التحليل البنائي

في المنطق الحدسي، يكون القياس المنفصل على النحو التالي:${\displaystyle (\phi \lor \psi )\to (\neg \phi \to \psi )}$عادةً ما يدخل فقط في${\displaystyle \to }$في اتجاه معين. بترتيب ظاهري، يكون لدى المرء

${\displaystyle \neg (x>0\lor 0>x)\to x\cong 0}$

وفي الواقع، لا يمكن أن يتحقق أكثر من شرط واحد من الشروط الثلاثة في آن واحد. لكن قانون الفصل الثلاثي الأقوى، ذو الدلالة المنطقية الإيجابية، لا ينطبق بشكل عام ، أي أنه لا يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية،

${\displaystyle (x>0\lor 0>x)\lor x\cong 0}$

انظر التحليلي${\displaystyle {\mathrm {LPO} }}$ومع ذلك، تُستنتج حالات انفصال أخرى بناءً على نتائج إيجابية أخرى، على سبيل المثال${\displaystyle (x+y>0)\to (x>0\lor y>0)}$وبالمثل، ينبغي أن يحقق الترتيب غير المتماثل في النظرية خاصية الخطية الضعيفة.${\displaystyle (y>x)\to (y>t\lor t>x)}$للجميع${\displaystyle t}$، المرتبطة بموقع الأعداد الحقيقية.

ستؤكد هذه النظرية صحة المزيد من البديهيات المتعلقة بالعلاقة بين محمول الإيجابية${\displaystyle x>0}$وتشمل العمليات الجبرية، بما في ذلك الانعكاس الضربي، بالإضافة إلى نظرية القيمة المتوسطة لكثيرات الحدود. في هذه النظرية، توجد أعداد أخرى بين أي عددين منفصلين.

في سياق التحليل، المسند الإيجابي المنطقي المساعد

${\displaystyle x\#y\,:=\,(x>y\lor y>x)}$

يمكن تعريفها بشكل مستقل وتشكل علاقة انفصال . وبها، فإن استبدال المبادئ المذكورة أعلاه يعطي تماسكًا

${\displaystyle \neg (x\#0)\leftrightarrow (x\cong 0)}$

وبالتالي، يمكن أن تعمل العزلة أيضًا كتعريف لـ "${\displaystyle \cong }$مما يجعلها نفيًا. جميع النفيات مستقرة في المنطق الحدسي، وبالتالي

${\displaystyle \neg \neg (x\cong y)\leftrightarrow (x\cong y)}$

ثم يُقرأ الفصل الثلاثي المراوغ نفسه

${\displaystyle (x\#0)\lor \neg (x\#0)}$

والأهم من ذلك، إثبات الانفصال${\displaystyle x\#y}$يحمل معلومات إيجابية ، بكلتا معنيي الكلمة. عبر${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow (\psi \to \neg \phi )}$ويترتب على ذلك أيضاً أن${\displaystyle x\#0\to \neg (x\cong 0)}$بعبارة أخرى: إن إثبات أن عددًا ما يختلف بطريقة ما عن الصفر هو أيضًا إثبات أن هذا العدد غير صفري. ولكن من الناحية البنائية، لا يترتب على ذلك أن العبارة السلبية المزدوجة${\displaystyle \neg (x\cong 0)}$وهذا يعني${\displaystyle x\#0}$وبالتالي، فإن العديد من العبارات المتكافئة كلاسيكيًا تتفرع إلى عبارات متميزة. على سبيل المثال، بالنسبة لكثير حدود ثابت${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }[x]}$وتم إصلاحه${\displaystyle k\in {\mathbb {N} }}$البيان الذي ينص على أن${\displaystyle k}$المعامل رقم '${\displaystyle a_{k}}$ل${\displaystyle p}$إن القول بأن العدد ليس صفرًا أقوى من مجرد القول بأنه غير صفري. ويوضح مثال على ذلك كيف${\displaystyle a_{k}}$يرتبط الصفر والعدد صفر فيما يتعلق بترتيب الأعداد الحقيقية، بينما يُظهر برهان هذا الترتيب كيف أن نفي هذه الشروط سيؤدي إلى تناقض. وبالتالي، يوجد مفهومان، أحدهما قوي والآخر أقل قوة، على سبيل المثال، لكونه متعدد حدود من الدرجة الثالثة.

إذن، الوسط المستبعد لـ${\displaystyle x\#0}$هل هو أقوى من ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle x\cong 0}$ومع ذلك، انظر إلى مناقشة المبادئ البديهية الإضافية المحتملة فيما يتعلق بقوة "${\displaystyle \cong }$" أقل.

وأخيراً، العلاقة${\displaystyle 0\geq x}$قد يتم تعريفها أو إثبات أنها مكافئة للعبارة السلبية منطقياً${\displaystyle \neg (x>0)}$، وثم${\displaystyle x\leq 0}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle 0\geq x}$وبالتالي، يمكن التعبير عن قابلية تحديد الإيجابية على النحو التالي:${\displaystyle x>0\lor 0\geq x}$وهو ما لن يكون قابلاً للإثبات بشكل عام، كما ذُكر. ولكن كذلك لن يكون الانفصال الكلي قابلاً للإثبات أيضاً.${\displaystyle x\geq 0\lor 0\geq x}$انظر أيضًا التحليلي${\displaystyle {\mathrm {LLPO} }}$.

بموجب قانون دي مورغان الصحيح ، فإن اقتران هذه العبارات يُعد أيضًا نفيًا للانفصال، وبالتالي

${\displaystyle (x\geq y\land y\geq x)\leftrightarrow (x\cong y)}$

الانفصال${\displaystyle x>y\lor x\cong y}$يشير إلى${\displaystyle x\geq y}$لكن الاتجاه الآخر غير قابل للإثبات بشكل عام أيضًا. في حقل حقيقي مغلق بنائي، تكون العلاقة "${\displaystyle \geq }$"هي نفي وليست مكافئة للفصل بشكل عام .

إن اشتراط خصائص الترتيب الجيدة كما سبق، ولكن في الوقت نفسه خصائص اكتمال قوية، يستلزم${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$تجدر الإشارة إلى أن إكمال ماكنيل يتمتع بخصائص اكتمال أفضل كمجموعة، ولكنه يتميز بنظرية أكثر تعقيدًا لعلاقة الترتيب الخاصة به، وبالتالي بخصائص تحديد موقع أسوأ. وعلى الرغم من قلة شيوع استخدامه، إلا أن هذا البناء يتبسط أيضًا إلى الأعداد الحقيقية الكلاسيكية عند افتراض${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$.

بما أن الحد الأقصى على مجموعة محدودة من الأعداد النسبية قابل للتقرير، يمكن تعريف خريطة القيمة المطلقة على الأعداد الحقيقية ويمكن تعريف تقارب كوشي ونهايات متتاليات الأعداد الحقيقية كالمعتاد.

يُستخدم معامل التقارب غالبًا في الدراسة البنائية لمتتاليات كوشي للأعداد الحقيقية، مما يعني ارتباط أي${\displaystyle \varepsilon >0}$إلى فهرس مناسب (بعده تكون التسلسلات أقرب من${\displaystyle \varepsilon }$) مطلوب في شكل دالة صريحة ومتزايدة تمامًا${\displaystyle \varepsilon \mapsto N(\varepsilon )}$يمكن اعتبار مثل هذا المعيار لتسلسل من الأعداد الحقيقية، ولكن يمكن أيضًا اعتباره لجميع الأعداد الحقيقية نفسها، وفي هذه الحالة يتعامل المرء بالفعل مع تسلسل من الأزواج.

يُتيح هذا النموذج تعريف المزيد من المفاهيم المتعلقة بنظرية المجموعات. بالنسبة لأي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية، يمكن الحديث عن حد أعلى.${\displaystyle b}$، ذات طابع سلبي باستخدام${\displaystyle x\leq b}$يمكن للمرء أن يتحدث عن الحد الأدنى الأعلى فيما يتعلق بـ "${\displaystyle \leq }$" الحد الأعلى هو حد أعلى يُعطى من خلال متتالية من الأعداد الحقيقية، ويُحدد بشكل إيجابي باستخدام "${\displaystyle <}$"إذا كانت مجموعة جزئية ذات حد أعلى تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بـ "${\displaystyle <}$"(كما هو موضح أدناه)، له قيمة عليا.

إحدى الصياغات الرسمية للتحليل البنائي، والتي تُنمذج خصائص الترتيب الموصوفة أعلاه، تُثبت نظريات لمتتاليات الأعداد النسبية.${\displaystyle x}$استيفاء شرط الانتظام${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|\leq {\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{m}}}$. البديل هو استخدام الأكثر إحكاما${\displaystyle 2^{-n}}$بدلاً من${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$وفي الحالة الأخيرة، يجب استخدام مؤشرات غير صفرية. لا يوجد عددان من المدخلات النسبية في متتالية منتظمة أكبر من${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$منفصلة، ​​وبالتالي يمكن حساب الأعداد الطبيعية التي تتجاوز أي عدد حقيقي. بالنسبة للمتتاليات المنتظمة، تُعرَّف خاصية الإيجابية المنطقية غير المقيدة على النحو التالي:${\displaystyle x>0\,:=\,\exists n.x_{n}>{\tfrac {1}{n}}}$حيث تكون العلاقة على الجانب الأيمن بدلالة الأعداد النسبية. رسميًا، العدد الحقيقي الموجب في هذه اللغة هو متتالية منتظمة مصحوبة بمؤشر إيجابي طبيعي. علاوة على ذلك،${\displaystyle x\cong y\,:=\,\forall n.|x_{n}-y_{n}|\leq {\tfrac {2}{n}}}$وهو ما يعادل منطقياً النفي${\displaystyle \neg \exists n.|x_{n}-y_{n}|>{\tfrac {2}{n}}}$هذه علاقة متعدية مثبتة، وهي بدورها علاقة تكافؤ . ومن خلال هذه الخاصية، تصبح المتتاليات المنتظمة في النطاق${\displaystyle |x_{n}|\leq {\tfrac {2}{n}}}$تُعتبر هذه التعريفات مكافئة للمتتالية الصفرية. وتتوافق هذه التعريفات بالطبع مع الدراسات الكلاسيكية، وقد دُرست اختلافاتٌ منها جيدًا من قبل.${\displaystyle y>x}$مثل${\displaystyle (y-x)>0}$. أيضًا،${\displaystyle x\geq 0}$يمكن تعريفها من خلال خاصية عدم السلبية العددية، كما يلي:${\displaystyle x_{n}\geq -{\tfrac {1}{n}}}$للجميع${\displaystyle n}$ثم تبين أنها تعادل النفي المنطقي للأولى. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

