البنائية (فلسفة الرياضيات)

الموسوعة الحرة

في فلسفة الرياضيات ، يؤكد البنائية على ضرورة إيجاد (أو "بناء") مثال محدد لكائن رياضي لإثبات وجوده. في المقابل، في الرياضيات الكلاسيكية، يمكن إثبات وجود كائن رياضي دون "إيجاد" ذلك الكائن صراحةً، وذلك بافتراض عدم وجوده ثم استنتاج تناقض من هذا الافتراض. قد يُطلق على هذا النوع من البرهان بالتناقض اسم البرهان غير البنائي، وقد يرفضه البنائي. تتضمن وجهة النظر البنائية تفسيرًا تحققيًا للمُكمِّم الوجودي ، وهو ما يتعارض مع تفسيره الكلاسيكي.

توجد أشكال عديدة للبنائية. [ 1 ] وتشمل هذه الأشكال برنامج الحدسية الذي أسسه براور ، والمحدودية التي طرحها هيلبرت وبرنايز ، والرياضيات البنائية الاسترجاعية التي وضعها شانين وماركوف ، وبرنامج التحليل البنائي الذي وضعه بيشوب . [ 2 ] كما تشمل البنائية دراسة نظريات المجموعات البنائية مثل CZF ودراسة نظرية التوبوس .

غالبًا ما يُربط البنائية بالحدسية، مع أن الحدسية ليست سوى أحد برامج البنائية. ترى الحدسية أن أسس الرياضيات تكمن في حدس عالم الرياضيات، مما يجعل الرياضيات نشاطًا ذاتيًا بطبيعته. [ 3 ] أما الأشكال الأخرى من البنائية فلا تستند إلى وجهة النظر الحدسية هذه، وتتوافق مع وجهة نظر موضوعية في الرياضيات.

الرياضيات البنائية

تعتمد الكثير من الرياضيات البنّاءة على المنطق الحدسي ، وهو في جوهره منطق كلاسيكي بدون قانون الوسط المرفوع . ينص هذا القانون على أنه بالنسبة لأي قضية، إما أن تكون تلك القضية صحيحة أو يكون نفيها صحيحًا. هذا لا يعني إنكار قانون الوسط المرفوع كليًا؛ إذ يمكن إثبات حالات خاصة منه. إنما يعني فقط أن القانون العام لا يُفترض كمسلّمة . ويبقى قانون عدم التناقض (الذي ينص على أنه لا يمكن أن تكون العبارات المتناقضة صحيحة في الوقت نفسه) ساريًا.

على سبيل المثال، في حساب هيتينغ ، يمكن إثبات أنه لأي قضية p لا تحتوي على مُكمِّمات ،∀x،y،z،...∈شمال:ص∨¬ص{\displaystyle \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb {N} :p\vee \neg p}هي نظرية (حيث x و y و z ... هي المتغيرات الحرة في القضية p ). وبهذا المعنى، لا تزال القضايا المقتصرة على المحدود تُعتبر إما صحيحة أو خاطئة، كما هو الحال في الرياضيات الكلاسيكية، لكن هذه الثنائية لا تمتد إلى القضايا التي تشير إلى مجموعات غير منتهية .

في الواقع، اعتبر ل. إ. ج. براور ، مؤسس المدرسة الحدسية، قانون الوسط المرفوع مُستخلصًا من التجربة المحدودة، ثم طُبِّق على اللانهائي دون تبرير . على سبيل المثال، تنص حدسية غولدباخ على أن كل عدد زوجي أكبر من 2 هو مجموع عددين أوليين . من الممكن اختبار أي عدد زوجي مُحدد لمعرفة ما إذا كان مجموع عددين أوليين (على سبيل المثال، من خلال البحث الشامل)، وبالتالي فإن أيًا منها إما أن يكون مجموع عددين أوليين أو لا. وحتى الآن، كان كل عدد تم اختباره بهذه الطريقة هو في الواقع مجموع عددين أوليين.

لكن لا يوجد دليل معروف على صحة جميعها، ولا دليل معروف على عدم صحة بعضها؛ بل لا يُعرف حتى ما إذا كان لا بد من وجود دليل أو نفي لتخمين غولدباخ (قد يكون التخمين غير قابل للحسم في نظرية المجموعات ZF التقليدية). لذا، يرى براور أنه ليس لدينا مبرر للقول بأن "تخمين غولدباخ إما صحيح أو خاطئ". وبينما قد يُحل التخمين يومًا ما، فإن الحجة تنطبق على مشاكل مماثلة لم تُحل. بالنسبة لبراور، فإن قانون الوسط المرفوع يُعادل افتراض أن لكل مسألة رياضية حلًا.

