كثافة الموتر

على سبيل المثال، كثافة موتر من الرتبة الثانية المختلطة (الأصلية) ذات وزن${\displaystyle W}$يتحول إلى: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$    كثافة الموتر (الأصلية) ذات الوزن (الصحيح)${\displaystyle W}$)

أين${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$هي كثافة الموتر من الرتبة الثانية في${\displaystyle {\bar {x}}}$نظام الإحداثيات،${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$هي كثافة الموتر المحولة في${\displaystyle {x}}$نظام إحداثيات؛ ونستخدم محدد جاكوبي . ولأن المحدد قد يكون سالبًا، كما هو الحال في تحويل الإحداثيات الذي يعكس الاتجاه، فإن هذه الصيغة قابلة للتطبيق فقط عندما${\displaystyle W}$هو عدد صحيح. (مع ذلك، انظر كثافات الموترات الزوجية والفردية أدناه.)

نقول إن كثافة الموتر هي كثافة شبه موتر عندما يحدث انعكاس إضافي للإشارة تحت تحويل إحداثيات يعكس الاتجاه. كثافة شبه موتر مختلطة من الرتبة الثانية وزنها${\displaystyle W}$يتحول مع

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$    (كثافة الموتر الزائف للوزن (الصحيح)${\displaystyle W}$)

حيث sgn (${\displaystyle \cdot }$) هي دالة تُرجع +1 عندما يكون وسيطها موجبًا أو −1 عندما يكون وسيطها سالبًا.

تتميز التحويلات الخاصة بكثافات الموترات الزوجية والفردية بأنها محددة جيدًا حتى عندما${\displaystyle W}$ليس عددًا صحيحًا. وبالتالي يمكن للمرء أن يتحدث، على سبيل المثال، عن كثافة موتر فردية بوزن +2 أو كثافة موتر زوجية بوزن -1/2.

يتحول موتر الكثافة الزوجي كما يلي. على الرغم من أن الصيغة تعمل مع أي وزن حقيقي W ، إلا أن التسمية تنبع من كون التحويل مكافئًا لتحويل موتر الكثافة (الحقيقي) عندما يكون وزنه زوجيًا.

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$    (كثافة الوزن الموترية الزوجية)${\displaystyle W}$)

وبالمثل، يتحول موتر الكثافة الفردي كما يلي. على الرغم من أن الصيغة تعمل مع أي وزن حقيقي W ، إلا أن التسمية تنبع من كون التحويل مكافئًا لتحويل موتر الكثافة (الحقيقي) عندما يكون وزنه فرديًا.

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$    (كثافة وزن موتر فردي)${\displaystyle W}$)

يُطلق على كثافة الموتر من أي نوع ذات الوزن الصفري اسم الموتر المطلق . كما يُطلق على كثافة الموتر الحقيقية ذات الوزن الصفري، والتي هي أيضًا كثافة موتر زوجية ذات وزن صفري، اسم الموتر العادي .

إذا لم يتم تحديد وزن ولكن تم استخدام كلمة "نسبي" أو "كثافة" في سياق يتطلب وزنًا محددًا، فمن المفترض عادةً أن الوزن هو +1 .

1. التركيبة الخطية (المعروفة أيضًا باسم المجموع المرجح ) لكثافات الموترات من نفس النوع والوزن${\displaystyle W}$وهي مرة أخرى كثافة موتر من ذلك النوع والوزن.
2. حاصل ضرب كثافتين موتريتين من أي نوع، وبأوزان${\displaystyle W_{1}}$و${\displaystyle W_{2}}$، هي كثافة موتر الوزن${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$علاوة على ذلك، يكون حاصل ضرب كثافات الموترات الحقيقية وكثافات الموترات الزائفة كثافة موترات حقيقية عندما يكون عدد زوجي من العوامل كثافات موترات زائفة؛ ويكون كثافة موترات زائفة عندما يكون عدد فردي من العوامل كثافات موترات زائفة. وبالمثل، يكون حاصل ضرب كثافات الموترات الزوجية وكثافات الموترات الفردية كثافة موترات زوجية عندما يكون عدد زوجي من العوامل كثافات موترات فردية؛ ويكون كثافة موترات فردية عندما يكون عدد فردي من العوامل كثافات موترات فردية.
3. انكماش المؤشرات على كثافة موتر مع الوزن${\displaystyle W}$وينتج عن ذلك مرة أخرى كثافة موتر للوزن${\displaystyle W.}$^{[ 7 ]}
4. إن رفع وخفض المؤشرات باستخدام موتر القياس (وهو أصلي وزوجي ووزنه 0) يترك الوزن دون تغيير، ^{[ 8 ]} كما يمكن إثباته من خلال الجمع بين (2) و(3).

لو${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$هي مصفوفة غير منفردة وكثافة موتر من الرتبة الثانية ذات وزن${\displaystyle W}$إذا كانت المؤشرات متغايرة، فإن معكوس مصفوفتها سيكون كثافة موتر من الرتبة الثانية بوزن${\displaystyle -W}$مع مؤشرات متغايرة. تنطبق عبارات مماثلة عندما يكون المؤشران متغايرين أو مختلطين متغايرين ومتغايرين.

لو${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$هي كثافة موتر من الرتبة الثانية للوزن${\displaystyle W}$باستخدام المؤشرات المتغيرة، فإن محدد المصفوفة${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$سيكون له وزن${\displaystyle NW+2,}$أين${\displaystyle N}$هو عدد أبعاد الزمكان. إذا${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$هي كثافة موتر من الرتبة الثانية للوزن${\displaystyle W}$باستخدام المؤشرات المتغايرة، فإن محدد المصفوفة${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$سيكون له وزن${\displaystyle NW-2.}$ محدد المصفوفة${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$سيكون له وزن${\displaystyle NW.}$

أي موتر عادي غير منفرد${\displaystyle T_{\mu \nu }}$يتحول مع $${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

حيث يمكن اعتبار الطرف الأيمن بمثابة حاصل ضرب ثلاث مصفوفات. بأخذ محدد طرفي المعادلة (باستخدام حقيقة أن محدد حاصل ضرب المصفوفات هو حاصل ضرب المحددات)، ثم قسمة كلا الطرفين على${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$وبأخذ جذرها التربيعي نحصل على $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

عندما يكون الموتر${\displaystyle T}$هو موتر القياس ،${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$و${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$هو نظام إحداثيات قصوري محلي حيث${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$ diag(−1,+1,+1,+1)، مقياس مينكوفسكي ، ثم${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$ -1 وهكذا $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

أين${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$هو محدد موتر القياس${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

وبالتالي، كثافة موتر زوجية،${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$وزن${\displaystyle W}$، ويمكن كتابتها بالشكل $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

أين${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$هو موتر عادي. في نظام إحداثيات قصوري محلي، حيث${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$سيكون الأمر كما يلي:${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$و${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$سيتم تمثيلها بنفس الأرقام.

عند استخدام الاتصال المتري ( اتصال ليفي-سيفيتا )، يُعرَّف المشتق المتغير لكثافة موتر زوجية على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots$$ ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots  ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}

بالنسبة لأي اتصال، يتم تعريف المشتق المتغير بإضافة حد إضافي، وهو $${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$ إلى التعبير الذي سيكون مناسبًا للمشتق المتغير للموتر العادي.

وبالمثل، يتم اتباع قاعدة الضرب. $${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots$$ ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots  ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}

حيث، بالنسبة للاتصال المتري، يكون المشتق المتغير لأي دالة من${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$دائماً ما تكون قيمتها صفراً، $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda$$ ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}