الاتصال المتماثل

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ خاصية الاتصال المتماثل خاصيةً تصف الفضاء الطوبولوجي بناءً على بُعد ثقوبه. وبشكل عام، يشير انخفاض الاتصال المتماثل إلى أن الفضاء يحتوي على ثقب واحد على الأقل منخفض البُعد. ويُعمّم مفهوم الاتصال من الرتبة n مفهومي الاتصال المساري والاتصال البسيط .

يعتمد تعريف مكافئ للاتصال المتماثل على مجموعات التماثل للفضاء. يُقال عن الفضاء أنه متصل من الرتبة n (أو متصل بسيط من الرتبة n ) إذا كانت مجموعات التماثل الأولى n فيه تافهة.

يتم تعريف الاتصال المتجانس للخرائط أيضًا. تكون الخريطة متصلة من الدرجة n إذا كانت تماثلًا "حتى البعد n، في التجانس ".

التعريف باستخدام الثقوب

جميع التعريفات أدناه تأخذ في الاعتبار الفضاء الطوبولوجي X.

الثقب في X ، بشكل غير رسمي، هو شيء يمنع كرة موضوعة بشكل مناسب من الانكماش باستمرار إلى نقطة. ^[¹^]^:⁷⁸ وبصورة مكافئة، هو كرة لا يمكن تمديدها باستمرار لتصبح كرة كاملة . رسميًا،

الكرة ذات البعد d في X هي دالة متصلة $f_{d}:S^{d}\to X$ .
الكرة ذات البعد d في X هي دالة متصلة $g_{d}:B^{d}\to X$ .
الثقب الحدودي ذو البعد d في X هو كرة ذات بعد d غير متماثلة صفريًا (أي لا يمكن تقليصها بشكل مستمر إلى نقطة). وبصورة مكافئة، هي كرة ذات بعد d لا يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى كرة ذات بعد ( d +1). ويُطلق عليها أحيانًا اسم ثقب ذي بعد ( d +1) ( حيث d +1 هو بُعد "الكرة المفقودة").
يُطلق على X اسم مجموعة متصلة من الرتبة n إذا لم تحتوي على أي ثقوب ذات بُعد حدودي d ≤ n . ^{[ 1 ]}^{: 78، القسم 4.3}
الاتصال المتماثل لـ X ، المشار إليه بـ ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ ، هو أكبر عدد صحيح n الذي يكون فيه X متصلاً من الدرجة n .
يُعرَّف الاتصال، بتعريف مختلف قليلاً يُبسِّط بعض العمليات الحسابية، بأنه: أصغر عدد صحيح d بحيث يحتوي X على ثقب ذي بُعد d . ويُرمز إلى مُعامل الاتصال هذا بـ $\eta _{\pi }(X)$ وهو يختلف عن المعامل السابق بمقدار 2، أي $\eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2$ [ ²^]

أمثلة

الثقب ثنائي الأبعاد (ثقب ذو حدود أحادية البعد) هو دائرة (S ¹ ) في الفضاء الطوبولوجي X ، لا يمكن تقليصها بشكل متصل إلى نقطة في X. يوضح الشكل على اليمين مثالًا على ذلك. المنطقة الصفراء هي الفضاء الطوبولوجي X ؛ وهي عبارة عن شكل خماسي تم إزالة مثلث منه. الدائرة الزرقاء هي كرة أحادية البعد في X. لا يمكن تقليصها بشكل متصل إلى نقطة في X؛ لذلك، يحتوي X على ثقب ثنائي الأبعاد. مثال آخر هو المستوى المثقوب - المستوى الإقليدي الذي تمت إزالة نقطة واحدة منه. $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ لإنشاء ثقب ثنائي الأبعاد في كرة ثلاثية الأبعاد، يُنشأ نفق عبرها. ^{[ 1 ]} بشكل عام، يحتوي الفضاء على ثقب حدودي أحادي البعد إذا وفقط إذا لم يكن متصلاً ببساطة . وبالتالي، فإن الاتصال البسيط يكافئ الاتصال الأحادي. X متصل صفريًا ولكنه ليس متصلاً أحاديًا، لذا ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ أصغر بُعد للثقب هو 2، لذا $\eta _{\pi }(X)=2$ .
ثقب ثلاثي الأبعاد.
يُظهر الشكل على اليمين ثقبًا ثلاثي الأبعاد (ثقبًا بحدود ثنائية الأبعاد). هنا، X عبارة عن مكعب (أصفر) أُزيلت منه كرة (بيضاء). لا يمكن تقليص الكرة ثنائية الأبعاد (الزرقاء) بشكل مستمر إلى نقطة واحدة. X متصل ببساطة ولكنه ليس متصلًا من الدرجة الثانية، لذا ${\text{conn}}_{\pi }(X)=1$ أصغر بُعد للثقب هو 3، لذا $\eta _{\pi }(X)=3$ .

