الإمكانات القياسية

في الفيزياء الرياضية ، يصف الجهد القياسي الموقف الذي يعتمد فيه الفرق في الطاقات الكامنة لجسم في موضعين مختلفين على الموضعين فقط، وليس على المسار الذي يسلكه الجسم في السفر من موضع إلى آخر. إنه مجال قياسي في الفضاء الثلاثي : قيمة بلا اتجاه ( قياسية ) تعتمد فقط على موقعها. ومن الأمثلة المألوفة على ذلك الطاقة الكامنة بسبب الجاذبية .

الإمكانات القياسية هي مفهوم أساسي في تحليل المتجهات والفيزياء ( غالبًا ما يتم حذف صفة القياسية إذا لم يكن هناك خطر الخلط مع الإمكانات المتجهة ). الإمكانات القياسية هي مثال على حقل قياسي . بالنظر إلى حقل متجه F ، يتم تعريف الإمكانات القياسية P على النحو التالي: [ ^1] حيث ∇ P هو تدرج P والجزء الثاني من المعادلة هو ناقص التدرج لدالة إحداثيات ديكارت x و y و z . ^{[أ] في بعض الحالات، قد يستخدم علماء الرياضيات} علامة موجبة أمام التدرج لتحديد الإمكانات. ^[2] وبسبب هذا التعريف لـ P من حيث التدرج، فإن اتجاه F عند أي نقطة هو اتجاه أشد انخفاض لـ P عند تلك النقطة، ومقداره هو معدل هذا الانخفاض لكل وحدة طول. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}$$

لكي يتم وصف F من حيث الإمكانات القياسية فقط، يجب أن تكون أي من العبارات المكافئة التالية صحيحة:

1. ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),}$حيث يكون التكامل على قوس جوردان يمر من الموقع أ إلى الموقع ب و P ( b ) هو P المقيم في الموقع ب .
2. ${\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,}$حيث يكون التكامل على أي مسار مغلق بسيط، أو ما يعرف بمنحنى جوردان .
3. ${\displaystyle {\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.}$

يمثل الشرط الأول من هذه الشروط النظرية الأساسية للتدرج وهو صحيح لأي حقل متجه يمثل تدرجًا لحقل قياسي أحادي القيمة قابل للاشتقاق P. الشرط الثاني هو شرط من شروط F حتى يمكن التعبير عنه باعتباره تدرجًا لدالة قياسية. يعيد الشرط الثالث التعبير عن الشرط الثاني من حيث تجعيد F باستخدام النظرية الأساسية للتجعيد . يُقال إن الحقل المتجه F الذي يلبي هذه الشروط غير دوراني (محافظ) .

تلعب الإمكانات القياسية دورًا بارزًا في العديد من مجالات الفيزياء والهندسة. إن إمكانية الجاذبية هي الإمكانات القياسية المرتبطة بالجاذبية لكل وحدة كتلة، أي التسارع الناتج عن المجال، كدالة للموضع. إن إمكانية الجاذبية هي طاقة الوضع الجاذبية لكل وحدة كتلة. في الكهروستاتيك، يكون الجهد الكهربي هو الإمكانات القياسية المرتبطة بالمجال الكهربي ، أي القوة الكهروستاتيكية لكل وحدة شحنة . يكون الجهد الكهربي في هذه الحالة هو طاقة الوضع الكهروستاتيكية لكل وحدة شحنة. في ديناميكا الموائع ، يكون للحقول الصفائحية غير الدورانية إمكانية قياسية فقط في الحالة الخاصة عندما تكون حقلاً لابلاسيًا . يمكن وصف جوانب معينة من القوة النووية بإمكانات يوكاوا . تلعب الإمكانات دورًا بارزًا في صيغ لاغرانج وهاملتون للميكانيكا الكلاسيكية . علاوة على ذلك، فإن الإمكانات القياسية هي الكمية الأساسية في ميكانيكا الكم .

لا تحتوي كل حقول المتجهات على إمكانات قياسية. تسمى تلك التي تحتوي على إمكانات قياسية بالقوى المحافظة ، وهو ما يتوافق مع مفهوم القوة المحافظة في الفيزياء. تشمل أمثلة القوى غير المحافظة قوى الاحتكاك والقوى المغناطيسية وفي ميكانيكا الموائع مجال سرعة المجال اللولبي . ومع ذلك، وفقًا لنظرية تحلل هلمهولتز ، يمكن وصف جميع حقول المتجهات من حيث الإمكانات القياسية والإمكانات المتجهة المقابلة . في الديناميكا الكهربائية، تُعرف الإمكانات القياسية الكهرومغناطيسية والمتجهة معًا باسم الإمكانات الكهرومغناطيسية الرباعية .

إذا كان F حقل متجه محافظ (يُسمى أيضًا غير دوراني ، أو خالٍ من التجعيد ، أو محتمل )، وكانت مكوناته تحتوي على مشتقات جزئية مستمرة ، فإن إمكانات F بالنسبة إلى نقطة مرجعية r ₀ تُعرف من حيث التكامل الخطي : حيث C هو مسار ذو معلمات من r ₀ إلى r ، $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)،a\leq t\leq b،\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ،\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .}$$

إن حقيقة أن التكامل الخطي يعتمد على المسار C فقط من خلال نقاطه النهائية r ₀ و r هي في الأساس خاصية استقلال المسار لحقل متجه محافظ. تشير النظرية الأساسية للتكاملات الخطية إلى أنه إذا تم تعريف V بهذه الطريقة، فإن F = –∇ V ، بحيث تكون V إمكانية قياسية لحقل المتجه المحافظ F. لا يتم تحديد الإمكانات القياسية من خلال حقل المتجه وحده: في الواقع، لا يتأثر تدرج الدالة إذا تمت إضافة ثابت إليها. إذا تم تعريف V من حيث التكامل الخطي، فإن غموض V يعكس الحرية في اختيار نقطة المرجع r ₀ .

مثال على ذلك هو المجال الجاذبي (شبه) المنتظم بالقرب من سطح الأرض. لديه طاقة كامنة حيث U هي طاقة الجاذبية الكامنة و h هو الارتفاع فوق السطح. هذا يعني أن طاقة الجاذبية الكامنة على خريطة الكنتور تتناسب مع الارتفاع. على خريطة الكنتور، يكون التدرج السلبي ثنائي الأبعاد للارتفاع عبارة عن حقل متجه ثنائي الأبعاد، تكون متجهاته دائمًا عمودية على الكنتور وعمودية أيضًا على اتجاه الجاذبية. ولكن في المنطقة الجبلية التي تمثلها خريطة الكنتور، يشير التدرج السلبي ثلاثي الأبعاد لـ U دائمًا إلى الأسفل مباشرة في اتجاه الجاذبية؛ F. ومع ذلك، لا يمكن للكرة المتدحرجة أسفل التل أن تتحرك مباشرة إلى الأسفل بسبب القوة العمودية لسطح التل، والتي تلغي مكونة الجاذبية العمودية على سطح التل. إن مركبة الجاذبية التي تبقى لتحريك الكرة تكون موازية للسطح: حيث θ هي زاوية الميل، ومركبة F _S العمودية على الجاذبية هي. هذه القوة F _P ، الموازية للأرض، تكون أعظمية عندما تكون θ 45 درجة. $${\displaystyle U=mgh}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta }$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .}$$

ليكن Δh هو الفاصل المنتظم للارتفاع بين خطوط الكنتور على خريطة الكنتور، وليكن Δx هو المسافة بين خطي الكنتور. إذن بحيث ومع ذلك، على خريطة الكنتور، يكون التدرج متناسبًا عكسيًا مع Δx ، وهو ما لا يشبه القوة F P : الارتفاع على خريطة الكنتور ليس بالضبط مجالًا محتملًا ثنائي الأبعاد. _تختلف مقادير القوى، لكن اتجاهات القوى هي نفسها على خريطة الكنتور وكذلك على المنطقة الجبلية من سطح الأرض التي تمثلها خريطة الكنتور. $${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}}$$$${\displaystyle F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.}$$

في ميكانيكا الموائع ، يتخلل السائل المتوازن، ولكن في وجود مجال جاذبية موحد، قوة طفو موحدة تلغي قوة الجاذبية: وهذه هي الطريقة التي يحافظ بها السائل على توازنه. هذه القوة الطفو هي التدرج السلبي للضغط : $${\displaystyle \mathbf {f_{B}} =-\nabla p.}$$

نظرًا لأن قوة الطفو تتجه إلى الأعلى، في الاتجاه المعاكس للجاذبية، فإن الضغط في السائل يزداد إلى الأسفل. يزداد الضغط في المسطح المائي الساكن بشكل متناسب مع العمق تحت سطح الماء. الأسطح ذات الضغط الثابت هي مستويات موازية للسطح، والتي يمكن وصفها بأنها مستوى الضغط الصفري.

إذا كان للسائل دوامة رأسية (محور دورانها عمودي على السطح)، فإن الدوامة تسبب انخفاضًا في مجال الضغط. يتم سحب سطح السائل داخل الدوامة إلى الأسفل مثل أي أسطح ذات ضغط متساوٍ، والتي تظل موازية لسطح السائل. يكون التأثير أقوى داخل الدوامة ويتناقص بسرعة مع المسافة من محور الدوامة.

يمكن الحصول على قوة الطفو الناتجة عن سائل على جسم صلب مغمور ومحاط بهذا السائل عن طريق دمج تدرج الضغط السلبي على طول سطح الجسم: $${\displaystyle F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .}$$

في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ثلاثي الأبعاد ، يعطى الجهد القياسي لحقل متجه غير دوراني E بواسطة حيث dV ( r' ) هو عنصر حجم لا نهائي في الصغر بالنسبة إلى r ' . ثم ينطبق هذا بشرط أن تكون E متصلة وتتلاشى بشكل مقارب للصفر نحو اللانهاية، وتتحلل بشكل أسرع من 1/ r وإذا كان تباعد E يتلاشى أيضًا نحو اللانهاية، ويتحلل بشكل أسرع من 1/ r ² . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$

وبعبارة أخرى، ليكن الجهد النيوتوني . هذا هو الحل الأساسي لمعادلة لابلاس ، أي أن الجهد اللابلاسي لـ Γ يساوي السالب لدالة دلتا ديراك : إذن ، الجهد القياسي هو تباعد التفاف E مع Γ : $${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.}$$$${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).}$$

في الواقع، فإن التفاف حقل متجه غير دوراني ذو جهد ثابت دورانيًا هو أيضًا غير دوراني. بالنسبة لحقل متجه غير دوراني G ، يمكن إظهار أن وبالتالي كما هو مطلوب. $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).}$$$${\displaystyle \nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E} }$$

بشكل عام، تنطبق الصيغة في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ( n > 2 ) مع إمكانية نيوتن المعطاة إذن بواسطة حيث ω _n هو حجم الوحدة n -ball. والدليل متطابق. بدلاً من ذلك، يعطي التكامل بالأجزاء (أو، بشكل أكثر دقة، خصائص الالتفاف ) $${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )}$$$${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}}$$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').}$$

• نظرية التدرج
• النظرية الأساسية لتحليل المتجهات
• خطوط و أسطح متساوية الجهد (متساوية الجهد)

• الوسائط المتعلقة بالإمكانات القياسية في ويكيميديا ​​كومنز