X}$ليكن مجموعة جميع المستطيلات في مستوى، و${\displaystyle \,\sim \,}$إذا كانت علاقة التكافؤ "لها نفس المساحة"، فإنه لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle A,}$سيكون هناك فئة تكافؤ لجميع المستطيلات التي لها مساحة${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}
  • على سبيل المثال، المستطيلات ذات أطوال الأضلاع 2 × 4 و 1 × 8 لها نفس المساحة 8. على الرغم من اختلافها في الشكل، إلا أنها متكافئة بموجب العلاقة "لها نفس المساحة" لذا فهي في نفس فئة التكافؤ.
• لنفترض علاقة التكافؤ modulo 2 على مجموعة الأعداد الصحيحة ،${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$بحيث${\displaystyle x\sim y}$إذا وفقط إذا كان اختلافهما${\displaystyle xy}$هو عدد زوجي . تُنتج هذه العلاقة فئتين متكافئتين فقط: إحداهما تضم ​​جميع الأعداد الزوجية، والأخرى تضم جميع الأعداد الفردية. باستخدام الأقواس المربعة حول أحد عناصر الفئة للدلالة على فئة متكافئة في ظل هذه العلاقة،${\displaystyle [7],[9],}$و${\displaystyle [1]}$جميعها تمثل نفس العنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$^{[ 2 ]}
  • يمكن فحص التطابق بتردد 3 على مجموعة الأعداد الصحيحة لإثبات ذلك. في ظل علاقة التكافؤ هذه،

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

كل قيمة في${\displaystyle \mathbb {Z} }$ينتمي إلى فئة واحدة فقط من الفئات التي تكون فيها العناصر 0 و 1 و 2 هي الممثلين الأساسيين لفئاتها.

• يترك${\displaystyle X}$لتكن مجموعة الأزواج المرتبة من الأعداد الصحيحة${\displaystyle (a,b)}$مع غير الصفر${\displaystyle b,}$وحدد علاقة التكافؤ${\displaystyle \,\sim \,}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle ad=bc,}$ثم فئة التكافؤ للزوج${\displaystyle (a,b)}$يمكن تحديدها بالعدد النسبي${\displaystyle a/b,}$ويمكن استخدام علاقة التكافؤ هذه وفئاتها المكافئة لإعطاء تعريف رسمي لمجموعة الأعداد النسبية. ^{[ 7 ]} ويمكن تعميم نفس البناء على حقل الكسور لأي مجال تكاملي .
  • الأزواج المرتبة${\displaystyle (1,2),(2,4)}$و${\displaystyle (3,6)}$تُعدّ هذه الأزواج مثالاً على ذلك. فهي تنتمي إلى نفس فئة التكافؤ التي ينتمي إليها كل زوج.${\displaystyle (a,b)}$يمثل الاقتران العدد النسبي 1 / 2 .
• لو${\displaystyle X}$يتكون من جميع الخطوط في المستوى الإقليدي ، و${\displaystyle L\sim M}$هذا يعني أن${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$إذا كانت الخطوط متوازية ، فإن مجموعة الخطوط المتوازية فيما بينها تُشكّل فئة تكافؤ، طالما أن الخط يُعتبر موازياً لنفسه . في هذه الحالة، تُحدّد كل فئة تكافؤ نقطةً عند اللانهاية .
  • في المستوى الديكارتي ، الخطوط${\displaystyle y=2x-3}$و${\displaystyle y=2x+1}$لها نفس الميل - وهي متوازية - لذا فهي تنتمي إلى نفس فئة التكافؤ.
• لأي مجموعة${\displaystyle X}$العلاقة${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$هي علاقة تكافؤ حيث تكون كل فئة تكافؤ عبارة عن مجموعة تتكون من عنصر واحد.
  • لو${\displaystyle X}$=${\displaystyle \{1,2,3\}}$إذن، فئات التكافؤ هي${\displaystyle [1],[2],}$و${\displaystyle [3]}$حيث لا يُعتبر أي عنصرين متميزين متكافئين في إطار علاقة المساواة.

