الشكل التفاضلي المركب

نبدأ بحالة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى. أولًا، نحلل الإحداثيات المركبة إلى أجزائها الحقيقية والتخيلية: z ^j = x ^j + iy ^j لكل j . بفرض

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

يتضح أن أي شكل تفاضلي بمعاملات مركبة يمكن كتابته بشكل فريد كمجموع

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

ليكن Ω ^1,0 فضاء الأشكال التفاضلية المركبة التي تحتوي فقط${\displaystyle dz}$ليكن 's و Ω ^0,1 فضاء الأشكال التي تحتوي فقط${\displaystyle d{\bar {z}}}$يمكن إثبات، باستخدام معادلات كوشي-ريمان ، أن الفضاءين Ω ^1,0 و Ω ^0,1 مستقران تحت تغييرات الإحداثيات الهولومورفية. بعبارة أخرى، إذا تم اختيار نظام إحداثيات هولومورفي مختلف w _{i ، فإن عناصر} Ω ^1,0 تتحول موترية ، كما هو الحال مع عناصر Ω ^0,1 . وبالتالي، يحدد الفضاءان Ω ^0,1 و Ω ^1,0 حزمًا متجهة معقدة على المتشعب المعقد.

يُعرَّف الجداء الخارجي للأشكال التفاضلية المركبة بنفس طريقة تعريف الجداء الخارجي للأشكال الحقيقية. ليكن p و q زوجًا من الأعداد الصحيحة غير السالبة ≤ n . يُعرَّف الفضاء Ωp ^,q للأشكال ( p , q ) بأخذ التراكيب الخطية للجداء الخارجي لـ p عنصرًا من ^Ω1,0 و q عنصرًا من Ω0,1 . رمزيًا ^، 

$\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ مرات}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ مرات}}}}$

حيث توجد عوامل p من Ω ^1,0 وعوامل q من Ω ^0,1 . وكما هو الحال مع فضاءي الأشكال التفاضلية من الرتبة 1، فإن هذه العوامل مستقرة تحت التغييرات الهولومورفية للإحداثيات، وبالتالي تحدد حزم المتجهات.

إذا كان E k هو فضاء جميع الأشكال التفاضلية المركبة ذات الدرجة الكلية k ، فيمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر E k بطريقة فريدة كتركيبة خطية من عناصر من بين الفضاءات Ω p,q  حيث p + q = k . وبعبارة أخرى، يوجد تحليل إلى مجموع مباشر.

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

ولأن هذا التحليل المباشر للمجموع مستقر في ظل تغييرات الإحداثيات الهولومورفية، فإنه يحدد أيضًا تحليل حزمة المتجهات.

على وجه الخصوص، لكل k ولكل p و q حيث p + q = k ، يوجد إسقاط قانوني لحزم المتجهات

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

يُعرّف المشتق الخارجي المعتاد عملية ربط المقاطع${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$عبر

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

لا يعكس المشتق الخارجي في حد ذاته البنية المعقدة الأكثر صلابة للمشعب.

باستخدام d والإسقاطات المحددة في القسم الفرعي السابق، من الممكن تعريف عوامل دولبو :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

لوصف هذه المؤثرات في الإحداثيات المحلية، دع

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

حيث I و J مؤشران متعددان . إذن

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

تبين أن الخصائص التالية صحيحة:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

تشكل هذه المؤثرات وخصائصها الأساس لعلم التماثل دولبو والعديد من جوانب نظرية هودج .

في نطاق نجمي الشكل من متعدد الشعب المعقد، تمتلك مؤثرات دولبو مؤثرات تماثل ثنائية ^{[ 1 ]} تنتج عن انقسام مؤثر التماثل لـ${\displaystyle d}$. ^{[ 1 ]} هذا هو محتوى ليمّة بوانكاريه على متعدد الشعب المعقد.

معضلة بوانكاريه لـ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$و${\displaystyle \partial }$ويمكن تحسينه بشكل أكبر على المستوى المحلي${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$اللمة - التي تُظهر أن كل${\displaystyle d}$- الصيغة التفاضلية المعقدة الدقيقة هي في الواقع${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-دقيق. على مشعبات كاهلر المدمجة ، شكل عالمي للشكل المحلي${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-تثبت اللمة، والمعروفة باسم${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$اللمة - هي نتيجة لنظرية هودج ، وتنص على أن الشكل التفاضلي المركب الذي يكون عالميًا${\displaystyle d}$-exact (بمعنى آخر، الذي تكون فئته في علم التماثل دي رام صفرًا) عالميًا${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$- بالضبط.

لكل p ، يكون الشكل الهولومورفي p مقطعًا هولومورفيًا للحزمة Ω ^{p ,0} . في الإحداثيات المحلية، يمكن كتابة الشكل الهولومورفي p على النحو التالي:

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

حيث${\displaystyle f_{I}}$هي دوال تحليلية. وبشكل مكافئ، وبسبب استقلال المرافق المركب ، فإن الشكل ( p ,  0) α تحليلي إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

غالباً ما يتم كتابة حزمة الأشكال الهولومورفية p على النحو التالي Ω ^p ، على الرغم من أن هذا قد يؤدي أحيانًا إلى حدوث لبس، لذلك يميل العديد من المؤلفين إلى اعتماد تدوين بديل.