المنتج الديكارتي

من الأمثلة التوضيحية على ذلك مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 ورقة . تشكل رتب أوراق اللعب القياسية {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} مجموعة من 13 عنصرًا. أما رموز أوراق اللعب {♠, ♥ , ♦ , ♣ } فتشكل مجموعة من أربعة عناصر. ينتج عن الضرب الديكارتي لهاتين المجموعتين مجموعة من 52 عنصرًا تتكون من 52 زوجًا مرتبًا ، والتي تُقابل جميع أوراق اللعب الـ 52 الممكنة.

تُرجع الدالة Ranks × Suits مجموعة من الشكل {(A, ♠), (A, ♥ ), (A, ♦ ), (A,♣), (K,♠), ..., (3,♣), (2,♠), (2, ♥ ), (2, ♦ ), (2,♣)}.         

تُرجع الدالة Suits × Ranks مجموعة من الشكل {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

هاتان المجموعتان متميزتان، بل ومنفصلتان ، ولكن هناك تقابل طبيعي بينهما، حيث  يتوافق (3، ♣) مع (♣،  3) وهكذا.

يُعدّ المستوى الديكارتي في الهندسة التحليلية المثال التاريخي الرئيسي . ولتمثيل الأشكال الهندسية عدديًا، واستخلاص المعلومات العددية من تمثيلاتها العددية، خصّص رينيه ديكارت لكل نقطة في المستوى زوجًا من الأعداد الحقيقية ، يُطلق عليهما إحداثياتها . عادةً ما يُطلق على المكوّنين الأول والثاني من هذا الزوج إحداثيات س و ص على التوالي (انظر الشكل). مجموعة جميع هذه الأزواج (أي، حاصل الضرب الديكارتي)${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$، مع${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي، يتم تخصيص (التي تشير إلى الأعداد الحقيقية) لمجموعة جميع النقاط في المستوى. ^{[ 7 ]}

لتكن A و B و C مجموعات.

حاصل الضرب الديكارتي A × B ليس تبادليًا ، $${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$^{[ 4 ]} لأنالأزواج المرتبةتنعكس ما لم يتحقق شرط واحد على الأقل من الشروط التالية: ^{[ 8 ]}

• أ يساوي ب ، أو
• A أو B هي المجموعة الفارغة .

على سبيل المثال:

أ = {1، 2} ؛ ب = {3، 4}

أ × ب = {1،2} × {3،4} = {(1،3)، (1،4)، (2،3)، (2،4)}

ب × أ = {3،4} × {1،2} = {(3،1)، (3،2)، (4،1)، (4،2)}

أ = ب = {1،2}

أ × ب = ب × أ = {1،2} × {1،2} = {(1،1)، (1،2)، (2،1)، (2،2)}

أ = {1، 2}؛ ب = ∅

أ × ب = {1،2} × ∅ = ∅

ب × أ = ∅ × {1،2} = ∅

بالمعنى الدقيق للكلمة، فإن الضرب الديكارتي ليس تجميعيًا (إلا إذا كانت إحدى المجموعات المعنية فارغة). $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$ إذا كان على سبيل المثال A = {1} ، فإن ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

مجموعات الأمثلة

A = [1,4]، B = [2,5]، و C = [4,7]، مما يدل علىأ × ( ب ∩ ج )= (أ × ب) ∩ (أ × ج) ، أ × ( ب ∪ ج ) = (أ × ب) ∪ (أ × ج) ، و

أ × ( ب \ ج ) = (أ × ب) \ (أ × ج)

مجموعات الأمثلة

أ = [2، 5]، ب = [3، 7]، ج = [1، 3]، د = [2، 4]، مما يدل على

( أ ∩ ب ) × ( ج ∩ د )= (أ × ج) ∩ (ب × د) .

( أ ∪ ب ) × ( ج ∪ د )≠ (أ × ج) ∪ (ب × دويمكن ملاحظة ذلك من المثال نفسه.

يحقق الضرب الديكارتي الخاصية التالية فيما يتعلق بالتقاطعات (انظر الصورة الوسطى). $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

في معظم الحالات، لا تكون العبارة المذكورة أعلاه صحيحة إذا استبدلنا التقاطع بالاتحاد (انظر الصورة الموجودة في أقصى اليمين). $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

في الواقع، لدينا ذلك: $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

بالنسبة لفرق المجموعات، لدينا أيضاً المتطابقة التالية: $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

فيما يلي بعض القواعد التي توضح خاصية التوزيع مع عوامل التشغيل الأخرى (انظر الصورة الموجودة في أقصى اليسار): ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$ أين${\displaystyle A^{\complement }}$يشير إلى المتمم المطلق لـ A.

ومن الخصائص الأخرى المتعلقة بالمجموعات الفرعية ما يلي:

$${\displaystyle {\text{إذا كان }}A\subseteq B{\text{، فإن }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{إذا كان كل من }}A وB\neq \emptyset {\text{، فإن }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ و}}B\subseteq D.}$$^{[ 9 ]}

عدد عناصر المجموعة هو عدد عناصرها. على سبيل المثال، إذا عرّفنا مجموعتين: A = {a, b} و B = {5, 6} ، فإن كلًا من المجموعتين A و B تتكون من عنصرين. ينتج عن حاصل ضربهما الديكارتي، A × B ، مجموعة جديدة تحتوي على العناصر التالية:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)} .

حيث يُقرن كل عنصر من المجموعة A بكل عنصر من المجموعة B ، ويشكل كل زوج عنصرًا واحدًا من مجموعة المخرجات. عدد القيم في كل عنصر من عناصر المجموعة الناتجة يساوي عدد المجموعات التي يُجرى حساب حاصل ضربها الديكارتي؛ وهو 2 في هذه الحالة. عدد عناصر مجموعة المخرجات يساوي حاصل ضرب عدد عناصر جميع مجموعات المدخلات. أي،

| أ × ب | = | أ | · | ب | . ^{[ 4 ]}

في هذه الحالة، | أ × ب | = 4

بصورة مماثلة،

| أ × ب × ج | = | أ | · | ب | · | ج |

وهكذا دواليك.

تكون المجموعة A × B لانهائية إذا كانت A أو B لانهائية، والمجموعة الأخرى ليست مجموعة فارغة. ^{[ 10 ]}

يمكن تعميم الضرب الديكارتي إلى الضرب الديكارتي من الرتبة n على n مجموعة X1 ، _... ، Xn _{كمجموعة}$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{لكل}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

من الصفوف المكونة _من n عنصرًا . إذا عُرّفت الصفوف على أنها أزواج مرتبة متداخلة ، فيمكن تعريفها بـ ( X1 _× ... × Xn _{- 1} ) × Xn . إذا عُرّفت الصفة على أنها دالة على المجموعة {1، 2، ...، n } تأخذ قيمتها عند العنصر i لتكون العنصر i من الصفة، فإن حاصل الضرب الديكارتي X1 _× ... × _Xn هو مجموعة الدوال. $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

المربع الديكارتي لمجموعة X هو حاصل الضرب الديكارتي X² = X × X. مثال على ذلك هو المستوى ثنائي الأبعاد R² = R × R، ^حيث R هي مجموعة الأعداد الحقيقية : ^{[ 1 ]} R² هي مجموعة جميع النقاط ( x , y ⁾ حيث x و y أعداد حقيقية (انظر نظام ^{الإحداثيات} الديكارتية ) .

القوة النونية الديكارتية لمجموعة X ، ويرمز لها بـ${\displaystyle X^{n}}$يمكن تعريفها على النحو التالي: $${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

ومن الأمثلة على ذلك R ³ = R × R × R ، حيث R مرة أخرى هي مجموعة الأعداد الحقيقية، ^{[ 1 ]} وبشكل أكثر عمومية R ⁿ .

يمكن تعريف القوة الديكارتية النونية لمجموعة X بأنها مجموعة الدوال التي تربط عناصر X المكونة من n عنصرًا بمجموعة X. وكحالة خاصة، فإن القوة الديكارتية الصفرية لـ X هي مجموعة العناصر المفردة ، التي تحتوي على الدالة الفارغة التي يكون مجالها المقابل X هو عنصرها الوحيد.

لنفترض أن الضرب الديكارتي معطى ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$و${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$. ثم

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$، إذا وفقط إذا${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$للجميع${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$; ^{[ 11 ]}
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$وفي الوقت نفسه، إذا كان هناك واحد على الأقل${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$، ثم${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$; ^{[ 11 ]}
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$علاوة على ذلك، لا يمكن تحقيق المساواة إلا في الحالات التالية: ^{[ 12 ]}
   1. ${\displaystyle A\subseteq B}$أو${\displaystyle B\subseteq A}$؛
   2. للجميع${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$باستثناء واحد من${\displaystyle i}$.
4. مكمل الضرب الديكارتي${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$يمكن حسابها، ^{[ 12 ]} إذا تم تعريف الكون${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$لتبسيط التعبيرات، نقدم الرموز التالية. لنرمز إلى الضرب الديكارتي بمجموعة مرتبة محصورة بين قوسين مربعين؛ تتضمن هذه المجموعة المرتبة المجموعات التي يُشتق منها الضرب الديكارتي، على سبيل المثال:

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$.