مع حذف قانون الوسط المرفوع كمسلمة، يتمتع النظام المنطقي المتبقي بخاصية وجود لا يمتلكها المنطق الكلاسيكي: كلما∃x∈XP(x){\displaystyle \exists _{x\in X}P(x)}إذا ثبت ذلك بشكل بنّاء، ففي الواقعP(أ){\displaystyle P(a)}وقد ثبت ذلك بشكل بنّاء لواحد (على الأقل) من الأمور المحددةأ∈X{\displaystyle a\in X}وغالباً ما يطلق عليه الشاهد . وبالتالي فإن إثبات وجود كائن رياضي مرتبط بإمكانية بنائه.

مثال من التحليل الحقيقي

في التحليل الحقيقي الكلاسيكي ، إحدى طرق تعريف العدد الحقيقي هي كونه فئة تكافؤ لمتتاليات كوشي من الأعداد النسبية .

في الرياضيات البنائية، إحدى طرق بناء عدد حقيقي هي كدالة ƒ تأخذ عددًا صحيحًا موجبًان{\displaystyle n}وتُخرج دالة كسرية ƒ ( n )، بالإضافة إلى دالة g تأخذ عددًا صحيحًا موجبًا n وتُخرج عددًا صحيحًا موجبًا g ( n ) بحيث

∀ن ∀أنا،ج≥ز(ن)|و(أنا)-و(ج)|≤1ن{\displaystyle \forall n\ \forall i,j\geq g(n)\quad |f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}

بحيث أنه مع ازدياد قيمة n ، تتقارب قيم ƒ ( n ) أكثر فأكثر. ويمكننا استخدام ƒ و g معًا لحساب تقريب كسري دقيق قدر ما نشاء للعدد الحقيقي الذي يمثلانه.

وفقًا لهذا التعريف، فإن التمثيل البسيط للعدد الحقيقي e هو:

و(ن)=∑أنا=0ن1أنا!،ز(ن)=ن.{\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\quad g(n)=n.}

يتوافق هذا التعريف مع التعريف الكلاسيكي باستخدام متتابعات كوشي، مع اختلاف بسيط: ففي متتابعة كوشي الكلاسيكية، يُشترط وجود عنصر (بالمعنى الكلاسيكي) في المتتابعة، عند أي مسافة معينة، تكون جميع عناصرها أقرب إلى بعضها من تلك المسافة. أما في الصيغة البنائية، فيُشترط إمكانية تحديد نقطة في المتتابعة عند أي مسافة معينة، حيث يتحقق هذا الشرط (ويُطلق على هذا التحديد غالبًا اسم معامل التقارب ). في الواقع، التفسير البنائي القياسي للعبارة الرياضية

∀ن:∃م:∀أنا،ج≥م:|و(أنا)-و(ج)|≤1ن{\displaystyle \forall n:\exists m:\forall i,j\geq m:|f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}

يكمن الفرق تحديدًا في وجود الدالة التي تحسب معيار التقارب. وبالتالي، يمكن اعتبار الفرق بين تعريفَي الأعداد الحقيقية بمثابة اختلاف في تفسير عبارة "لكل... يوجد...".

يثير هذا التساؤل حول نوع الدالة التي يمكن بناؤها من مجموعة قابلة للعد إلى مجموعة قابلة للعد أخرى، مثل الدالتين f و g المذكورتين أعلاه. وتختلف النظريات البنائية المختلفة حول هذه النقطة. يمكن تعريف الإنشاءات تعريفًا واسعًا، مثل متواليات الاختيار الحر ، وهو المنظور الحدسي، أو تعريفًا ضيقًا، مثل الخوارزميات (أو بتعبير أدق، الدوال القابلة للحساب )، أو حتى تركها دون تحديد. فإذا اعتمدنا، على سبيل المثال، المنظور الخوارزمي، فإن الأعداد الحقيقية كما تم بناؤها هنا هي في جوهرها ما يُعرف تقليديًا بالأعداد القابلة للحساب .

العددية

يبدو أن التفسير الخوارزمي المذكور أعلاه يتعارض مع المفاهيم الكلاسيكية للعددية . فمن خلال تعداد الخوارزميات، يمكننا إثبات أن الأعداد القابلة للحساب قابلة للعد وفقًا للمفاهيم الكلاسيكية. ومع ذلك، تُظهر حجة كانتور القطرية هنا أن الأعداد الحقيقية لها عددية غير قابلة للعد. وبالتالي، فإن مساواة الأعداد الحقيقية بالأعداد القابلة للحساب يُعد تناقضًا. علاوة على ذلك، تبدو الحجة القطرية بناءة تمامًا.

في الواقع، يمكن تقديم حجة كانتور القطرية بشكل بنائي، بمعنى أنه عند وجود تقابل بين الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية، يتم إنشاء عدد حقيقي ليس ضمن نطاق الدالة، مما يُثبت تناقضًا. يمكن تعداد الخوارزميات لإنشاء دالة T ، نفترض مبدئيًا أنها دالة من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الحقيقية. ولكن، لكل خوارزمية، قد يكون هناك عدد حقيقي مُقابل أو لا، إذ قد تفشل الخوارزمية في تلبية القيود، أو حتى تكون غير منتهية ( T دالة جزئية )، وبالتالي لا تُنتج التقابل المطلوب. باختصار، من يتبنى وجهة النظر القائلة بأن الأعداد الحقيقية قابلة للحساب (فرديًا) فعليًا، يُفسر نتيجة كانتور على أنها تُظهر أن الأعداد الحقيقية (مجتمعة) غير قابلة للتعداد التكراري .

مع ذلك، قد يتوقع المرء أنه بما أن T دالة جزئية من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الحقيقية، فإن الأعداد الحقيقية لا تتجاوز كونها قابلة للعد. وبما أن كل عدد طبيعي يمكن تمثيله بسهولة كعدد حقيقي، فإن الأعداد الحقيقية لا تقل عن كونها قابلة للعد. وبالتالي، فهي قابلة للعد تمامًا . إلا أن هذا الاستدلال غير بنائي، لأنه لا يُنشئ التقابل المطلوب. إن النظرية الكلاسيكية التي تُثبت وجود تقابل في مثل هذه الظروف، وهي نظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر ، غير بنائية. وقد ثبت مؤخرًا أن نظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر تستلزم قانون الوسط المرفوع ، وبالتالي لا يمكن تقديم برهان بنائي لها. [ 4 ]

بديهية الاختيار

إن وضع بديهية الاختيار في الرياضيات البنائية معقدٌ بسبب اختلاف مناهج البرامج البنائية المختلفة. أحد المعاني الشائعة لكلمة "بنائي"، المستخدمة بشكل غير رسمي من قبل علماء الرياضيات، هو "قابل للإثبات في نظرية مجموعات ZF دون بديهية الاختيار". ومع ذلك، يؤكد أنصار الأشكال الأكثر محدودية للرياضيات البنائية أن ZF نفسها ليست نظامًا بنائيًا.

في النظريات الحدسية لنظرية الأنواع (وخاصة الحساب عالي النوع)، يُسمح بأشكال عديدة لبديهية الاختيار. على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة البديهية AC 11 لتقول إنه لأي علاقة R على مجموعة الأعداد الحقيقية، إذا أثبتنا أنه لكل عدد حقيقي x يوجد عدد حقيقي y بحيث تتحقق العلاقة R ( x , y )، فإنه توجد في الواقع دالة F بحيث تتحقق العلاقة R ( x , F ( x )) لجميع الأعداد الحقيقية. تُقبل مبادئ اختيار مماثلة لجميع الأنواع المنتهية. الدافع وراء قبول هذه المبادئ التي تبدو غير بنائية هو الفهم الحدسي للبرهان القائل بأنه "لكل عدد حقيقي x يوجد عدد حقيقي y بحيث تتحقق العلاقة R ( x , y )". وفقًا لتفسير BHK ، فإن هذا البرهان نفسه هو في جوهره الدالة F المطلوبة. لا تستلزم مبادئ الاختيار التي يقبلها الحدسيون قانون الوسط المرفوع .

مع ذلك، في بعض أنظمة البديهيات لنظرية المجموعات البنائية، تستلزم بديهية الاختيار قانون الوسط المرفوع (في وجود بديهيات أخرى)، كما هو موضح في نظرية دياكونيسكو-غودمان-مايهيل . تتضمن بعض نظريات المجموعات البنائية صيغًا أضعف لبديهية الاختيار، مثل بديهية الاختيار التابع في نظرية مجموعات مايهيل.

نظرية القياس

تُعتبر نظرية القياس الكلاسيكية غير بنائية في جوهرها، إذ لا يُقدّم التعريف الكلاسيكي لقياس ليبيغ أي طريقة لحساب قياس مجموعة أو تكامل دالة. في الواقع، إذا اعتبرنا الدالة مجرد قاعدة "تُدخل عددًا حقيقيًا وتُخرج عددًا حقيقيًا"، فلن يكون هناك أي خوارزمية لحساب تكاملها، لأن أي خوارزمية لن تتمكن إلا من استدعاء عدد محدود من قيم الدالة في كل مرة، وهذا العدد المحدود من القيم غير كافٍ لحساب التكامل بدقة معقولة. يكمن حل هذه المعضلة، الذي طُرح لأول مرة في بحث بيشوب (1967) ، في الاقتصار على دراسة الدوال المكتوبة كحد نقطي لدوال متصلة (مع معرفة معامل الاتصال)، مع توفر معلومات حول معدل التقارب. من مزايا بناء نظرية القياس أنه إذا أمكن إثبات أن مجموعة ما ذات قياس كامل بنائيًا، فستكون هناك خوارزمية لإيجاد نقطة في تلك المجموعة (انظر بيشوب (1967) ).

مكانة البنائية في الرياضيات

تقليديًا، كان بعض علماء الرياضيات متشككين، إن لم يكونوا معارضين، للبنائية الرياضية، ويعود ذلك في الغالب إلى القيود التي اعتقدوا أنها تفرضها على التحليل البنائي. وقد عبّر ديفيد هيلبرت عن هذه الآراء بقوة عام 1928، عندما كتب في كتابه "أسس الرياضيات ": "إن حرمان عالم الرياضيات من مبدأ الوسط المرفوع يُشبه، على سبيل المثال، منع الفلكي من استخدام التلسكوب أو منع الملاكم من استخدام قبضتيه". [ 5 ]

عمل إيريت بيشوب في عمله عام 1967 بعنوان أسس التحليل البنّاء [ 2 ] على تبديد هذه المخاوف من خلال تطوير قدر كبير من التحليل التقليدي في إطار بنّاء.

على الرغم من أن معظم علماء الرياضيات لا يقبلون أطروحة البنائية القائلة بأن الرياضيات السليمة لا تُمارس إلا بالطرق البنائية، إلا أن هذه الطرق تكتسب اهتمامًا متزايدًا لأسباب غير أيديولوجية. فعلى سبيل المثال، قد تضمن البراهين البنائية في التحليل استخلاص الأدلة، بحيث يُسهّل العمل ضمن قيود الطرق البنائية إيجاد أدلة على النظريات مقارنةً بالطرق التقليدية. كما وُجدت تطبيقات للرياضيات البنائية في حسابات لامدا المُنمّطة ، ونظرية التوبوس، والمنطق الفئوي ، وهي مواضيع بارزة في الرياضيات الأساسية وعلوم الحاسوب . في الجبر، بالنسبة لكيانات مثل التوبوس وجبر هوبف ، يدعم الهيكل لغة داخلية تُشكّل نظرية بنائية؛ وغالبًا ما يكون العمل ضمن قيود هذه اللغة أكثر سهولة ومرونة من العمل خارجيًا بوسائل مثل الاستدلال على مجموعة الجبر الملموس الممكنة وتشاكلاتها .

يكتب الفيزيائي لي سمولين في كتابه " ثلاثة طرق إلى الجاذبية الكمومية" أن نظرية التوبوس هي "الشكل المنطقي الأمثل لعلم الكونيات" (صفحة 30)، و"في أشكالها الأولى كانت تُسمى "المنطق الحدسي"" (صفحة 31). "في هذا النوع من المنطق، تُقسّم التصريحات التي يمكن للمراقب الإدلاء بها حول الكون إلى ثلاث مجموعات على الأقل: تلك التي يمكننا الحكم على صحتها، وتلك التي يمكننا الحكم على خطئها، وتلك التي لا نستطيع البتّ في صحتها في الوقت الراهن" (صفحة 28).

علماء الرياضيات الذين قدموا إسهامات كبيرة في البنائية

الفروع

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • بيسون، مايكل ج. (1985). أسس الرياضيات البنائية: دراسات ما وراء الرياضيات . 9783540121732. ISBN 9783540121732.
  • بيشوب، إيريت (1967). أسس التحليل البنّاء . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. ISBN 4-87187-714-0.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
  • بريدجز، دوغلاس؛ ريتشمان، فريد (1987). أنواع الرياضيات البنائية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511565663 . ISBN 978-0-521-31802-0.
  • براديتش، سيسيليا؛ براون، تشاد إي. (19-04-2019). "كانتور-بيرنشتاين يستلزم الوسط المرفوع". arXiv : 1904.09193 [ math.LO ].
  • ترولسترا، آن سيرب (1977ب). متواليات الاختيار  : فصل من الرياضيات الحدسية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853163-X.
  • ترولسترا، آن سيرب (1991). تاريخ البنائية في القرن العشرين (ملف PDF) . جامعة أمستردام، سلسلة منشورات ITLI ML-91-05. مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 فبراير 2006. تاريخ الاطلاع: 9 يوليو 2019 .{{cite book}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )