معادلة تفاضلية جزئية عشوائية

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية Continuum mechanics Chaos theory Dynamical systems Social sciences Economics Population dynamics List of named differential equations
Classification
Types Ordinary Partial Differential-algebraic Integro-differential Fractional Linear Non-linear By variable type Dependent and independent variables Autonomous Coupled / Decoupled Exact Homogeneous / Nonhomogeneous Features Order Operator Notation
Relation to processes Difference (discrete analogue) Stochastic Stochastic partial Delay
Solution
Existence and uniqueness Picard–Lindelöf theorem Peano existence theorem Carathéodory's existence theorem Cauchy–Kowalevski theorem
General topics Initial conditions Boundary values Dirichlet Neumann Robin Cauchy problem Wronskian Phase portrait Lyapunov / Asymptotic / Exponential stability Rate of convergence Series / Integral solutions Numerical integration Dirac delta function
Solution methods Inspection Method of characteristics Euler Exponential response formula Finite difference (Crank–Nicolson) Finite element Infinite element Finite volume Galerkin Petrov–Galerkin Green's function Integrating factor Integral transforms Perturbation theory Runge–Kutta Separation of variables Undetermined coefficients Variation of parameters
People
List Isaac Newton Gottfried Leibniz Jacob Bernoulli Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
v t e

تعمل المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية ( SPDEs ) على تعميم المعادلات التفاضلية الجزئية من خلال مصطلحات ومعاملات القوة العشوائية، بنفس الطريقة التي تعمل بها المعادلات التفاضلية العشوائية العادية على تعميم المعادلات التفاضلية العادية .

إنها ذات صلة بنظرية المجال الكمومي ، والميكانيكا الإحصائية ، والنمذجة المكانية . ^{[1] [2]}

أحد أكثر معادلة الحرارة العشوائية التي تمت دراستها هي معادلة الحرارة العشوائية ، ^[3] والتي يمكن كتابتها رسميًا على النحو التالي

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

حيث يمثل Laplacian و يشير إلى الضوضاء البيضاء في الزمكان . تشمل الأمثلة الأخرى أيضًا الإصدارات العشوائية للمعادلات الخطية الشهيرة، مثل معادلة الموجة ^[4] ومعادلة شرودنجر . ^[5]${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \xi }$

إحدى الصعوبات هي افتقارها إلى الانتظام. في الفضاء أحادي البعد، تكون حلول معادلة الحرارة العشوائية متصلة في الفضاء بمقدار 1/2- هولدر ومتصلة في الزمن بمقدار 1/4- هولدر. بالنسبة للأبعاد الثانية وما فوق، لا تكون الحلول ذات قيمة دالة، ولكن يمكن فهمها كتوزيعات عشوائية .

بالنسبة للمعادلات الخطية، يمكن عادةً العثور على حل معتدل من خلال تقنيات شبه المجموعة . ^[6]

ومع ذلك، تبدأ المشاكل في الظهور عند النظر في المعادلات غير الخطية. على سبيل المثال

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

حيث تكون كثيرة الحدود. في هذه الحالة، ليس من الواضح حتى كيف يمكن للمرء أن يفهم المعادلة. لن يكون لهذه المعادلة أيضًا حل ذو قيمة دالة في بُعد أكبر من واحد، وبالتالي لا يوجد معنى نقطي. من المعروف أن فضاء التوزيعات ليس له بنية حاصل. هذه هي المشكلة الأساسية لمثل هذه النظرية. وهذا يؤدي إلى الحاجة إلى شكل من أشكال إعادة التطبيع . ${\displaystyle P}$

كانت المحاولة المبكرة للالتفاف على مثل هذه المشاكل لبعض المعادلات المحددة هي ما يسمى بحيلة دا براتو-ديبوش والتي تضمنت دراسة المعادلات غير الخطية مثل اضطرابات المعادلات الخطية. ^[7] ومع ذلك، لا يمكن استخدام هذا إلا في إعدادات مقيدة للغاية، لأنه يعتمد على كل من العامل غير الخطي وانتظام مصطلح الضوضاء الدافعة. في السنوات الأخيرة، توسع المجال بشكل كبير، والآن توجد آلية كبيرة لضمان الوجود المحلي لمجموعة متنوعة من SPDEs دون الحرجة . ^[8]

• باين، أ.؛ كريسان، د. (2009). أساسيات الترشيح العشوائي . النمذجة العشوائية والاحتمالات التطبيقية. المجلد 60. نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-0387768953.
• هولدن، هـ.؛ أوكسيندال، ب.؛ أوبو، ج.؛ تشانغ، ت. (2010). المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية: نهج النمذجة والضوضاء البيضاء الوظيفية . يونيفرسيتكست (الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. doi :10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). "رابط صريح بين الحقول الغاوسية والحقول الغاوسية الماركوفية العشوائية: نهج المعادلة التفاضلية الجزئية العشوائية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب: المنهجية الإحصائية . 73 (4): 423-498. doi :10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412.
• Xiu, D. (2010). الطرق العددية للحسابات العشوائية: نهج الطريقة الطيفية . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-14212-8.

• "دورة تدريبية قصيرة حول المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية" (PDF) . 2006.
• هيرير، مارتن (2009). "مقدمة إلى معادلات التفاضل الجزئي العشوائية". arXiv : 0907.4178 [math.PR].