في جبر n-tuple (NTA)، ^{[ 12 ]} يُطلق على هذا التمثيل الشبيه بالمصفوفة للضربات الديكارتية اسم Cn-tuple .

مع وضع هذا في الاعتبار، يمكن التعبير عن اتحاد بعض المنتجات الديكارتية المعطاة في نفس الكون كمصفوفة محاطة بأقواس مربعة، حيث تمثل الصفوف المنتجات الديكارتية المشاركة في الاتحاد:

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$.

يُطلق على هذا الهيكل اسم نظام C في NTA.

ثم متمم الضرب الديكارتي${\displaystyle A}$سيبدو النظام C كما يلي ، معبراً عنه كمصفوفة ذات بُعد${\displaystyle n\times n}$:

${\displaystyle A^{\complement }=\left[{\begin{array}{ccccc}A_{1}^{\complement }&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&A_{2}^{\complement }&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &A_{n-1}^{\complement }&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&A_{n}^{\complement }\end{array}}\right]}$.

المكونات القطرية لهذه المصفوفة${\displaystyle A_{i}^{\complement }}$متساوية تبعاً لـ${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$.

في NTA، نظام C قطري${\displaystyle A^{\complement }}$، الذي يمثل مكمل مجموعة Cn${\displaystyle A}$يمكن كتابة ذلك بإيجاز على شكل مجموعة من المكونات القطرية المحصورة بين قوسين مربعين معكوسين:

${\displaystyle A^{\complement }=]A_{1}^{\complement }\quad A_{2}^{\complement }\quad \dots \quad A_{n}^{\complement }[}$.

يُطلق على هذا التركيب اسم Dn-tuple . ثم يكون مكمل نظام C${\displaystyle R}$هو هيكل${\displaystyle R^{\complement }}$، ممثلة بمصفوفة من نفس البعد ومحاطة بأقواس مربعة معكوسة، حيث تكون جميع مكوناتها مساوية لمكملات مكونات المصفوفة الأولية${\displaystyle R}$يُطلق على هذا الهيكل اسم نظام D ، ويُحسب، عند الضرورة، كتقاطع للمجموعات Dn الموجودة فيه. على سبيل المثال، إذا كان لدينا نظام C التالي:

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$،

ثم سيكون مكمله هو النظام D

${\displaystyle R_{1}^{\complement }=\left]{\begin{array}{cccc}A_{1}^{\complement }&A_{2}^{\complement }&\dots &A_{n}^{\complement }\\B_{1}^{\complement }&B_{2}^{\complement }&\dots &B_{n}^{\complement }\end{array}}\right[}$.

لننظر في بعض العلاقات الجديدة للهياكل ذات الضرب الديكارتي التي تم الحصول عليها في عملية دراسة خصائص NTA. ^{[ 12 ]} تسمى الهياكل المعرفة في نفس الكون بالهياكل المتجانسة .

1. تقاطع الأنظمة C. افترض أن الأنظمة C المتجانسة معطاة${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$سينتج عن تقاطعها نظام C يحتوي على جميع التقاطعات غير الفارغة لكل مجموعة Cn من${\displaystyle P}$مع كل مجموعة Cn من${\displaystyle Q}$.
2. التحقق من تضمين مجموعة Cn في مجموعة Dn . بالنسبة لمجموعة Cn${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$والزوج Dn​ ${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$البشر${\displaystyle P\subseteq Q}$، إذا وفقط إذا، على الأقل بالنسبة لواحد${\displaystyle i}$البشر${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$.
3. التحقق من تضمين مجموعة Cn في نظام D. بالنسبة لمجموعة Cn${\displaystyle P}$والنظام D​${\displaystyle Q}$صحيح${\displaystyle P\subseteq Q}$، إذا وفقط إذا، لكل مجموعة Dn${\displaystyle Q_{i}}$من${\displaystyle Q}$البشر${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$.

من الممكن تعريف الضرب الديكارتي لمجموعة مفهرسة عشوائية (قد تكون لانهائية ) . إذا كانت I أي مجموعة مفهرسة ، و${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$إذا كانت عائلة من المجموعات المفهرسة بواسطة I ، فإن حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات في${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ أي أن مجموعة جميع الدوال المعرفة على مجموعة الفهارس I بحيث تكون قيمة الدالة عند فهرس معين i عنصرًا من X _i . حتى لو كانت كل مجموعة من مجموعات X _i غير فارغة، فقد يكون حاصل الضرب الديكارتي فارغًا إذا لم يُفترض بديهية الاختيار ، والتي تُكافئ القول بأن كل حاصل ضرب من هذا النوع غير فارغ.${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ويمكن الإشارة إليه أيضاً بـ${\displaystyle {\mathsf {X}}}$${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$[ ^{13 ]​}

لكل j في I ، الدالة $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$ محدد بواسطة${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$يُطلق عليها اسم خريطة الإسقاط رقم j .

القوة الديكارتية هي حاصل ضرب ديكارتي حيث تكون جميع العوامل Xᵢ _هي نفس المجموعة X. في هذه الحالة، $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$ هي مجموعة جميع الدوال من I إلى X ، ويُرمز لها غالبًا بـ X ^I. هذه الحالة مهمة في دراسة الأسس الأصلية . ومن الحالات الخاصة المهمة عندما تكون مجموعة المؤشرات${\displaystyle \mathbb {N} }$الأعداد الطبيعية : هذا الضرب الديكارتي هو مجموعة جميع المتتابعات اللانهائية التي يكون حدها i موجودًا في مجموعتها المقابلة X _i . على سبيل المثال، كل عنصر من $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$ يمكن تصورها كمتجه ذي مكونات عددية حقيقية لا نهائية قابلة للعد. يُشار إلى هذه المجموعة عادةً بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$، أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

إذا تم ضرب عدة مجموعات معًا (على سبيل المثال، X ₁ ، X ₂ ، X ₃ ، ... )، فإن بعض المؤلفين ^{[ 14 ]} يختارون اختصار الضرب الديكارتي ببساطة × X _i .

إذا كانت f دالة من X إلى A و g دالة من Y إلى B ، فإن حاصل ضربهما الديكارتي f × g هو دالة من X × Y إلى A × B بحيث $${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

يمكن توسيع هذا ليشمل المجموعات المرتبة والمجموعات اللانهائية من الدوال. وهذا يختلف عن الضرب الديكارتي القياسي للدوال التي تُعتبر مجموعات.

يترك${\displaystyle A}$كن مجموعة و${\displaystyle B\subseteq A}$ثم أسطوانة​${\displaystyle B}$بالنسبة إلى${\displaystyle A}$هو حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle B\times A}$ل${\displaystyle B}$و${\displaystyle A}$.

عادة،${\displaystyle A}$يُعتبر هذا هو عالم السياق ويتم استبعاده. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle B}$هي مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$ثم أسطوانة${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$.

على الرغم من أن الضرب الديكارتي يُطبق تقليديًا على المجموعات، فإن نظرية الفئات تُقدم تفسيرًا أكثر عمومية لضرب البنى الرياضية. يُعد الضرب أبسط مثال على الحد الفئوي، حيث تكون فئة الفهرسة منفصلة. وبما أن فئة المجموعات يُمكن تعريفها بالفئات المنفصلة وتضمينها بهذه الطريقة كفئة فرعية كاملة من${\displaystyle \operatorname {Cat} }$يمكن اختزال مخططات فهرسة المنتجات إلى فهرسة المجموعات التي تطابق التعريف النظري للمجموعات.

في نظرية المخططات ، يُعرف حاصل الضرب الديكارتي لمخططين G و H بالمخطط G × H ، الذي تكون مجموعة رؤوسه هي حاصل الضرب الديكارتي (العادي) V ( G ) × V ( H ) ، بحيث يكون الرأسان ( u , v ) و ( u ′, v ′) متجاورين في G × H ، إذا وفقط إذا كان u = u ′ و v متجاورًا مع v ′ في H ، أو v = v ′ و u متجاورًا مع u ′ في G. لا يُعد حاصل الضرب الديكارتي للمخططات حاصل ضرب بالمعنى المتعارف عليه في نظرية الفئات. بدلاً من ذلك، يُعرف حاصل الضرب الفئوي باسم حاصل الضرب الموتري للمخططات .