يمكن ربط الرسم البياني غير الموجه بأي علاقة متناظرة على مجموعة${\displaystyle X,}$حيث تمثل الرؤوس عناصر${\displaystyle X,}$ورأسين${\displaystyle s}$و${\displaystyle t}$يتم الانضمام إذا وفقط إذا${\displaystyle s\sim t.}$ومن بين هذه الرسوم البيانية رسوم بيانية لعلاقات التكافؤ. وتتميز هذه الرسوم البيانية، التي تسمى رسوم بيانية عنقودية ، بأنها الرسوم البيانية التي تكون مكوناتها المتصلة عبارة عن زمر . ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle \,\sim \,}$هي علاقة تكافؤ على${\displaystyle X,}$و${\displaystyle P(x)}$هي خاصية من خصائص عناصر${\displaystyle X}$بحيث كلما${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$صحيح إذا${\displaystyle P(y)}$إذا كان ذلك صحيحًا، فإن الخاصية${\displaystyle P}$ويُقال إنها ثابتة من${\displaystyle \,\sim \,,}$أو محددة جيدًا في إطار العلاقة${\displaystyle \,\sim .}$

تحدث حالة خاصة متكررة عندما${\displaystyle f}$هي دالة من${\displaystyle X}$إلى مجموعة أخرى${\displaystyle Y}$؛ لو ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$حينما${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$ثم${\displaystyle f}$يقال إنها ثابتة الفئة تحت${\displaystyle \,\sim \,,}$أو ببساطة غير متغير تحت${\displaystyle \,\sim .}$يحدث هذا، على سبيل المثال، في نظرية خصائص المجموعات المنتهية. يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "متوافق مع${\displaystyle \,\sim \,}$أو ببساطة "يحترم"${\displaystyle \,\sim \,}$" بدلاً من "ثابت تحت${\displaystyle \,\sim \,}$".

أي وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$ثابت الفئة تحت${\displaystyle \,\sim \,,}$وفقًا لذلك${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$فئة التكافؤ لـ${\displaystyle x}$هي مجموعة جميع العناصر في${\displaystyle X}$والتي يتم ربطها بـ${\displaystyle f(x),}$أي، الفصل${\displaystyle [x]}$هي الصورة المعكوسة لـ${\displaystyle f(x).}$تُعرف علاقة التكافؤ هذه باسم نواة${\displaystyle f.}$

وبشكل أعم، قد تقوم الدالة بتعيين وسائط متكافئة (بموجب علاقة تكافؤ).${\displaystyle \sim _{X}}$على${\displaystyle X}$) إلى قيم مكافئة (في إطار علاقة التكافؤ)${\displaystyle \sim _{Y}}$على${\displaystyle Y}$). هذه الدالة هي تشاكل للمجموعات المزودة بعلاقة تكافؤ.

في علم الطوبولوجيا ، الفضاء الناتج هو فضاء طوبولوجي يتكون على مجموعة فئات التكافؤ لعلاقة تكافؤ على فضاء طوبولوجي، باستخدام طوبولوجيا الفضاء الأصلي لإنشاء الطوبولوجيا على مجموعة فئات التكافؤ.

في الجبر المجرد ، تسمح علاقات التطابق على المجموعة الأساسية للجبر باستنتاج جبر آخر على فئات التكافؤ لهذه العلاقة، يُسمى جبر القسمة . في الجبر الخطي ، فضاء القسمة هو فضاء متجهي يتكون من أخذ زمرة قسمة ، حيث يكون تشاكل القسمة تطبيقًا خطيًا . وبالتوسع، في الجبر المجرد، يمكن استخدام مصطلح فضاء القسمة للإشارة إلى وحدات القسمة ، وحلقات القسمة ، وزمر القسمة ، أو أي جبر قسمة. مع ذلك، يمكن استخدام المصطلح في الحالات الأكثر عمومية غالبًا بالقياس على مدارات فعل الزمرة.

يمكن تسمية مدارات تأثير المجموعة على مجموعة ما بفضاء القسمة للتأثير على المجموعة، خاصة عندما تكون مدارات تأثير المجموعة هي المشاركات اليمنى لمجموعة فرعية من مجموعة، والتي تنشأ من تأثير المجموعة الفرعية على المجموعة عن طريق الإزاحات اليسرى، أو على التوالي المشاركات اليسرى كمدارات تحت الإزاحة اليمنى.