بالنسبة للثقب أحادي البعد (ثقب ذو حدود صفرية الأبعاد)، نحتاج إلى مراعاة $S^{0}$ - الكرة ذات البعد الصفري. ما هي الكرة ذات البعد الصفري؟ - لكل عدد صحيح d ، الكرة $S^{d}$ يمثل حدود الكرة ذات الأبعاد ( d + 1) $B^{d+1}$ . لذا $S^{0}$ هي حدود $B^{1}$ وهو الجزء [0,1]. لذلك، $S^{0}$ هي مجموعة النقطتين المنفصلتين {0، 1}. الكرة الصفرية الأبعاد في X هي ببساطة مجموعة نقطتين في X. إذا وُجدت مثل هذه المجموعة، التي لا يمكن تقليصها بشكل مستمر إلى نقطة واحدة في X (أو تمديدها بشكل مستمر إلى قطعة مستقيمة في X )، فهذا يعني أنه لا يوجد مسار بين النقطتين، أي أن X غير متصلة مساريًا ؛ انظر الشكل على اليمين. بالتالي، الاتصال المساري مكافئ للاتصال الصفري. X غير متصلة صفريًا، لذا ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-1$ أصغر بُعد للثقب هو 1، لذا $\eta _{\pi }(X)=1$ .
الثقب ذو البعد الصفري هو كرة مفقودة ذات بعد صفري. الكرة ذات البعد الصفري هي نقطة واحدة؛ حدودها $S^{-1}$ هي مجموعة فارغة. لذلك، فإن وجود ثقب ذي بُعد صفري يُكافئ كون الفضاء فارغًا. ومن ثم، فإن عدم الفراغ يُكافئ الاتصال من الدرجة (-1). بالنسبة للفضاء الفارغ X ، ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-2$ و $\eta _{\pi }(X)=0$ ، وهي أصغر قيمة ممكنة لها.
الكرة لا تحتوي على أي ثقوب من أي بُعد. لذلك، فإن اتصالها لانهائي: $\eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty$ .

الاتصال المتماثل للكرات

بشكل عام، لكل عدد صحيح d ، ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1$ (و $\eta _{\pi }(S^{d})=d+1$ ) ^{[ 1 ]}^{: 79، نظرية 4.3.2} يتطلب البرهان اتجاهين:

إثبات ذلك ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d$ ، إنه، $S^{d}$ لا يمكن تقليصها باستمرار إلى نقطة واحدة. ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية بورزوك-أولام .
إثبات ذلك ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1$ أي، أي، كل خريطة متصلة $S^{k}\to S^{d}$ ل $k<d$ يمكن تقليصها باستمرار إلى نقطة واحدة.

التعريف باستخدام المجموعات

يُطلق على الفضاء X اسم n- متصلة ، لـ n ≥ 0، إذا كانت غير فارغة، وكانت جميع مجموعات التماثل الخاصة بها من الرتبة d ≤ n هي المجموعة التافهة : $\pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,$ أين $\pi _{i}(X)$ يرمز إلى مجموعة التماثل من الرتبة i ، ويرمز 0 إلى المجموعة التافهة. ^[³^] التعريفان متكافئان. يتكون شرط الفضاء المتصل من الرتبة n من شروط لجميع قيم d ≤ n :

الشرط d = -1 يعني أن X يجب أن تكون غير فارغة.
الشرط d = 0 يعني أن X يجب أن يكون متصلاً بالمسار.
يشترط الشرط d ≥ 1 أن تكون X خالية من أي ثقوب ذات بُعد حدودي d . أي أن كل كرة ذات بُعد d في X متماثلة مع دالة ثابتة. وبالتالي، فإن زمرة التماثل من الرتبة d لـ X تافهة. وينطبق العكس أيضًا: إذا كانت X تحتوي على ثقب ذي بُعد حدودي d ، فستكون هناك كرة ذات بُعد d غير متماثلة مع دالة ثابتة، لذا فإن زمرة التماثل من الرتبة d لـ X ليست تافهة. باختصار، تحتوي X على ثقب ذي بُعد حدودي d ، إذا وفقط إذا $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ الاتصال المتجانس لـ X هو أكبر عدد صحيح n الذي يكون فيه X متصلاً من الدرجة n . ^{[ 4 ]}

يمكن تفسير شرطي عدم الفراغ والترابط المساري على أنهما ترابط من الدرجة (-1) وترابط من الدرجة 0 على التوالي، وهو ما يُفيد في تعريف الخرائط المترابطة من الدرجة 0 والخرائط المترابطة من الدرجة 1، كما يلي. ويمكن تعريف مجموعة التماثل الصفرية على النحو التالي:

\pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].

هذه مجموعة مُشار إليها فقط ، وليست زمرة، إلا إذا كانت X نفسها زمرة طوبولوجية ؛ النقطة المميزة هي فئة التطبيق التافه الذي يُرسل S₀ إلى نقطة الأساس لـ X. باستخدام هذه المجموعة، يكون الفضاء متصلًا ^من الرتبة صفر إذا وفقط إذا كانت مجموعة التماثل الصفرية هي مجموعة النقطة الواحدة. يتطلب تعريف زمر التماثل وهذه المجموعة أن تكون X مُشار إليها (أي لها نقطة أساس مُختارة)، وهو ما لا يمكن تحقيقه إذا كانت X فارغة.

تكون الفضاءات الطوبولوجية X متصلة مساريًا إذا وفقط إذا _كانت زمرة التماثل الصفرية لها تتلاشى بشكل مطابق، لأن الاتصال المساري يعني أنه يمكن ربط أي نقطتين x1 و x2 في X بمسار متصل يبدأ من x1 وينتهي في _x2_، وهو ما يكافئ القول بأن كل تطبيق من S0 ( مجموعة منفصلة من نقطتين) إلى X يمكن تحويله بشكل متصل إلى تطبيق ثابت. وبناءً _على هذا التعريف، يمكننا تعريف X على أنه متصل من الرتبة ⁿإذا وفقط إذا

\pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.

أمثلة

تكون المساحة X متصلة من النوع (−1) إذا وفقط إذا كانت غير فارغة.
تكون المساحة X متصلة من الدرجة 0 إذا وفقط إذا كانت غير فارغة ومتصلة بالمسار .
تكون المساحة متصلة من الدرجة الأولى إذا وفقط إذا كانت متصلة ببساطة .
الكرة ذات البعد n متصلة من الدرجة ( n - 1).

خريطة متصلة من الرتبة n

المفهوم النسبي المقابل للمفهوم المطلق للفضاء المتصل من الرتبة n هو تطبيق متصل من الرتبة n ، والذي يُعرَّف بأنه تطبيق يكون ليف التماثل Ff الخاص به فضاءً متصلاً من الرتبة ( n - 1). من حيث مجموعات التماثل، يعني هذا أن التطبيق $f\colon X\to Y$ تكون متصلة من الدرجة n إذا وفقط إذا:

$\pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)$ هو تماثل لـ $i<n$ ، و
$\pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)$ هو تطبيق شامل.

الشرط الأخير غالباً ما يكون مُربكاً؛ وذلك لأن تلاشي مجموعة التماثل ( n − 1) للألياف التماثلية Ff يُقابل إسقاطاً شاملاً على مجموعات ^{التماثل}n في التسلسل الدقيق

\pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).

إذا كانت المجموعة على اليمين $\pi _{n-1}(Ff)$ إذا اختفى، فإن الخريطة الموجودة على اليسار هي خريطة شاملة.

أمثلة منخفضة الأبعاد:

الخريطة المتصلة (الخريطة المتصلة من الدرجة 0) هي خريطة تقع على مكونات المسار (مجموعة التماثل من الدرجة 0)؛ وهذا يتوافق مع كون ألياف التماثل غير فارغة.
الخريطة المتصلة ببساطة (الخريطة المتصلة 1) هي خريطة متماثلة على مكونات المسار (مجموعة التماثل الصفرية) وعلى المجموعة الأساسية (مجموعة التماثل الأولى).

يمكن تعريف الاتصال من الرتبة n للفضاءات بدورها من حيث الاتصال من الرتبة n للتطبيقات: الفضاء X ذو نقطة الأساس x ₀ هو فضاء متصل من الرتبة n إذا وفقط إذا كان تضمين نقطة الأساس $x_{0}\hookrightarrow X$ هي دالة متصلة من الرتبة n . مجموعة النقاط المفردة قابلة للانكماش، لذا فإن جميع مجموعات التماثل الخاصة بها تتلاشى، وبالتالي فإن "التماثل تحت n وعلى عند n " يتوافق مع تلاشي أول n مجموعة تماثل لـ X.

تفسير

هذا مفيد لمجموعة فرعية: تضمين متصل من الرتبة n $A\hookrightarrow X$ هو واحد بحيث يمكن تحويل التماثلات في الفضاء الأكبر X إلى تماثلات في المجموعة الفرعية A حتى البعد n − 1 .

على سبيل المثال، بالنسبة لخريطة التضمين $A\hookrightarrow X$ لكي يكون متصلاً من الدرجة الأولى، يجب أن يكون:

على $\pi _{0}(X),$
جلسة فردية على $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),$ و
على $\pi _{1}(X).$

جلسة فردية $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)$ يعني ذلك أنه إذا كان هناك مسار يربط بين نقطتين $a,b\in A$ بالمرور عبر X، يوجد مسار في A يربط بينهما، بينما على $\pi _{1}(X)$ هذا يعني أن المسار في X متماثل في الواقع مع المسار في A.

بمعنى آخر، دالة متماثلة على $\pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)$ يشير فقط إلى أن أي عناصر من $\pi _{n-1}(A)$ إن العناصر المتماثلة في X تكون متماثلة تجريديًا في A - قد لا تكون التماثلية في A مرتبطة بالتماثلية في X - بينما تكون متصلة من الرتبة n (وبالتالي شاملة أيضًا). $\pi _{n}(X)$ ) يعني أنه (حتى البعد n − 1) يمكن دفع التماثلات في X إلى التماثلات في A.

وهذا يعطي تفسيراً أكثر واقعية لفائدة تعريف الاتصال من الرتبة n : على سبيل المثال، الفضاء الذي يكون فيه تضمين الهيكل العظمي k متصلاً من الرتبة n (لـ n > k ) - مثل تضمين نقطة في الكرة n - له الخاصية التي تتمثل في أن أي خلايا في الأبعاد بين k و n لا تؤثر على أنواع التماثل ذات الأبعاد الأقل.

الحدود الدنيا

تتطلب العديد من البراهين الطوبولوجية حدودًا دنيا للاتصال المتماثل. وهناك عدة "وصفات" لإثبات هذه الحدود الدنيا.

التشابه

تربط نظرية هوريفيتش بين الاتصال المتماثل ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ إلى الاتصال المتماثل ، المشار إليه بـ ${\text{conn}}_{H}(X)$ وهذا مفيد لحساب الاتصال المتجانس، حيث يمكن حساب المجموعات المتجانسة بسهولة أكبر.

لنفترض أولاً أن X متصل ببساطة، أي ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ . يترك $n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2$ ؛ لذا $\pi _{i}(X)=0$ للجميع $i<n$ ، و $\pi _{n}(X)\neq 0$ تنص نظرية هوريفيتش ^{[ 5 ]}^{: 366، النظرية 4.32} ، على أنه في هذه الحالة، ${\tilde {H_{i}}}(X)=0$ للجميع $i<n$ ، و ${\tilde {H_{n}}}(X)$ متماثل مع $\pi _{n}(X)$ ، لذا ${\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0$ أيضًا. لذلك: ${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).$ إذا لم تكن X متصلة ببساطة ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$ )، ثم ${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$ لا يزال الأمر قائماً. عندما ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1$ هذا أمر تافه. عندما ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ (إذن X متصلة مسارياً ولكنها ليست متصلة ببساطة)، يجب إثبات ذلك. ${\tilde {H_{0}}}(X)=0$ .

قد يكون عدم المساواة صارمًا: فهناك مساحات يكون فيها ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ لكن ${\text{conn}}_{H}(X)=\infty$ [ ⁶^]

بحسب التعريف، تعتمد مجموعة التماثل من الرتبة k لمركب تبسيطي فقط على التبسيطات ذات البعد k +1 على الأكثر (انظر التماثل التبسيطي ). لذلك، تشير النظرية أعلاه إلى أن المركب التبسيطي K يكون متصلاً من الرتبة k إذا وفقط إذا كان هيكله ذو البعد ( k +1) (المجموعة الجزئية من K التي تحتوي فقط على تبسيطات ذات بعد k +1 على الأكثر) متصلاً من الرتبة k . ^[¹^]^:^80،^{الخاصية 4.4.2}

ينضم

ليكن K و L مجمعين خلويين غير فارغين . ويُرمز عادةً إلى وصلهما بـ $K*L$ ثم: ^{[ 1 ]}^{: 81، الاقتراح 4.4.3} ${\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.$

