مجموعة مدببة

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 17 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المجموعة المُشار إليها [ 1 ] [ 2 ] (وتُسمى أيضًا المجموعة الأساسية [ 1 ] أو المجموعة الجذرية [ 3 ] ) هي زوج مرتب(X،x0){\displaystyle (X,x_{0})}أينX{\displaystyle X}هي مجموعة وx0{\displaystyle x_{0}}هو عنصر منX{\displaystyle X}تُسمى نقطة الأساس [ 2 ] (وتُكتب أيضًا نقطة الأساس ). [ 4 ] : ​​10-11

خريطة بين مجموعات مُشار إليها(X،x0){\displaystyle (X,x_{0})}و(Y،y0){\displaystyle (Y,y_{0})}تُسمى هذه الدالة بالخريطة الأساسية ، [ 5 ] أو الخريطة المُشار إليها ، [ 4 ] أو الخريطة الحافظة للنقاط، [ 6 ] وهي دالة منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}التي تربط نقطة أساسية بأخرى، أي خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}بحيث​و(x0)=y0{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}. يُشار عادةً إلى الخريطة الأساسية بـ ⁠و:(X،x0)→(Y،y0){\displaystyle f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})}⁠ .

المجموعات المُشار إليها هي هياكل جبرية بسيطة للغاية . في سياق الجبر الشامل ، تُعرَّف المجموعة المُشار إليها بأنها مجموعةX{\displaystyle X}بالإضافة إلى عملية إلغاء واحدة*:X0→X{\displaystyle *:X^{0}\to X}[ أ ] الذي يحدد نقطة الأساس.[ 7 ] الدوال الموجهة هي تشاكلات هذه البنى الجبرية .

تُشكّل فئة جميع المجموعات المُشار إليها، بالإضافة إلى فئة جميع الخرائط الأساسية، فئةً واحدة . يمكن تحويل أي مجموعة مُشار إليها إلى مجموعة عادية عن طريق نسيان نقطة الأساس (الدالة النسيانية أمينة ) ، ولكن العكس غير صحيح. [ 8 ] : 44 وعلى وجه الخصوص، لا يمكن الإشارة إلى المجموعة الفارغة ، لأنها لا تحتوي على أي عنصر يمكن اختياره كنقطة أساس. [ 9 ]

الخصائص الفئوية

تُكافئ فئة المجموعات المُشار إليها والخرائط الأساسية فئة المجموعات والدوال الجزئية . [ 6 ] تعمل نقطة الأساس كقيمة افتراضية للوسائط التي لا تُعرَّف لها الدالة الجزئية. ويشير أحد الكتب الدراسية إلى أن "هذا الإكمال الرسمي للمجموعات والخرائط الجزئية بإضافة عناصر "غير مناسبة" و"لا نهائية" قد أُعيد ابتكاره مرات عديدة، لا سيما في علم الطوبولوجيا ( التكثيف بنقطة واحدة ) وفي علوم الحاسوب النظرية . " [ 10 ] هذه الفئة متماثلة أيضًا مع فئة شريحة التمام (1↓Sهـت{\displaystyle \mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set} }حيث​1{\displaystyle \mathbf {1} }هي (دالة تحدد) مجموعة أحادية، وSهـت{\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}(دالة التطابق لـ) فئة المجموعات . [ 8 ] : 46 [ 11 ] يتطابق هذا مع التوصيف الجبري، نظرًا لأن التطبيق الوحيد1→1{\displaystyle \mathbf {1} \to \mathbf {1} }يمدد المثلثات التبادلية التي تحدد الأسهم الخاصة بفئة القطع التمام لتشكيل المربعات التبادلية التي تحدد التشاكلات الجبرية.

يوجد دالة أمينة من المجموعات المدببة إلى المجموعات العادية، لكنها ليست كاملة وهذه الفئات ليست متكافئة . [ 8 ]

فئة المجموعات ذات النقاط هي فئة ذات نقاط . مجموعات المفردات ذات النقاط({أ}،أ){\displaystyle (\{a\},a)}هي كائنات ابتدائية ونهايات في آنٍ واحد ، [ 1 ] أي أنها كائنات صفرية . [ 4 ] : ​​226 تحتوي فئة المجموعات المُشار إليها والخرائط المُشار إليها على كلٍ من المنتجات والمنتجات المشتركة ، لكنها ليست فئة توزيعية . وهي أيضًا مثال على فئة حيث0×أ{\displaystyle 0\times A}ليس متماثلاً مع ⁠0{\displaystyle 0}[ 9 ]​​

التطبيقات

تعتمد العديد من البنى الجبرية على نقطة مميزة. على سبيل المثال، تُعتبر الزمر مجموعات مُشار إليها باختيار عنصر المحايد كنقطة أساسية، بحيث تكون تشاكلات الزمر دوالًا تحافظ على النقاط. [ 12 ] : 24 ويمكن إعادة صياغة هذه الملاحظة بمصطلحات نظرية الفئات على أنها وجود دالة نسيان من الزمر إلى المجموعات المُشار إليها. [ 12 ] : 582

يمكن اعتبار المجموعة المدببة فضاءً مدبباً في ظل الطوبولوجيا المنفصلة أو فضاءً متجهياً فوق الحقل بعنصر واحد . [ 13 ]

باعتبارها "مجموعة جذرية"، يظهر المفهوم بشكل طبيعي في دراسة الأضداد الماترويدية [ 3 ] ومتعددات الوجوه النقلية. [ 14 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يشير الرمز X 0 إلى القوة الديكارتية الصفريةللمجموعة X ، وهي مجموعة مكونة من عنصر واحد تحتوي على المجموعة الفارغة.

مراجع

  1. 1 2 3 ماك  لين 1998 .
  2. 1 2 غريغوري بيروي (2010). مقدمة في علم التماثل لغالوا وتطبيقاته . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  377. مطبعة جامعة كامبريدج. ص  34. ISBN 978-0-521-73866-8. Zbl 1207.12003 . 
  3. 1 2 كورتي, بيرنهارد ; الأماكن القريبة : شريدر ، راينر (1991)، Greedoids والخوارزميات والتوافقيات، المجلد. 4، نيويورك، برلين: Springer-Verlag ، الفصل 3، ISBN  3-540-18190-3، Zbl 0733.05023 
  4. 1 2 3 جوزيف روتمان (2008). مقدمة في الجبر التماثلي ( الطبعة الثانية). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN  978-0-387-68324-9.
  5. ^ ماوندر، CRF (1996)، الطوبولوجيا الجبرية ، دوفر، ص. 31، ردمك  978-0-486-69131-2.
  6. 1 2 شرودر 2001 .
  7. ↑ ساوندرز ماك لين ؛ غاريت بيركوف (1999) [1988]. الجبر ( الطبعة الثالثة). الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 497. ISBN   978-0-8218-1646-2.
  8. 1 2 3 ج. أدامك، هـ. هيرليش، ج. ستيكر، (18 يناير 2005) الفئات المجردة والملموسة - متعة القطط
  9. 1 2 Lawvere & Schanuel 2009 .
  10. ↑ نيل كوبليتز؛ ب. زيلبر؛ يو. آي. مانين (2009). دورة في المنطق الرياضي للرياضيين . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 290. ISBN  978-1-4419-0615-1.
  11. ↑ فرانسيس بورسو؛ دومينيك بورن (2004). فئات مالسيف، والفئات الأولية، والفئات المتجانسة، والفئات شبه الأبيلية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 131. ISBN  978-1-4020-1961-6.
  12. 1 2 باولو ألوفي (2009). الجبر: الفصل 0. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-4781-7.
  13. ↑ هاران، إم جيه شاي (2007)، "الهندسة غير الجمعية" (ملف PDF) ، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 143 (3): 618-688 ، doi : 10.1112/S0010437X06002624 ، MR 2330442 في الصفحة  622، يكتب هاران: "نحن نعتبرF{\displaystyle \mathbb {F} }الفضاءات المتجهة كمجموعات منتهيةX{\displaystyle X}مع عنصر "صفر" مميز  ..."
  14. ↑ كلي، ف.؛ ويتزغال، س. (1970) [1968]. "أوجه ورؤوس متعددات وجوه النقل". في جورج برنارد دانتزيغ (محرر). رياضيات علوم القرار. الجزء 1. الجمعية الرياضية الأمريكية. ASIN B0020145L2 . OCLC 859802521 .  

للمزيد من القراءة