إن المجموعة الفرعية الطبيعية لمجموعة طوبولوجية، التي تعمل على المجموعة عن طريق فعل الإزاحة، هي فضاء خارج القسمة بمعنى الطوبولوجيا والجبر المجرد وأفعال المجموعة في آن واحد.

على الرغم من إمكانية استخدام المصطلح لأي مجموعة من فئات التكافؤ لعلاقة التكافؤ، وربما مع بنية إضافية، فإن الغرض من استخدام المصطلح هو عمومًا مقارنة هذا النوع من علاقات التكافؤ على مجموعة${\displaystyle X,}$إما إلى علاقة تكافؤ تُنشئ بنية ما على مجموعة فئات التكافؤ من بنية من نفس النوع على${\displaystyle X,}$أو إلى مدارات فعل المجموعة. إن كلاً من الإحساس بالبنية المحفوظة بواسطة علاقة التكافؤ، ودراسة الثوابت تحت تأثير أفعال المجموعة، يؤديان إلى تعريف ثوابت علاقات التكافؤ المذكورة أعلاه.

• تقسيم التكافؤ ، وهو أسلوب لتصميم مجموعات اختبار البرمجيات بناءً على تغطية البرنامج للمدخلات المحتملة
• الفضاء المتجانس ، فضاء القسمة لمجموعات لي
• علاقة التكافؤ الجزئي – مفهوم رياضي لمقارنة الأشياء 
• القسمة بواسطة علاقة تكافؤ – تعميم فئات التكافؤ لنظرية المخططات 
• Setoid – بناء رياضي لمجموعة بعلاقة تكافؤ 
• المستعرض (التوافقية) - مجموعة تتقاطع مع كل مجموعة من مجموعة من المجموعات 

• أفيلسجارد، كارول (1989)، أسس الرياضيات المتقدمة ، سكوت فورسمان، رقم ISBN 0-673-38152-8
• ديفلين، كيث (2004)، المجموعات، والدوال، والمنطق: مقدمة في الرياضيات المجردة (  الطبعة الثالثة)، تشابمان آند هول/ سي آر سي برس، رقم ISBN 978-1-58488-449-1
• مادوكس، راندال ب. (2002)، التفكير والكتابة الرياضية ، هاركورت/ أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-464976-9
• شتاين، إلياس م .؛ شاكرجي، رامي (2012). التحليل الوظيفي: مقدمة لمواضيع أخرى في التحليل . مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.1515/9781400840557 . ISBN 978-1-4008-4055-7.
• وولف، روبرت س. (1998)، البرهان والمنطق والتخمين: أدوات عالم الرياضيات ، فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-3050-7

• سوندستروم (2003)، الاستدلال الرياضي: الكتابة والبرهان ، برنتيس هول
• سميث؛ إيجن؛ سانت أندريه (2006)، الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (  الطبعة السادسة)، طومسون (بروكس/كول)
• شوماخر، كارول (1996)، الفصل صفر: المفاهيم الأساسية للرياضيات المجردة ، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-82653-4
• أوليري (2003)، بنية البرهان: مع المنطق ونظرية المجموعات ، برنتيس هول
• لاي (2001)، التحليل مع مقدمة عن البرهان ، برنتيس هول
• موراش، رونالد ب. (1987)، جسر إلى الرياضيات المجردة ، دار راندوم هاوس، رقم ISBN 0-394-35429-X
• جيلبرت؛ فانستون (2005)، مقدمة في التفكير الرياضي ، بيرسون برنتيس هول
• فليتشر؛ باتي، أسس الرياضيات العليا ، PWS-Kent
• إيغليفيتش؛ ستويل، مقدمة في الاستدلال الرياضي ، ماكميلان
• دانجيلو؛ ويست (2000)، التفكير الرياضي: حل المشكلات والبراهين ، برنتيس هول
• كوبيلاري ، أساسيات البراهين ، وادزورث
• بوند، مقدمة في الرياضيات المجردة ، بروكس/كول
• بارنييه؛ فيلدمان (2000)، مقدمة في الرياضيات المتقدمة ، برنتيس هول
• آش، مدخل إلى الرياضيات المجردة ، جمعية الرياضيات الأمريكية