الكثافة على مشعب

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة التفاضلية ، الكثافة هي كمية متغيرة مكانيًا على مشعب قابل للتفاضل ، ويمكن تكاملها بطريقة جوهرية. بصورة مجردة، الكثافة هي مقطع من حزمة خطية معينة ، تُسمى حزمة الكثافة . عنصر حزمة الكثافة عند النقطة x هو دالة تُحدد حجم متوازي السطوح الذي تشكله متجهات المماس n المعطاة عند x .

من الناحية العملية، الكثافة هي مجموعة من الدوال على مخططات إحداثية تُضرب بالقيمة المطلقة لمحدد جاكوبي عند تغيير الإحداثيات. يمكن تعميم الكثافات إلى كثافات من الرتبة s ، حيث تُضرب تمثيلاتها الإحداثية بالقوة s للقيمة المطلقة لمحدد جاكوبي. على مشعب موجه ، يمكن تعريف الكثافات من الرتبة 1 بشكل قانوني مع الأشكال من الرتبة n على M. أما على المشعبات غير الموجهة، فلا يمكن إجراء هذا التعريف، لأن حزمة الكثافة هي حاصل الضرب الموتري لحزمة التوجيه لـ M وحزمة الضرب الخارجي من الرتبة n لـ T ∗ M (انظر الموتر الزائف ).

الدافع (الكثافات في الفضاءات المتجهة)

بشكل عام، لا يوجد مفهوم طبيعي لـ "حجم" متوازي السطوح الناتج عن المتجهات v1 ، ...، vn في فضاء متجهي ذي n بُعد V. ومع ذلك، إذا رغبنا في تعريف دالة μ  : V × ... × V → R تُحدد حجمًا لأي متوازي سطوح من هذا القبيل، فيجب أن تُحقق الخصائص التالية:

  • إذا تم ضرب أي من المتجهات v k بـ λ ∈ R ، فيجب ضرب الحجم بـ | λ |.
  • إذا تمت إضافة أي تركيبة خطية من المتجهات v 1 ، ... ، v j −1 ، v j +1 ، ... ، v n إلى المتجه v j ، فيجب أن يظل الحجم ثابتًا.

تُكافئ هذه الشروط القول بأن μ مُعطى بواسطة مقياس ثابت تحت الإزاحة على V ، ويمكن إعادة صياغتها على النحو التالي:

μ(أv1،...،أvن)=|المحققأ|μ(v1،...،vن)،أ∈GL⁡(V).{\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}

أي تطبيق من هذا القبيل μ  : V × ... × V → R يُسمى كثافة على الفضاء المتجهي V. لاحظ أنه إذا كانت ( v1 , ..., vn ) أي أساس لـ V ، فإن تثبيت μ ( v1 , ..., vn ) سيؤدي إلى تثبيت μ بالكامل؛ ويترتب على ذلك أن مجموعة Vol( V ) لجميع الكثافات على V تُشكل فضاءً متجهيًا أحادي البعد. أي شكل تفاضلي من الرتبة n، ω ، على V يُعرّف كثافة | ω | على V كما يلي:

|ω|(v1،...،vن):=|ω(v1،...،vن)|.{\displaystyle |\أوميغا |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\أوميغا (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}

الاتجاهات على فضاء متجهي

مجموعة Or( V ) لجميع الدوال o  : V × ... × V → R التي تحقق

o(أv1،...،أvن)=لافتة⁡(المحققأ)o(v1،...،vن)،أ∈GL⁡(V){\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}

لوv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}مستقلة خطيًا وo(v1،...،vن)=0{\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}خلاف ذلك

يشكل فضاءً متجهيًا أحادي البعد، والتوجيه على V هو أحد العنصرين o ∈ Or( V ) بحيث يكون | o ( v1 , ..., vn ) | = 1 لأي ​​متجهات مستقلة خطيًا v1 , ... , vn . أي شكل تفاضلي n- غير صفري ω على V يُعرّف توجيهًا o ∈ Or( V ) بحيث

o(v1،...،vن)|ω|(v1،...،vن)=ω(v1،...،vن)،{\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\أوميغا |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\أوميغا (v_{1},\ldots ,v_{n}),}

وبالعكس، فإن أي عدد حقيقي موجب o ∈ Or( V ) وأي كثافة μ ∈ Vol( V ) تُعرّف شكلاً من الرتبة n، ω، على V كما يلي:

ω(v1،...،vن)=o(v1،...،vن)μ(v1،...،vن).{\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).}

فيما يتعلق بفضاءات حاصل الضرب الموتري ،

أو⁡(V)⊗المجلد⁡(V)=⋀نV*،المجلد⁡(V)=أو⁡(V)⊗⋀نV*.{\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}

كثافات s على فضاء متجهي

إن كثافات s على V هي دوال μ  : V × ... × V → R بحيث

μ(أv1،...،أvن)=|المحققأ|sμ(v1،...،vن)،أ∈GL⁡(V).{\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}

تمامًا مثل الكثافات، تُشكّل الكثافات من الرتبة s فضاءً متجهيًا أحادي البعد Vol s ( V )، وأي شكل تفاضلي من الرتبة n، ω ، على V يُعرّف كثافة من الرتبة s ، | ω | s، على V بواسطة

|ω|s(v1،...،vن):=|ω(v1،...،vن)|s.{\displaystyle |\أوميغا |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\أوميغا (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.}

يشكل حاصل ضرب كثافتي s1 و s2 ، أي μ1 و μ2 ، كثافة ( s1 + s2 ) μ .

μ(v1،...،vن):=μ1(v1،...،vن)μ2(v1،...،vن).{\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}

فيما يتعلق بفضاءات حاصل الضرب الموتري، يمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:

المجلدs1⁡(V)⊗المجلدs2⁡(V)=المجلدs1+s2⁡(V).{\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}

تعريف

بصورة رسمية، يتم الحصول على حزمة الكثافة s، Vol s ( M ) لمتشعب قابل للتفاضل M ، من خلال بناء حزمة مرتبط ، يدمج تمثيل المجموعة أحادي البعد

ρ(أ)=|المحققأ|-s،أ∈GL⁡(ن){\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}

من المجموعة الخطية العامة مع حزمة الإطار لـ M.

تُعرف حزمة الخطوط الناتجة باسم حزمة الكثافات s ، ويُرمز لها بـ

|Λ|مs=|Λ|s(تيم).{\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}

يُشار إلى الكثافة من الدرجة 1 أيضًا ببساطة باسم الكثافة.

وبشكل عام ، يسمح بناء الحزمة المرتبطة أيضًا بإنشاء الكثافات من أي حزمة متجهة E على M.

بتفصيل أكثر، إذا كان ( Uα , φα ) أطلسًا لمخططات الإحداثيات على M ، فإنه يرتبط به تبسيط محلي لـ|Λ|مs{\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}

تα:|Λ|مs|يوα→ϕα(يوα)×R{\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }

تابعة للغطاء المفتوح U α بحيث تحقق الدورة المشتركة المرتبطة بها GL(1)

تαβ=|المحقق(دϕα∘دϕβ-1)|-s.{\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}

اندماج

تلعب الكثافات دورًا هامًا في نظرية التكامل على المشعبات. في الواقع، يستند تعريف الكثافة إلى كيفية تغير المقياس dx عند تغيير الإحداثيات ( فولاند 1999 ، القسم 11.4، الصفحات 361-362) .

بفرض كثافة أحادية ƒ مدعومة في مخطط إحداثيات U α ، يتم تعريف التكامل بواسطة

∫يوαو=∫ϕα(يوα)تα∘و∘ϕα-1دμ{\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }

حيث يكون التكامل الأخير بالنسبة لمقياس ليبيغ على R n . يضمن قانون التحويل لكثافات الرتبة 1، بالإضافة إلى تغيير جاكوبيان المتغيرات، التوافق على تداخلات مخططات الإحداثيات المختلفة، وبالتالي يمكن تعريف تكامل كثافة الرتبة 1 العامة ذات الدعم المدمج بواسطة حجة تجزئة الوحدة . وهكذا، تُعد كثافات الرتبة 1 تعميمًا لمفهوم شكل الحجم الذي لا يتطلب بالضرورة أن يكون التشعب موجهًا أو حتى قابلًا للتوجيه. يمكن للمرء، بشكل أعم، تطوير نظرية عامة لمقاييس رادون كمقاطع توزيعية لـ|Λ|م1{\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}باستخدام نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

مجموعة الكثافات 1/p التي بحيث|ϕ|ص=(∫|ϕ|ص)1/ص<∞{\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }هو فضاء خطي معياري يتم إكمالهلص(م){\displaystyle L^{p}(M)}يُطلق عليه اسم فضاء L p الجوهري لـ M.

الاتفاقيات

في بعض المجالات، وخاصة الهندسة المطابقة ، يُستخدم اصطلاح ترجيح مختلف: حيث ترتبط حزمة كثافات s بدلاً من ذلك بالخاصية

ρ(أ)=|المحققأ|-s/ن.{\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}

وفقًا لهذا الاصطلاح، على سبيل المثال، يتم حساب تكاملات الكثافات من الرتبة n (بدلاً من الكثافات من الرتبة 1). كما يُعرَّف المقياس المطابق في هذه الاصطلاحات بكثافة موتر وزنها 2.

ملكيات

مراجع

  • برلين، نيكول؛ جيتزلر، عزرا. فيرجني، ميشيل (2004)، حبات الحرارة ومشغلي ديراك ، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-20062-8.
  • فولاند، جيرالد ب. (1999)، التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها (  الطبعة الثانية)، رقم ISBN 978-0-471-31716-6، ويقدم مناقشة موجزة عن الكثافات في القسم الأخير.{{citation}}: CS1 maint: postscript ( link )
  • نيكولايسكو، ليفيو آي. (1996)، محاضرات في هندسة المتشعبات ، ريفر إيدج، نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر، رقم ISBN 978-981-02-2836-1MR 1435504​ 
  • لي، جون م (2003)، مقدمة في المشعبات الملساء ، سبرينغر-فيرلاغ