تصبح المتطابقة أبسط باستخدام رمز إيتا: $\eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).$ على سبيل المثال، لنفترض $K=L=S^{0}=$ مجموعة من نقطتين منفصلتين. يوجد ثقب أحادي البعد بين النقطتين، لذا فإن قيمة إيتا تساوي 1. الوصلة $K*L$ مربع، وهو متماثل شكليًا مع دائرة، لذا فإن إيتا الخاص به يساوي 2. وصل هذا المربع بنسخة ثالثة من K هو ثماني السطوح ، وهو متماثل شكليًا مع $S^{2}$ ، وقيمتها η هي 3. بشكل عام، ضم n نسخة من $S^{0}$ متماثل الشكل مع $S^{n-1}$ وقيمتها η هي n .

يستند البرهان العام إلى صيغة مماثلة للاتصال المتجانس.

العصب

ليكن K ₁ ,..., K _n مجمعات تبسيطية مجردة ، ونرمز إلى اتحادها بـ K.

لنرمز إلى مجموعة الأعصاب { K ₁ , ... , K _n } (المجموعة المجردة التي تسجل نمط التقاطع لـ K _i ) بواسطة N .

إذا، لكل غير فارغ $J\subset I$ ، التقاطع ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ إما أن تكون فارغة أو متصلة ( k − | J |+1)، ثم لكل j ≤ k ، فإن مجموعة التماثل j لـ N متماثلة مع مجموعة التماثل j لـ K.

على وجه الخصوص، تكون N متصلة من الدرجة k إذا وفقط إذا كانت K متصلة من الدرجة k . ^{[ 7 ]}^{: نظرية 6}

مبدأ التماثل

في الطوبولوجيا الهندسية ، الحالات التي يتم فيها تضمين فضاء محدد هندسيًا، مثل فضاء الغمر $M\to N,$ إلى فضاء طوبولوجي أكثر عمومية، مثل فضاء جميع الخرائط المتصلة بين فضاءين مرتبطين $X(M)\to X(N),$ يُقال إن المجموعات المتصلة من الرتبة n تحقق مبدأ التماثل أو "مبدأ h". وهناك عدد من التقنيات العامة الفعالة لإثبات مبادئ h.

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 4 5 6 ماتوشيك، جيري (2007). استخدام نظرية بورزوك-أولام : محاضرات في الأساليب الطوبولوجية في التوافقية والهندسة ( الطبعة الثانية). برلين-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-00362-5كُتب بالتعاون مع أندرس بيورنر وغونتر إم. زيغلرالقسم 4.3
↑ أهاروني، رون؛ بيرغر، إيلي (2006). "تقاطع الماترويد والمركب التبسيطي" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 358 (11): 4895-4917 . doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .
↑ "الفضاء المتصل من الرتبة n في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-09-2017 .
↑ فريك، فلوريان؛ سوبرون، بابلو (2020-05-11). "مسألة تفربرغ الطوبولوجية ما وراء القوى الأولية". arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].
↑ هاتشر، ألين (2001)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-79160-1
↑ انظر المثال 2.38 في كتاب هاتشر. انظر أيضًا هذه الإجابة .
↑ بيورنر، أندرس (1 أبريل 2003). "الأعصاب والألياف ومجموعات التماثل" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 102 (1): 88-93 . doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

[:03-1] 1 2 3 4 5 6 ماتوشيك، جيري (2007). استخدام نظرية بورزوك-أولام : محاضرات في الأساليب الطوبولوجية في التوافقية والهندسة ( الطبعة الثانية). برلين-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-00362-5كُتب بالتعاون مع أندرس بيورنر وغونتر إم. زيغلرالقسم 4.3

[2] أهاروني، رون؛ بيرغر، إيلي (2006). "تقاطع الماترويد والمركب التبسيطي" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 358 (11): 4895-4917 . doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .

[3] "الفضاء المتصل من الرتبة n في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-09-2017 .

[4] فريك، فلوريان؛ سوبرون، بابلو (2020-05-11). "مسألة تفربرغ الطوبولوجية ما وراء القوى الأولية". arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].

[hatcher-5] هاتشر، ألين (2001)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-79160-1

[6] انظر المثال 2.38 في كتاب هاتشر. انظر أيضًا هذه الإجابة .

[7] بيورنر، أندرس (1 أبريل 2003). "الأعصاب والألياف ومجموعات التماثل" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 102 (1): 88-93 . doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

2

[

[ 4 ]

[ 5 ]

6

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