ddbar lemma

في الهندسة المعقدة ،${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$اللمة (تُنطق دبار لِمّا ) هي لِمّة رياضية تتعلق بفئة التماثل دي رام لشكل تفاضلي معقد .${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$اللمة - هي نتيجة لنظرية هودج ومتطابقات كاهلر على مشعب كاهلر مضغوط . تُعرف أحيانًا أيضًا باسم${\displaystyle dd^{c}}$-lemma، بسبب استخدام عامل ذي صلة${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$، مع كون العلاقة بين العاملين هي${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$وهكذا${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$[ ^{1 ] : 1.17 [ 2 ] : Lem 5.50}

ال${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تؤكد اللمة أنه إذا${\displaystyle (X,\omega )}$هو مشعب كاهلر صغير الحجم و${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$هي شكل تفاضلي معقد من الدرجة الثنائية (p,q) (مع${\displaystyle p,q\geq 1}$) الذي صنف${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$إذا كان الصفر في علم التماثل دي رام، فإنه يوجد شكل${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$من الدرجة الثنائية (p-1،q-1) بحيث

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

أين${\displaystyle \partial }$و${\displaystyle {\bar {\partial }}}$هي مؤثرات دولبو للمتشعب المركب${\displaystyle X}$[ ^{3 ] : الفصل السادس ، الفقرة 8.6}

ال${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تُعدّ المبرهنة -lemma نتيجةً لنظرية هودج المطبقة على مشعب كاهلر المضغوط. ^{[ 3 ] [ 1 ] : 41-44 [ 2 ] : 73-77}

يمكن تطبيق نظرية هودج للمركب الإهليلجي على أي من المؤثرات${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$وبالنسبة لمؤثرات لابلاس الخاصة بها على التوالي${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$. يمكن تعريف فضاءات الأشكال التفاضلية التوافقية المعطاة بواسطة النوى لهذه المؤثرات:

$$// ^ {p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\جزئي}}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\جزئي}}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{محاذاة}}}$$

تنص نظرية هودج للتحليل على وجود ثلاثة تحليلات متعامدة مرتبطة بهذه الفضاءات من الأشكال التوافقية، معطاة بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$هي المرافقات الرسمية لـ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$فيما يتعلق بالمقياس الريماني لمتشعب كاهلر، على التوالي. ^{[ 4 ] : ​​نظرية 3.2.8.} تنطبق هذه التفكيكات بشكل منفصل على أي متشعب عقدي مضغوط. تكمن أهمية كون المتشعب كاهلر في وجود علاقة بين لابلاس${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$وبالتالي، من خلال التفكيكات المتعامدة المذكورة أعلاه. على وجه الخصوص، على مشعب كاهلر مضغوط.

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

وهذا يعني تحليلًا متعامدًا

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

حيث توجد العلاقات الإضافية${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$ربط مساحات${\displaystyle \partial }$و${\displaystyle {\bar {\partial }}}$- الأشكال التوافقية. ^{[ 4 ] : ​​الخاصية 3.1.12}

نتيجةً للتحليلات المذكورة أعلاه، يمكن إثبات اللمة التالية.

البرهان كما يلي. ^{[ 4 ] : ​​كور. 3.2.10} ليكن${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ليكن شكلاً مغلقاً (p,q) على مشعب كاهلر مضغوط${\displaystyle (X,\omega )}$يستنتج من ذلك مباشرةً أن (د) يستلزم (أ) و(ب) و(ج). علاوة على ذلك، تشير التحليلات المتعامدة المذكورة أعلاه إلى أن أيًا من (أ) أو (ب) أو (ج) يستلزم (هـ). لذا، تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات أن (هـ) يستلزم (د).

ولتحقيق هذه الغاية، افترض أن${\displaystyle \alpha }$متعامد مع الفضاء الفرعي${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$. ثم${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$. منذ${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle d}$مغلق و${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$وهو كذلك${\displaystyle {\bar {\partial }}}$مغلق (أي${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$). لو${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$أين${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$و${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$موجود في${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$وبما أن هذا المجموع ناتج عن تحليل متعامد بالنسبة للجداء الداخلي${\displaystyle \langle -,-\rangle }$مستحثة بواسطة المقياس الريماني،

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

أو بعبارة أخرى${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$و${\displaystyle \alpha ''=0}$وبالتالي، فإن الأمر كذلك هو${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$وهذا يسمح لنا بالكتابة${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$لبعض الأشكال التفاضلية${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$تطبيق تحليل هودج لـ${\displaystyle \partial }$ل${\displaystyle \eta }$،

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

أين${\displaystyle \eta _{0}}$يكون${\displaystyle \Delta _{\partial }}$-متناسق،${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$و${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$المساواة${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle \eta _{0}}$وهو أيضًا${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$-توافقي وبالتالي${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$. هكذا${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$ومع ذلك، بما أن${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle d}$مغلق، وهو أيضاً${\displaystyle \partial }$-مغلق. ثم باستخدام حيلة مماثلة لما سبق،

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

كما يتم تطبيق معادلة كاهلر التي${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$. هكذا${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$والضبط${\displaystyle \beta =i\eta '}$ينتج${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-محتمل.

نسخة محلية من${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تُعتبر اللمة صحيحة ويمكن إثباتها دون الحاجة إلى الاستناد إلى نظرية هودج للتفكيك. ^{[ 4 ] : ​​مثال 1.3.3، ملاحظة 3.2.11.} وهي نظيرة لمة بوانكاريه أو لمة دولبو-غروتينديك لـ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$المشغل المحلي.${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-تتحقق اللمة على أي مجال تتحقق فيه اللمات المذكورة أعلاه.

يُمكن استنتاج البرهان بسرعة من اللمات المذكورة سابقًا. لاحظ أولًا أنه إذا${\displaystyle \alpha }$محلياً على شكل${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$بالنسبة للبعض${\displaystyle \beta }$ثم${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$لأن${\displaystyle \partial ^{2}=0}$،${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$، و${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$من ناحية أخرى، لنفترض${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle d}$مغلق. إذن، وفقًا لمبدأ بوانكاريه، توجد جوار مفتوح${\displaystyle U}$من أي نقطة${\displaystyle p\in X}$ونموذج${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$بحيث${\displaystyle \alpha =d\gamma }$الآن أكتب${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$ل${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$و${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$.لاحظ أن${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$ومقارنة درجات العلاقات الثنائية للأشكال في${\displaystyle d\alpha }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$و${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$وذلك${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$بعد احتمال تقليص حجم الحي المفتوح${\displaystyle U}$، يمكن تطبيق معضلة دولبو-غروتينديك على${\displaystyle \gamma '}$و${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$(الأخير لأن${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$) للحصول على نماذج محلية${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$بحيث${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$و${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$مع ملاحظة أن${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$وبهذا يكتمل البرهان كما يلي:${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$أين${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$.

علم التماثل بوت-تشيرن هو نظرية تماثل للمشعبات المعقدة المدمجة تعتمد على المؤثرات.${\displaystyle \partial }$و${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ويقيس مدى...${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$لا تصحّ الفرضية. على وجه الخصوص، عندما يكون مشعب معقد مضغوط مشعب كاهلر، فإنّ علم التماثل بوت-تشيرن متماثل مع علم التماثل دولبو ، ولكنه بشكل عام يحتوي على معلومات أكثر.

تُعرَّف مجموعات التماثل بوت-تشيرن لمتشعب معقد مضغوط ^{[ 3 ] بواسطة}

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial$$ :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}

بما أن الشكل التفاضلي هو كلاهما${\displaystyle \partial }$و${\displaystyle {\bar {\partial }}}$مغلق${\displaystyle d}$-مغلق، توجد خريطة طبيعية${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$من مجموعات التماثل بوت-تشيرن إلى مجموعات التماثل دي رام. توجد أيضًا خرائط إلى${\displaystyle \partial }$و${\displaystyle {\bar {\partial }}}$مجموعات التماثل دولبو${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$عندما يكون المشعب${\displaystyle X}$يرضي${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ليما، على سبيل المثال، إذا كانت مشعبة كاهلر مضغوطة، فإن التطبيقات المذكورة أعلاه من تماثل بوت-تشيرن إلى تماثل دولبو هي تماثلات، وعلاوة على ذلك، فإن التطبيق من تماثل بوت-تشيرن إلى تماثل دي رام هو تطبيق أحادي. ^{[ 5 ]} ونتيجة لذلك، يوجد تماثل

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

حينما${\displaystyle X}$يرضي${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ليما. وبهذه الطريقة، تقيس نواة الخرائط المذكورة أعلاه فشل التشعب${\displaystyle X}$لتحقيق اللمة، وعلى وجه الخصوص قياس فشل${\displaystyle X}$أن يكون مشعب كاهلر.

أهم نتيجة لـ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تظهر اللمة عندما يكون للصيغة التفاضلية المركبة درجة ثنائية (1،1). في هذه الحالة، تنص اللمة على أن الصيغة التفاضلية التامة${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$لديه${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$الجهد المعطى بواسطة دالة سلسة${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$:

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

ويحدث هذا على وجه الخصوص في الحالة التي${\displaystyle \alpha =\omega }$هي شكل كاهلر مقيد بمجموعة فرعية مفتوحة صغيرة${\displaystyle U\subset X}$في فضاء كاهلر (وهذه الحالة تتبع من الصيغة المحلية للّمة)، حيث تضمن لِمّة بوانكاريه المذكورة آنفًا أنه شكل تفاضلي تام. وهذا يقود إلى مفهوم جهد كاهلر ، وهو دالة معرفة محليًا تُحدد شكل كاهلر تحديدًا كاملًا. وهناك حالة أخرى مهمة عندما${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$هو الفرق بين شكلين من أشكال كاهلر ينتميان إلى نفس فئة التماثل دي رام${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$في هذه الحالة${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$في علم التماثل لـ دي رام، لذا فإن${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ينطبق مبدأ -lemma. من خلال السماح بوصف (فروق) أشكال كاهلر وصفًا كاملًا باستخدام دالة واحدة، وهي تلقائيًا دالة شبه توافقية متعددة ، يمكن دراسة مشعبات كاهلر المدمجة باستخدام تقنيات نظرية الجهد المتعدد ، والتي تتوفر لها العديد من الأدوات التحليلية . على سبيل المثال،${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تُستخدم -lemma لإعادة صياغة معادلة كاهلر-أينشتاين من حيث الكمونات، وتحويلها إلى معادلة مونج-أمبير المعقدة لكمون كاهلر.

المتشعبات المعقدة التي ليست بالضرورة متشعبات كاهلرية ولكنها مع ذلك تحقق الشروط التالية:${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تُعرف اللمات باسم${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-المتشعبات. على سبيل المثال، المتشعبات المركبة المدمجة التي تنتمي إلى فئة فوجيكي C تحقق ما يلي:${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lemma ولكنهم ليسوا بالضرورة Kähler. ^{[ 5 ]}

• معضلة بوانكاريه
• معضلة دولبو-غروتينديك

• جان بيير، ديمايلي. "الصفحة الشخصية في غرونوبل، بما في ذلك المنشورات" .