التفاضل الدقيق

في حساب متعدد المتغيرات ، يقال إن الشكل التفاضلي أو التفاضلي دقيق أو مثالي ( تفاضل دقيق )، على النقيض من التفاضل غير الدقيق ، إذا كان مساويًا للتفاضل العام لبعض الوظائف القابلة للتفاضل في نظام إحداثيات متعامد (ومن ثم فهي دالة متعددة المتغيرات تكون متغيراتها مستقلة ، كما هو متوقع دائمًا عند التعامل معها في حساب متعدد المتغيرات ). ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle س}$${\displaystyle س}$

يُطلق على التفاضل الدقيق أحيانًا أيضًا اسم التفاضل الكلي ، أو التفاضل الكامل ، أو في دراسة الهندسة التفاضلية ، يُطلق عليه اسم الشكل الدقيق .

إن تكامل التفاضل الدقيق على أي مسار تكاملي لا يعتمد على المسار ، وتُستخدم هذه الحقيقة لتحديد وظائف الحالة في الديناميكا الحرارية .

حتى لو عملنا في ثلاثة أبعاد هنا، فإن تعريفات الفروق الدقيقة للأبعاد الأخرى متشابهة هيكليًا مع التعريف ثلاثي الأبعاد. في الأبعاد الثلاثة، هناك شكل من النوع

${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

يُطلق عليه الشكل التفاضلي . يُطلق على هذا الشكل اسم الشكل الدقيق على مجال مفتوح في الفضاء إذا كان هناك دالة قياسية قابلة للتفاضل محددة على النحو التالي: ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,}$   ${\displaystyle dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

في جميع أنحاء ، حيث تكون الإحداثيات المتعامدة (على سبيل المثال، إحداثيات ديكارتية أو أسطوانية أو كروية ). بعبارة أخرى، في بعض المجالات المفتوحة من الفضاء، يكون الشكل التفاضلي تفاضليًا دقيقًا إذا كان مساويًا للتفاضل العام لدالة قابلة للتفاضل في نظام إحداثيات متعامد. ${\displaystyle D}$${\displaystyle x,y,z}$

ملاحظة: في هذا التعبير الرياضي، تشير الأرقام الموجودة خارج الأقواس إلى المتغيرات التي يتم الاحتفاظ بها ثابتة أثناء التفاضل. ونظرًا لتعريف المشتقة الجزئية ، فإن هذه الأرقام ليست مطلوبة، ولكنها معروضة هنا صراحةً كتذكيرات.

التفاضل الدقيق لدالة قياسية قابلة للاشتقاق مُعرّفة في مجال مفتوح يساوي ، حيث هو تدرج ، ويمثل حاصل الضرب القياسي ، و هو متجه الإزاحة التفاضلية العام، إذا تم استخدام نظام إحداثيات متعامد. إذا كان من فئة قابلية الاشتقاق ( قابل للاشتقاق باستمرار )، فإن يكون حقل متجه محافظ للإمكانات المقابلة حسب التعريف. بالنسبة للمساحات ثلاثية الأبعاد، يمكن عمل تعبيرات مثل و .${\displaystyle س}$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle س}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle س}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle س}$${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$${\displaystyle \nabla Q=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)}$

تنص نظرية التدرج على

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

وهذا لا يعتمد على المسار التكاملي بين نهايات المسار المعطاة والذي تم اختياره. لذا نستنتج أن تكامل التفاضل الدقيق مستقل عن اختيار المسار التكاملي بين نهايات المسار المعطاة (استقلال المسار) .${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$

بالنسبة للمساحات ثلاثية الأبعاد، إذا تم تعريفها على مجال مفتوح هي من فئة القابلية للتفاضل (أي ما يعادل ) ، فيمكن أيضًا إثبات استقلال المسار التكاملي هذا باستخدام هوية حساب المتجهات ونظرية ستوكس . ${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle س}$${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma}\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0 }$

لحلقة مغلقة ببساطة مع السطح الأملس الموجه فيها. إذا كان المجال المفتوح عبارة عن مساحة مفتوحة متصلة ببساطة (بشكل تقريبي، مساحة مفتوحة من قطعة واحدة بدون ثقب داخلها)، فإن أي حقل متجه غير دوراني (يُعرف بأنه حقل متجه يكون curl فيه صفرًا، أي، ) له استقلال المسار وفقًا لنظرية ستوكس، وبالتالي يتم عمل البيان التالي؛ في منطقة مفتوحة متصلة ببساطة، يجب أن يكون أي حقل متجه له خاصية استقلال المسار (لذا فهو حقل متجه محافظ) غير دوراني أيضًا والعكس صحيح. تظهر هنا مساواة حقول استقلال المسار والمتجه المحافظ . ${\displaystyle \partial \Sigma }$${\displaystyle \سيجما }$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C^{1}}$

في الديناميكا الحرارية ، عندما تكون دقيقة، تكون الدالة دالة حالة للنظام: دالة رياضية تعتمد فقط على حالة التوازن الحالية ، وليس على المسار المتخذ للوصول إلى تلك الحالة. الطاقة الداخلية ، والإنتروبيا ، والمحتوى الحراري ، وطاقة هلمهولتز الحرة ، وطاقة جيبس ​​الحرة هي دوال حالة . بشكل عام، لا يعد العمل ولا الحرارة دالة حالة. (ملاحظة: تُستخدم عادةً لتمثيل الحرارة في الفيزياء. لا ينبغي الخلط بينها وبين الاستخدام السابق في هذه المقالة كمعامل لتفاضل دقيق.) ${\displaystyle dQ}$${\displaystyle س}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle س}$${\displaystyle س}$

في بعد واحد، شكل تفاضلي

${\displaystyle A(x)\,dx}$

تكون دقيقة إذا وفقط إذا كان لها مشتقة عكسية (ولكن ليس بالضرورة مشتقة عكسية من حيث الدوال الأولية). إذا كان لها مشتقة عكسية وليكن مشتقًا عكسيًا لـ so ، فمن الواضح أنها تلبي شرط الدقة. إذا لم يكن لها مشتقة عكسية، فلا يمكننا الكتابة مع لدالة قابلة للاشتقاق so تكون غير دقيقة. ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle س}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$${\displaystyle A(x)\,dx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$${\displaystyle س}$${\displaystyle A(x)\,dx}$

من خلال تماثل المشتقات الثانية ، لأي دالة "حسنة السلوك" (غير مرضية ) ، لدينا ${\displaystyle س}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

ومن ثم، في المنطقة المتصلة بشكل بسيط R من المستوى xy ، حيث تكون مستقلة، ^[1] شكل تفاضلي ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

هو تفاضل دقيق إذا وفقط إذا كانت المعادلة

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

ينطبق هذا. إذا كان تفاضلًا دقيقًا، إذن و ، إذن تكون دالة قابلة للاشتقاق (متصلة بسلاسة) على طول و ، إذن . إذا ينطبق هذا، إذن تكون و دالة قابلة للاشتقاق (مرة أخرى، متصلة بسلاسة) على طول و على التوالي، و هي الحالة الوحيدة. ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$${\displaystyle س}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

بالنسبة للأبعاد الثلاثة، في منطقة متصلة بشكل بسيط R لنظام إحداثيات xyz ، ولسبب مماثل، يتم إنشاء تفاضل

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

تكون تفاضلية دقيقة إذا وفقط إذا كانت هناك علاقات بين الدوال A و B و C

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;; ​${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

هذه الشروط تعادل الجملة التالية: إذا كان G هو رسم بياني لدالة القيمة المتجهة هذه، فبالنسبة لجميع المتجهات المماسية X و Y للسطح G ، فإن s ( X و  Y ) = 0 مع s الشكل المتعاطف .

تنشأ هذه الشروط، التي يسهل تعميمها، من استقلال ترتيب التفاضلات في حساب المشتقات الثانية. لذا، لكي تكون الدالة التفاضلية dQ ، التي هي دالة لأربعة متغيرات، دالة تفاضلية دقيقة، فهناك ستة شروط ( التركيبة ) يجب تلبيتها. ${\displaystyle C(4,2)=6}$

إذا كانت الدالة القابلة للاشتقاق هي دالة قابلة للاشتقاق (حقنية) لكل متغير مستقل، على سبيل المثال، هي دالة قابلة للاشتقاق لـ عند ثابت بينما ليست بالضرورة دالة قابلة للاشتقاق لـ ، فإن الفروق الكلية التالية موجودة لأن كل متغير مستقل هو دالة قابلة للاشتقاق للمتغيرات الأخرى، على سبيل المثال، . ${\displaystyle z(x,y)}$${\displaystyle z(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

عند استبدال المعادلة الأولى في المعادلة الثانية وإعادة ترتيبها، نحصل على

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

نظرًا لأن و متغيرات مستقلة، ويمكن اختيارهما دون قيود. لكي تكون هذه المعادلة الأخيرة صحيحة بشكل عام، يجب أن تكون الحدود بين قوسين مساوية للصفر. ^[2] يؤدي القوس الأيسر الذي يساوي الصفر إلى علاقة المعاملة بالمثل بينما القوس الأيمن الذي يساوي الصفر يؤدي إلى العلاقة الدورية كما هو موضح أدناه. ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

يؤدي ضبط المصطلح الأول بين قوسين إلى صفر إلى إنتاجية

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

يؤدي إعادة الترتيب الطفيف إلى علاقة تبادلية،

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

هناك تبديلان إضافيان للاشتقاق السابق يعطيان إجماليًا ثلاث علاقات متبادلة بين ، و . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

تُعرف العلاقة الدورية أيضًا باسم القاعدة الدورية أو قاعدة الضرب الثلاثي . يؤدي ضبط الحد الثاني بين قوسين إلى صفر إلى

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

إن استخدام علاقة المعاملة بالمثل في هذه المعادلة وإعادة ترتيبها يعطي علاقة دورية ( قاعدة الضرب الثلاثي )، ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

إذا تم استخدام علاقات المعاملة بالمثل لـ و مع إعادة الترتيب اللاحقة، يتم الحصول على شكل قياسي للتمايز الضمني :${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

(انظر أيضًا معادلات بريدجمان الديناميكية الحرارية لاستخدام التفاضلات الدقيقة في نظرية المعادلات الديناميكية الحرارية )

افترض أن لدينا خمس دوال حالة ، و . افترض أن فضاء الحالة ثنائي الأبعاد وأن أيًا من الكميات الخمس قابلة للاشتقاق. إذن وفقًا لقاعدة السلسلة${\displaystyle z,x,y,u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

( 1 )

ولكن أيضًا بقاعدة السلسلة:

${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

( 2 )

و

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

( 3 )

بحيث (عن طريق استبدال (2) و (3) في (1)):

${\displaystyle {\begin{aligned}dz=&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du\\+&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv\end{aligned}}}$

( 4 )

وهو ما يعني (من خلال مقارنة (4) مع (1)):

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}$

( 5 )

السماح بالدخول (5) يعطي: ${\displaystyle v=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}$

( 6 )

السماح بالدخول (5) يعطي: ${\displaystyle u=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}}$

( 7 )

السماح بـ و في (7) يعطي: ${\displaystyle u=y}$${\displaystyle v=z}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}$

( 8 )

باستخدام ( يعطي قاعدة الضرب الثلاثي : ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}$

( 9 )

• أشكال تفاضلية مغلقة ودقيقة لعلاج على مستوى أعلى
• التفاضل (رياضيات)
• تفاضل غير دقيق
• عامل التكامل لحل المعادلات التفاضلية غير الدقيقة عن طريق جعلها دقيقة
• المعادلة التفاضلية الدقيقة

• بيرو، ب. (1998). من الألف إلى الياء في الديناميكا الحرارية. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد.
• دينيس ج. زيل (14 مايو 2008). دورة أولى في المعادلات التفاضلية. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

• التفاضل غير الدقيق – من كتاب Wolfram MathWorld
• الفروق الدقيقة وغير الدقيقة – جامعة أريزونا
• الفروق الدقيقة وغير الدقيقة – جامعة تكساس
• التفاضل الدقيق – من موقع Wolfram MathWorld