النواة (نظرية المجموعات)

في نظرية المجموعات ، نواة الدالة${\displaystyle f}$(أو نواة التكافؤ ^{[ 1 ]} ) يمكن اعتبارها إما

• علاقة التكافؤ على مجال الدالة التي تعبر تقريبًا عن فكرة "التكافؤ فيما يتعلق بالدالة".${\displaystyle f}$"يمكن معرفة ذلك" ^{[ 2 ]} أو
• التقسيم المقابل للمجال.

ثمة مفهوم آخر غير ذي صلة وهو مفهوم نواة عائلة غير فارغة من المجموعات${\displaystyle {\mathcal {B}},}$وهو بحكم التعريف تقاطع جميع عناصره: $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$ يُستخدم هذا التعريف في نظرية المرشحات لتصنيفها على أنها حرة أو رئيسية .

نواة الدالة

للتعريف الرسمي، دع${\displaystyle f:X\to Y}$لتكن دالة بين مجموعتين . العناصر${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$تكون متكافئة إذا وفقط إذا${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$و${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$متساويان ، أي أنهما نفس العنصر من${\displaystyle Y.}$ نواة${\displaystyle f}$^{[ 2 ]} هي علاقة التكافؤ المحددة على هذا النحو.

نواة عائلة من المجموعات

النواة عائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$عدد المجموعات هو ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ نواة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ويُشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$نواة المجموعة الفارغة ،${\displaystyle \ker \varnothing ,}$عادة ما تُترك غير مُعرّفة. تُسمى العائلةتم إصلاحه ويقال إنهالتقاطع غير الفارغ هونواتهغير فارغة. ^{[ 3 ]} يُقال إن العائلةمجانية إذا لم تكن ثابتة؛ أي إذا كانت نواتها هي المجموعة الفارغة. ^{[ 3 ]}

مثل أي علاقة تكافؤ، يمكن تعديل النواة لتشكيل مجموعة خارج القسمة ، ومجموعة خارج القسمة هي التقسيم: $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

مجموعة القسمة هذه${\displaystyle X/=_{f}}$يُطلق عليها اسم الصورة المرافقة للدالة${\displaystyle f,}$ورمزت إلى${\displaystyle \operatorname {coim} f}$(أو صيغة مشابهة). الصورة المرافقة متماثلة طبيعياً (بالمعنى النظري للمجموعات، أي التقابل ) مع الصورة .${\displaystyle \operatorname {im} f;}$على وجه التحديد، فئة التكافؤ لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$(وهو عنصر من${\displaystyle \operatorname {coim} f}$) يتوافق مع${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle Y}$(وهو عنصر من${\displaystyle \operatorname {im} f}$).

مثل أي علاقة ثنائية ، يمكن اعتبار نواة الدالة مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle X\times X.}$ في هذا السياق، يمكن الإشارة إلى النواة بـ${\displaystyle \ker f}$(أو صيغة مختلفة) ويمكن تعريفها رمزياً على النحو التالي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

يمكن أن تسلط دراسة خصائص هذه المجموعة الفرعية الضوء على${\displaystyle f.}$

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي هياكل جبرية من نوع ثابت (مثل الزمر أو الحلقات أو الفضاءات المتجهة )، وإذا كانت الدالة${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كان تشاكلاً ، فإن${\displaystyle \ker f}$هي علاقة تطابق (أي علاقة تكافؤ متوافقة مع البنية الجبرية)، والصورة المشتركة لـ${\displaystyle f}$هو ناتج قسمة${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} التناظر بين الصورة المقابلة وصورة${\displaystyle f}$هو تماثل بالمعنى الجبري؛ هذا هو الشكل الأكثر عمومية لنظرية التماثل الأولى .

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين، فإن الخصائص الطوبولوجية لـ${\displaystyle \ker f}$يمكن أن تسلط الضوء على المساحات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y.}$ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle Y}$إذن، هذا فضاء هاوسدورف${\displaystyle \ker f}$يجب أن تكون مجموعة مغلقة . والعكس صحيح، إذا${\displaystyle X}$هو مساحة تابعة لشركة هاوسدورف و${\displaystyle \ker f}$إذا كانت مجموعة مغلقة، فإن الصورة المقابلة لها${\displaystyle f,}$إذا تم إعطاء طوبولوجيا فضاء القسمة ، فيجب أن يكون أيضًا فضاء هاوسدورف.

تكون الفضاءات متراصة إذا وفقط إذا كانت نواة كل عائلة من المجموعات الفرعية المغلقة التي لها خاصية التقاطع المحدود (FIP) غير فارغة؛ ^{[ 4 ] [ 5 ]} بعبارة أخرى، تكون الفضاءات متراصة إذا وفقط إذا كانت كل عائلة من المجموعات الفرعية المغلقة التي لها خاصية التقاطع المحدود ثابتة .

• تصفية مجموعة – عائلة من المجموعات الفرعية التي تمثل مجموعات "كبيرة". 

• أوودي، ستيف (2010) [2006]. نظرية الفئات . أدلة أكسفورد المنطقية. المجلد  49 (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-923718-0.
• دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في الطوبولوجيا . نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .