نظرية تضمين ويتني

يتم إثبات تضمين ويتني الضعيف من خلال حجة الإسقاط.

عندما يكون الفضاء متعدد الشعب مضغوطًا ، يمكن أولًا استخدام غطاء مكون من عدد محدود من المخططات المحلية، ثم تقليل البعد باستخدام إسقاطات مناسبة. ^{[ 1 ] : الفصل 1، القسم 3 [ 2 ] : الفصل 6 [ 3 ] : الفصل 5، القسم 3}

تتمثل الخطوط العريضة العامة للإثبات في البدء بعملية غمر${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$مع وجود تقاطعات ذاتية مستعرضة . من المعروف وجود هذه التقاطعات من خلال عمل ويتني السابق حول نظرية الغمر الضعيف . وتستنتج خاصية التعامد للنقاط المزدوجة من حجة الوضع العام. الفكرة هي إزالة جميع التقاطعات الذاتية بطريقة ما. إذا كان لـ M حدود، فيمكن إزالة التقاطعات الذاتية ببساطة عن طريق تحويل M إلى نفسه (حيث يكون التحويل في مجال f )، إلى فضاء فرعي من M لا يحتوي على النقاط المزدوجة. وبالتالي، نصل سريعًا إلى الحالة التي لا يكون لـ M فيها حدود. في بعض الأحيان، يكون من المستحيل إزالة النقاط المزدوجة عن طريق التحويل - لنأخذ على سبيل المثال غمر الدائرة في المستوى على شكل الرقم 8. في هذه الحالة، نحتاج إلى إدخال نقطة مزدوجة محلية.

بمجرد الحصول على نقطتين مزدوجتين متقابلتين، يتم إنشاء حلقة مغلقة تربط بينهما، مما يعطي مسارًا مغلقًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$منذ ​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$بما أن ⁠ متصلة ببساطة ، يمكن افتراض أن هذا المسار يحد قرصًا، وبشرط أن يكون 2m > 4، يمكن افتراض (بموجب نظرية ويتني الضعيفة للتضمين ) أن القرص مضمن في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$بحيث يتقاطع مع صورة M فقط عند حدوده. ثم يستخدم ويتني القرص لإنشاء مجموعة من عمليات الغمر ذات مُعامل واحد ، دافعًا M فعليًاعبر القرص، ومزيلًا النقطتين المزدوجتين في هذه العملية. في حالة غمر الشكل 8 مع نقطته المزدوجة المُضافة، تكون حركة الدفع عبره بسيطة للغاية (كما هو موضح في الصورة).

تُسمى هذه العملية لإزالة النقاط المزدوجة ذات الإشارات المتعاكسة عن طريق دفع المشعب على طول قرص بخدعة ويتني .

ولإدخال نقطة مزدوجة محلية، ابتكرت ويتني تجارب غامرة .${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$وهي خطوط مستقيمة تقريبًا خارج كرة الوحدة، ولكنها تحتوي على نقطة مزدوجة واحدة. بالنسبة لـ m = 1، يُعطى هذا الغمر بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha$ :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}

لاحظ أنه إذا تم اعتبار α كدالة لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$هكذا :

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

عندئذٍ يمكن تحويل النقطة المزدوجة إلى تضمين:

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

لاحظ أن β( t , 0) = α( t ) و بالنسبة لـ a ≠ 0 ، فإن β( t , a ) كدالة لـ t هو تضمين.

بالنسبة للأبعاد الأعلى m ، توجد قيم α _m التي يمكن حلها بشكل مماثل في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$لإدراجه في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$على سبيل المثال ، حدد

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

تؤدي هذه العملية في النهاية إلى التعريف التالي:

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

أين

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

تتمثل الخصائص الرئيسية لـ α _m في أنها تمثيل مضمن باستثناء النقطة المزدوجة α _m (1, 0, ... , 0) = α _m (−1, 0, ... , 0) . علاوة على ذلك، عندما تكون قيمة |( t ₁ , ... , t _m ​​)| كبيرة، فإنها تُقارب التمثيل الخطي (0, t ₁ , 0, t ₂ , ... , 0, t _m ​​) .

استخدم ستيفن سميل خدعة ويتني لإثبات نظرية التماثل h ، والتي انبثقت منها حدسية بوانكاريه في الأبعاد m ≥ 5 ، وتصنيف البنى الملساء على الأقراص (أيضًا في الأبعاد 5 وما فوق). وهذا يُرسي الأساس لنظرية الجراحة ، التي تُصنِّف المتشعبات في الأبعاد 5 وما فوق.

بالنظر إلى اثنين من الفضاءات الفرعية الموجهة ذات الأبعاد التكميلية في فضاء متصل بسيط ذي أبعاد ≥ 5، يمكن للمرء تطبيق التماثل على أحد الفضاءات الفرعية بحيث تكون جميع نقاط التقاطع لها نفس الإشارة.

يمكن تعزيز النتائج بفرض قيود إضافية على المتشعب. على سبيل المثال، تندمج الكرة ذات البعد n دائمًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$–  وهو الأفضل الممكن (لا يمكن تضمين المشعبات المغلقة من الرتبة n في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أي سطح مضغوط قابل للتوجيه وأي سطح مضغوط ذي حدود غير فارغة مضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$على الرغم من أن أيسطح مغلق غير قابل للتوجيه يحتاج إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$⁠

إذا كانت N مشعبًا مضغوطًا قابلًا للتوجيه ذو n بُعد، فإن N يمكن تضمينه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$( عندما لا يكون n قوةً للعدد 2، يكون شرط التوجيه زائدًا). ​​أما عندما يكون n قوةً للعدد 2، فهذه نتيجةٌ توصل إليها أندريه هافليجر وموريس هيرش (عندما يكون n > 4 )، وفوكوان فانغ (عندما يكون n = 4 )؛ وقد استخدم هؤلاء المؤلفون نتائج أولية مهمة أثبتها جاك بوشات وهافليجر، وسيمون دونالدسون ، وهيرش، وويليام إس. ماسي . ^{[ 4 ]} أثبت هافليجر أنه إذا كانت N مشعبًا مضغوطًا n- بعديًا k- متصلة ، فإن N تُضمَّن في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$بشرط أن يكون 2k + 3 ≤ n . ^{[ 4 ]}