حقل متجه محافظ

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 87 صور
الموسوعة الحرة

في حساب المتجهات ، يُعرف حقل المتجهات المحافظ بأنه حقل متجهات يمثل تدرج دالة ما . [ 1 ] يتميز حقل المتجهات المحافظ بأن تكامله الخطي مستقل عن المسار؛ أي أن اختيار المسار بين نقطتين لا يُغير قيمة التكامل الخطي. استقلال التكامل الخطي عن المسار يُكافئ كون حقل المتجهات تحت التكامل الخطي محافظًا. كما أن حقل المتجهات المحافظ غير دوراني ؛ في ثلاثة أبعاد، يعني هذا أن التفافه يساوي صفرًا . ويكون حقل المتجهات غير الدوراني محافظًا بالضرورة إذا كان المجال بسيط الاتصال .

تظهر حقول المتجهات المحافظة بشكل طبيعي في الميكانيكا : فهي حقول متجهات تمثل قوى الأنظمة الفيزيائية التي تُحفظ فيها الطاقة . [ 2 ] بالنسبة لنظام محافظ، فإن الشغل المبذول في التحرك على طول مسار في فضاء التكوين يعتمد فقط على نقاط نهاية المسار، لذلك من الممكن تعريف طاقة كامنة مستقلة عن المسار الفعلي المتخذ.

العلاج غير الرسمي

في الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد، يوجد غموض في حساب التكامل بين نقطتين لوجود عدد لا نهائي من المسارات بينهما؛ فإلى جانب الخط المستقيم، يمكن اختيار مسار منحني أطول كما هو موضح في الشكل. لذا، تعتمد قيمة التكامل عمومًا على المسار المختار. مع ذلك، في حالة حقل متجهي محافظ، تكون قيمة التكامل مستقلة عن المسار، وهو ما يمكن اعتباره إلغاءً واسع النطاق لجميع العناصر.دR{\displaystyle d{R}}لا يوجد لها مركبة على طول الخط المستقيم بين النقطتين. لتوضيح ذلك، تخيل شخصين يتسلقان جرفًا؛ أحدهما يقرر تسلق الجرف بالصعود عموديًا، والآخر يقرر السير على طول مسار متعرج أطول من ارتفاع الجرف، ولكنه بزاوية صغيرة مع الأفقي. على الرغم من أن المتسلقين سلكا مسارين مختلفين للوصول إلى قمة الجرف، إلا أنهما سيكتسبان عند القمة نفس القدر من طاقة الوضع التثاقلية. هذا لأن مجال الجاذبية محافظ.

رسم توضيحي لمسارين محتملين للتكامل. يمثل اللون الأخضر أبسط مسار ممكن، بينما يمثل اللون الأزرق منحنى أكثر تعقيدًا.

شرح بديهي

تُصوّر لوحة " الصعود والنزول" للفنان إم سي إيشر حقلًا متجهيًا غير محافظ، يبدو من المستحيل أن يكون تدرجًا للارتفاع المتغير فوق سطح الأرض (الجهد الجاذبي) أثناء الحركة على الدرج. إن مجال القوة الذي يتعرض له الشخص أثناء صعوده الدرج غير محافظ، إذ يمكنه العودة إلى نقطة البداية أثناء الصعود أكثر مما ينزل، أو العكس، مما ينتج عنه شغل غير صفري تبذله الجاذبية. على الدرج الحقيقي، يكون الارتفاع فوق سطح الأرض حقلًا كميًا قياسيًا: يجب على الشخص الصعود بنفس مقدار النزول للعودة إلى نفس المكان، وفي هذه الحالة يكون إجمالي الشغل الناتج عن الجاذبية صفرًا. يشير هذا إلى استقلالية الشغل المبذول على الدرج عن المسار؛ أي أن مجال القوة الذي يتعرض له الشخص محافظ (انظر القسم اللاحق: استقلالية المسار والحقل المتجهي المحافظ ). الوضع المصوّر في اللوحة مستحيل.

تعريف

حقل متجهيv:يو→Rن{\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}، أينيو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يُقال إنه محافظ إذا وُجدج1{\displaystyle C^{1}}حقل قياسي ( قابل للتفاضل باستمرار )φ{\displaystyle \varphi }[ 3 ] بشأنيو{\displaystyle U}بحيث

v=∇φ.{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}

هنا،∇φ{\displaystyle \nabla \varphi }يشير إلى تدرجφ{\displaystyle \varphi }. منذφ{\displaystyle \varphi }قابلة للتفاضل باستمرار،v{\displaystyle \mathbf {v} }تكون متصلة. عندما تتحقق المعادلة أعلاه،φ{\displaystyle \varphi }يُطلق عليه اسم الجهد القياسي لـv{\displaystyle \mathbf {v} }.

تنص النظرية الأساسية لحساب المتجهات على أنه في ظل بعض شروط الانتظام، يمكن التعبير عن أي حقل متجه كمجموع حقل متجه محافظ وحقل لولبي .

استقلال المسار وحقل المتجهات المحافظ

استقلال المسار

التكامل الخطي لحقل متجهيv{\displaystyle \mathbf {v} }يقال إنها مستقلة عن المسار إذا كانت تعتمد فقط على نقطتي نهاية مسار صحيحتين بغض النظر عن المسار الذي يتم اختياره بينهما: [ 4 ]∫P1v⋅در=∫P2v⋅در{\displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} }

لأي زوج من المسارات الصحيحةP1{\displaystyle P_{1}}وP2{\displaystyle P_{2}}بين زوج معين من نقاط نهاية المسار فييو{\displaystyle U}.

ويمكن التعبير عن استقلال المسار بشكل مكافئ على النحو التالي:

∫Pجv⋅در=0{\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0} لأي مسار مغلق أملس متقطعPج{\displaystyle P_{c}}فييو{\displaystyle U}حيث تتطابق نقطتا النهاية. التعبيران متكافئان لأن أي مسار مغلقPج{\displaystyle P_{c}}يمكن القيام بذلك عبر مسارين؛P1{\displaystyle P_{1}}من نقطة النهايةأ{\displaystyle A}إلى نقطة نهاية أخرىب{\displaystyle B}، وP2{\displaystyle P_{2}}منب{\displaystyle B}لأ{\displaystyle A}، لذا ∫Pجv⋅در=∫P1v⋅در+∫P2v⋅در=∫P1v⋅در-∫-P2v⋅در=0\int_{P_{c}}\mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \int_{P_{1}}\mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} + \int_{P_{2}}\mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \int_{P_{1}}\mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} - \int_{-P_{2}}\mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = 0} أين-P2{\displaystyle -P_{2}}هو عكسP2{\displaystyle P_{2}}وتتحقق المساواة الأخيرة بسبب استقلال المسار∫P1v⋅در=∫-P2v⋅در.{\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}

حقل متجه محافظ

خاصية أساسية لحقل متجه محافظv{\displaystyle \mathbf {v} }إن تكاملها على طول مسار ما يعتمد فقط على نقطتي نهاية ذلك المسار، وليس على المسار المحدد المتخذ. بعبارة أخرى، إذا كان حقلًا متجهيًا محافظًا، فإن تكامله الخطي يكون مستقلًا عن المسار. لنفترض أنv=∇φ{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }بالنسبة للبعضج1{\displaystyle C^{1}}حقل قياسي ( قابل للتفاضل باستمرار )φ{\displaystyle \varphi }[ 3 ] فوقيو{\displaystyle U}كمجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(لذاv{\displaystyle \mathbf {v} }(هو حقل متجهي محافظ ومتصل) وP{\displaystyle P}هو مسار قابل للتفاضل (أي يمكن تحديده بواسطة دالة قابلة للتفاضل ) فييو{\displaystyle U}بنقطة أوليةأ{\displaystyle A}ونقطة نهائيةب{\displaystyle B}ثم تنص نظرية التدرج (وتسمى أيضًا النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل للتكاملات الخطية ) على أن ∫Pv⋅در=φ(ب)-φ(أ).{\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}

ويتحقق هذا كنتيجة لتعريف التكامل الخطي ، وقاعدة السلسلة ، والنظرية الأساسية الثانية في حساب التفاضل والتكامل .v⋅در=∇φ⋅در{\displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi}\cdot d\mathbf {r} }في التكامل الخطي، يكون التفاضل تامًا لنظام إحداثيات متعامد (مثل الإحداثيات الديكارتية أو الأسطوانية أو الكروية ). ولأن نظرية التدرج قابلة للتطبيق على مسار قابل للتفاضل، فإن استقلال المسار لحقل متجه محافظ على منحنيات تفاضلية جزئية يُثبت أيضًا من خلال البرهان لكل مكون من مكونات المنحنى القابل للتفاضل. [ 5 ]

لقد ثبت حتى الآن أن حقل المتجهات المحافظv{\displaystyle \mathbf {v} }التكامل الخطي مستقل عن المسار. على العكس من ذلك، إذا كان حقل متجه متصلv{\displaystyle \mathbf {v} }إذا كان التكامل الخطي مستقلاً عن المسار، فإنه يكون حقل متجه محافظ ، وبالتالي فإن العبارة الثنائية الشرط التالية صحيحة: [ 4 ]

بالنسبة لحقل متجهي متصلv:يو→Rن{\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}، أينيو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يكون محافظًا إذا وفقط إذا كان تكامله الخطي على طول مسار فييو{\displaystyle U}مستقل عن المسار، مما يعني أن التكامل الخطي يعتمد فقط على نقطتي نهاية المسار بغض النظر عن المسار الذي يتم اختياره بينهما.

والبرهان على عكس هذه العبارة هو التالي.

تُستخدم مسارات التكامل الخطي لإثبات العبارة التالية: إذا كان التكامل الخطي لحقل متجه مستقل عن المسار، فإن حقل المتجه هو حقل متجه محافظ.

v{\displaystyle \mathbf {v} }هو حقل متجهي متصل يكون تكامله الخطي مستقلاً عن المسار. لنقم الآن بإنشاء دالةφ{\displaystyle \varphi }يُعرَّف بأنه φ(x،y)=∫أ،بx،yv⋅در{\displaystyle \varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }} على مسار عشوائي بين نقطة بداية مختارة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}ونقطة عشوائية(x،y){\displaystyle (x,y)}وبما أنه مستقل عن المسار، فإنه يعتمد فقط على(أ،ب){\displaystyle (a,b)}و(x،y){\displaystyle (x,y)}بغض النظر عن المسار الذي يتم اختياره بين هاتين النقطتين.

لنختر المسار الموضح في يسار الشكل الأيمن حيث يُستخدم نظام إحداثيات ديكارتية ثنائي الأبعاد . الجزء الثاني من هذا المسار موازٍ لـx{\displaystyle x}لذا لا يوجد تغيير على طول المحورy{\displaystyle y}المحور. التكامل الخطي على طول هذا المسار هو ∫أ،بx،yv⋅در=∫أ،بx1،yv⋅در+∫x1،yx،yv⋅در.{\displaystyle \int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.} بفضل استقلال المسار، فإن مشتقتها الجزئية بالنسبة إلىx{\displaystyle x}(لφ{\displaystyle \varphi }أن يكون لها مشتقات جزئية،v{\displaystyle \mathbf {v} }(يجب أن يكون مستمرًا.) هو ∂φ∂x=∂∂x∫أ،بx،yv⋅در=∂∂x∫أ،بx1،yv⋅در+∂∂x∫x1،yx،yv⋅در=0+∂∂x∫x1،yx،yv⋅در{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }} منذx1{\displaystyle x_{1}}وx{\displaystyle x}مستقلان عن بعضهما البعض. لنعبر عن ذلكv{\displaystyle \mathbf {v} }مثلv=P(x،y)أنا+سؤال(x،y)ج{\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }أينأنا{\displaystyle \mathbf {i} }وج{\displaystyle \mathbf {j} }هي متجهات وحدة على طولx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}المحاور على التوالي، إذن، بمادر=دxأنا+دyج{\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }، ∂∂xφ(x،y)=∂∂x∫x1،yx،yv⋅در=∂∂x∫x1،yx،yP(ت،y)دت=P(x،y){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)} حيث أن المساواة الأخيرة مأخوذة من النظرية الأساسية الثانية في حساب التفاضل والتكامل .

يؤدي اتباع نهج مماثل لمسار التكامل الخطي الموضح في يمين الشكل الأيمن إلى∂∂yφ(x،y)=سؤال(x،y){\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}لذا v=P(x،y)أنا+سؤال(x،y)ج=∂φ∂xأنا+∂φ∂yج=∇φ{\displaystyle \mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi }تم إثبات ذلك لنظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد . ويمكن توسيع طريقة الإثبات هذه بسهولة لتشمل نظام إحداثيات متعامد ذي أبعاد أعلى (مثل نظام الإحداثيات الكروية ثلاثي الأبعاد )، وبالتالي يتم إثبات العكس. ويُوجد هنا برهان آخر باعتباره عكس نظرية التدرج.

حقول متجهة غير دورانية

حقل المتجهات أعلاهv=(-yx2+y2،xx2+y2،0){\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}محدد فييو=R3∖{(0،0،z)|z∈R}{\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}، أي،R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}مع إزالة جميع الإحداثيات علىz{\displaystyle z}المحور - (لذا فهو ليس فضاءً متصلاً ببساطة)، وله التفاف صفري فييو{\displaystyle U}وبالتالي فهو غير دوراني. ومع ذلك، فهو ليس محافظاً ولا يتمتع باستقلالية المسار.

يتركن=3{\displaystyle n=3}(الفضاء ثلاثي الأبعاد)، ولتكنv:يو→R3{\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}كنج1{\displaystyle C^{1}}حقل متجه ( قابل للتفاضل باستمرار )، مع مجموعة فرعية مفتوحةيو{\displaystyle U}لRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. ثمv{\displaystyle \mathbf {v} }يُطلق عليه اسم غير دوراني إذا كان دورانه0{\displaystyle \mathbf {0} }في كل مكان فييو{\displaystyle U}أي، إذا ∇×v≡0.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}

لهذا السبب، يُشار أحيانًا إلى هذه الحقول المتجهة باسم الحقول المتجهة الخالية من الدوران أو الحقول المتجهة غير الدورانية. كما يُشار إليها أيضًا باسم الحقول المتجهة الطولية .

من متطابقات حساب المتجهات أنه لأيج2{\displaystyle C^{2}}حقل قياسي ( قابل للتفاضل باستمرار حتى المشتقة الثانية )φ{\displaystyle \varphi }علىيو{\displaystyle U}لدينا ∇×(∇φ)≡0.{\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}

لذلك، كلج1{\displaystyle C^{1}}حقل متجه محافظ فييو{\displaystyle U}وهو أيضًا حقل متجه غير دوراني فييو{\displaystyle U}يمكن إثبات هذه النتيجة بسهولة من خلال التعبير عن∇×(∇φ){\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}في نظام إحداثيات ديكارتية مع نظرية شوارتز (وتسمى أيضًا نظرية كليروت حول تساوي الدوال الجزئية المختلطة).

بشرط أنيو{\displaystyle U}إذا كان الفضاء مفتوحًا بسيط الاتصال (بمعنى أدق، فضاء مفتوح قطعة واحدة بدون ثقب بداخله)، فإن عكس ذلك صحيح أيضًا: كل حقل متجه غير دوراني في فضاء مفتوح بسيط الاتصاليو{\displaystyle U}هوج1{\displaystyle C^{1}}حقل متجه محافظ فييو{\displaystyle U}.

العبارة المذكورة أعلاه ليست صحيحة بشكل عام إذايو{\displaystyle U}ليس الأمر مجرد اتصال. دعيو{\displaystyle U}يكونR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}مع إزالة جميع الإحداثيات علىz{\displaystyle z}المحور - (لذا فهو ليس فضاءً متصلاً ببساطة )، أييو=R3∖{(0،0،z)|z∈R}{\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}الآن، عرّف حقلًا متجهيًاv{\displaystyle \mathbf {v} }علىيو{\displaystyle U}بواسطة v(x،y،z) =تعريف (-yx2+y2،xx2+y2،0).{\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}

ثمv{\displaystyle \mathbf {v} }لا يوجد أي تجعيد في أي مكانيو{\displaystyle U}(∇×v≡0{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }في كل مكان فييو{\displaystyle U})، أي،v{\displaystyle \mathbf {v} }هو غير دوراني. ومع ذلك، فإن دورانv{\displaystyle \mathbf {v} }حول دائرة الوحدة فيxy{\displaystyle xy}-plane هو2π{\displaystyle 2\pi }في الإحداثيات القطبية ،v=هـϕ/ر{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}إذن، التكامل على دائرة الوحدة هو ∮جv⋅هـϕ دϕ=2π.{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}

لذلك،v{\displaystyle \mathbf {v} }لا يمتلك خاصية استقلال المسار المذكورة أعلاه، لذا فهو ليس محافظًا حتى لو∇×v≡0{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }منذيو{\displaystyle U}أينv{\displaystyle \mathbf {v} }لا يُعرَّف بأنه مساحة مفتوحة متصلة ببساطة.

لنفترض مرة أخرى، في منطقة مفتوحة بسيطة الاتصال، حقل متجه غير دورانيv{\displaystyle \mathbf {v} }يتمتع بخاصية استقلال المسار (لذاv{\displaystyle \mathbf {v} }باعتباره محافظًا). ويمكن إثبات ذلك مباشرة باستخدام نظرية ستوكس ،∮Pجv⋅در=∬أ(∇×v)⋅دأ=0{\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}لأي سطح أملس موجهأ{\displaystyle A}أي حدود تمثل مسارًا مغلقًا بسيطًاPج{\displaystyle P_{c}}لذا، نستنتج أنه في منطقة مفتوحة بسيطة الاتصال، أيج1{\displaystyle C^{1}}يجب أن يكون حقل المتجهات الذي يتمتع بخاصية استقلال المسار (لذا فهو حقل متجهات محافظ) غير دوراني أيضًا والعكس صحيح.

التجريد

بصورة أكثر تجريدًا، في وجود مقياس ريماني ، تتوافق حقول المتجهات مع المعادلات التفاضلية1{\displaystyle 1}الأشكال - . تتوافق حقول المتجهات المحافظة مع الشكل الدقيق1{\displaystyle 1}-forms ، أي إلى الأشكال التي هي مشتقة خارجيةدϕ{\displaystyle d\phi }دالة (حقل قياسي)ϕ{\displaystyle \phi }علىيو{\displaystyle U}تتوافق حقول المتجهات غير الدورانية مع المجال المغلق1{\displaystyle 1}-forms ، أي إلى1{\displaystyle 1}-نماذجω{\displaystyle \omega }بحيثدω=0{\displaystyle d\omega =0}. مثلد2=0{\displaystyle d^{2}=0}أي شكل دقيق يكون مغلقًا، لذا فإن أي حقل متجهي محافظ يكون غير دوراني. وعلى العكس من ذلك، فإن جميع الحقول المغلقة1{\displaystyle 1}تكون الصيغ دقيقة إذايو{\displaystyle U}متصل ببساطة .

الدوامة

الدوامة​ω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}يمكن تعريف حقل متجهي بواسطة: ω =تعريف ∇×v.{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}

تكون دوامية المجال غير الدوراني معدومة في كل مكان. [ 6 ] تنص نظرية كلفن للدوران على أن المائع غير الدوراني في تدفق غير لزج سيظل غير دوراني. يمكن استنتاج هذه النتيجة من معادلة نقل الدوامية ، التي يتم الحصول عليها بأخذ التفاف معادلات نافيير-ستوكس .

في مجال ثنائي الأبعاد، تعمل الدوامية كمقياس للدوران الموضعي لعناصر المائع. ولا تدل الدوامية على أي شيء بخصوص السلوك العام للمائع. فمن الممكن أن يكون للمائع الذي يتحرك في خط مستقيم دوامية، ومن الممكن أن يكون للمائع الذي يتحرك في دائرة عدم دوران.

القوى المحافظة

أمثلة على مجالات الجهد والتدرج في الفيزياء:
  •  الحقول العددية، الكمونات العددية:
    • V G ، الجهد الجاذبي
    • طاقة الوضع (الجاذبية أو الكهروستاتيكية)
    • V C ، جهد كولوم
  •  حقول المتجهات، حقول التدرج:
    • تسارع الجاذبية الأرضية ( a G)
    • F ، (قوة الجاذبية أو القوة الكهروستاتيكية)
    • E ، شدة المجال الكهربائي

إذا كان حقل المتجهات المرتبط بقوةF{\displaystyle \mathbf {F} }إذا كانت القوة محافظة، فإن القوة يقال إنها قوة محافظة .

من أبرز الأمثلة على القوى المحافظة قوة الجاذبية (المرتبطة بمجال الجاذبية) والقوة الكهربائية (المرتبطة بمجال كهرساكن). ووفقًا لقانون نيوتن للجاذبية ، فإن قوة الجاذبيةFجي{\displaystyle \mathbf {F} _{G}}التأثير على كتلةم{\displaystyle m}بسبب كتلةم{\displaystyle M}تقع على مسافةر{\displaystyle r}منم{\displaystyle m}، يخضع للمعادلة

Fجي=-جيممر2ر^،{\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}

أينجي{\displaystyle G}هو ثابت الجاذبية ور^{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}هو متجه وحدة يشير منم{\displaystyle M}نحوم{\displaystyle m}قوة الجاذبية قوة محافظة لأنFجي=-∇Φجي{\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}، أين

Φجي =تعريف-جيممر{\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}

هي طاقة الوضع التثاقلية . بعبارة أخرى، مجال الجاذبيةFجيم{\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}مرتبط بقوة الجاذبيةFجي{\displaystyle \mathbf {F} _{G}}هو تدرج جهد الجاذبيةΦجيم{\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}مرتبط بطاقة الوضع التثاقليةΦجي{\displaystyle \Phi _{G}}يمكن إثبات أن أي حقل متجه من الشكلF=F(ر)ر^{\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}وهو محافظ، بشرط أنF(ر){\displaystyle F(r)}قابل للتكامل.

بالنسبة للقوى المحافظة ، يمكن تفسير استقلال المسار على أنه يعني أن العمل المنجز في الانتقال من نقطة ماأ{\displaystyle A}إلى حد ماب{\displaystyle B}مستقل عن مسار الحركة المختار (يعتمد فقط على النقاط)أ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B})، وأن العملدبليو{\displaystyle W}يتم ذلك من خلال الدوران حول حلقة مغلقة بسيطةج{\displaystyle C}يكون0{\displaystyle 0}:

دبليو=∮جF⋅در=0.{\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}

يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة الميكانيكية لجسيم يتحرك تحت تأثير القوى المحافظة، بمعنى أن فقدان طاقة الوضع يتحول إلى كمية مساوية من الطاقة الحركية ، أو العكس.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مارسدن، جيرولد ؛ ترومبا، أنتوني (2003). حساب المتجهات (  الطبعة الخامسة). دبليو إتش فريدمان وشركاه. الصفحات 550-561 . 
  2. ↑ جورج ب. أرفكن وهانز ج. ويبر، الأساليب الرياضية للفيزيائيين ، الطبعة السادسة، دار النشر الأكاديمية إلسيفير (2005)
  3. 1 2 لـv=∇φ{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }أن يكون مستقلاً عن المسار ،φ{\displaystyle \varphi }ليس بالضرورة أن تكون قابلة للتفاضل بشكل مستمر، فشرط كونها قابلة للتفاضل يكفي، وذلك لأن نظرية التدرج تثبت استقلال المسار.∇φ{\displaystyle \nabla \varphi }لا يتطلبφ{\displaystyle \varphi }أن تكون قابلة للتفاضل باستمرار. لا بد من وجود سبب لتعريف حقول المتجهات المحافظة بحيث تتطلب ذلكφ{\displaystyle \varphi }أن تكون قابلة للتفاضل باستمرار .
  4. 1 2 ستيوارت، جيمس (2015). "16.3 النظرية الأساسية للتكاملات الخطية"حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة الثامنة). سينجايج ليرنينج. الصفحات 1127-1134 . ISBN  978-1-285-74062-1.
  5. ↑ يجب التحقق مما إذا كانت التفاضلات الدقيقة موجودة أيضًا لأنظمة الإحداثيات غير المتعامدة.
  6. ↑ ليبمان، هـ. و .؛ روشكو، أ. (1993) [1957]، عناصر ديناميكا الغازات ، منشورات كوريير دوفر، رقم ISBN 0-486-41963-0، الصفحات 194-196.

للمزيد من القراءة

  • أتشيسون، دي جيه (1990). ديناميكا الموائع الأساسية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0198596790.