التعريف أعلاه لـ${\displaystyle x\cong y}$يستخدم حدًا مشتركًا${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$وتأخذ بعض الصيغ الرسمية الأخرى مباشرةً كتعريف أنه لأي حد ثابت${\displaystyle {\tfrac {2}{N}}}$الأرقام${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يجب أن تبقى في النهاية قريبة إلى الأبد على الأقل. حدود متناقصة بشكل كبير${\displaystyle 2^{-n}}$تُستخدم أيضًا، على سبيل المثال في حالة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \forall n.|x_{n}-x_{n+1}|<2^{-n}}$وكذلك بالنسبة لتساوي عددين حقيقيين من هذا النوع. وقد يُشترط أيضًا أن تحمل متتابعات الأعداد النسبية معيارًا للتقارب. ويمكن تعريف خصائص الإيجابية بأنها انفصالها في النهاية إلى الأبد بواسطة عدد نسبي ما.

اختيار الوظيفة في${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$أو أن المبادئ الأقوى تدعم مثل هذه الأطر.

تجدر الإشارة إلى أن التسلسلات في${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$يمكن ترميزها بشكل مضغوط إلى حد ما، حيث يمكن ربط كل منها بفئة فرعية فريدة من نوعها${\displaystyle {\mathbb {N} }}$متتالية من الأعداد النسبية${\displaystyle i\mapsto {\tfrac {n_{i}}{d_{i}}}(-1)^{s_{i}}}$يمكن ترميزها كمجموعة من الرباعيات${\displaystyle \langle i,n_{i},d_{i},s_{i}\rangle \in {\mathbb {N} }^{4}}$وبالتالي، يمكن ترميز ذلك كأعداد طبيعية فريدة${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{n_{i}}\cdot 5^{d_{i}}\cdot 7^{s_{i}}}$باستخدام النظرية الأساسية للحساب . توجد أيضًا وظائف اقتران أكثر اقتصادية ، أو علامات ترميز إضافية أو بيانات وصفية. على سبيل المثال، باستخدام هذا الترميز، التسلسل${\displaystyle i\mapsto {\textstyle \sum }_{k=0}^{i}{\tfrac {1}{k!}}}$، أو${\displaystyle 1,2,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},\dots }$يمكن استخدامها لحساب عدد أويلر ، ومع الترميز المذكور أعلاه، يتم ربطها بالفئة الفرعية${\displaystyle \{15,90,24300,6561000,\dots \}}$ل${\displaystyle {\mathbb {N} }}$. في حين أن هذا المثال، وهو عبارة عن سلسلة صريحة من المجاميع، هو دالة تكرارية كاملة في البداية، فإن التشفير يعني أيضًا أن هذه الكائنات تقع ضمن نطاق المحددات الكمية في الحساب من الدرجة الثانية.

في بعض أطر التحليل، يُطلق اسم الأعداد الحقيقية على هذه المتتاليات أو الأعداد النسبية المنتظمة، والعلاقات مثل${\displaystyle x\cong y}$تُسمى هذه الأعداد بالمساواة أو الأعداد الحقيقية . مع ذلك، تجدر الإشارة إلى وجود خصائص يمكن أن تميز بين اثنين منها.${\displaystyle \cong }$-الأحداث الحقيقية ذات الصلة.

في المقابل، في نظرية المجموعات التي تُنمذج المجموعات الطبيعية${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ويؤكد وجود حتى فضاءات الدوال غير القابلة للعد كلاسيكيًا (وبالتأكيد نقول${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$أو حتى${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$) الأرقام المكافئة فيما يتعلق بـ "${\displaystyle \cong }$" في${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$يمكن تجميعها في مجموعة، وتُسمى هذه المجموعة حينها بالعدد الحقيقي لكوشي . في هذا السياق، تُختزل المتتاليات النسبية المنتظمة إلى مجرد تمثيل للعدد الحقيقي لكوشي. وتُعطى مساواة هذه الأعداد الحقيقية من خلال مساواة المجموعات، والتي يحكمها بديهية التمديد في نظرية المجموعات . والنتيجة هي أن نظرية المجموعات ستُثبت خصائص للأعداد الحقيقية، أي لهذه الفئة من المجموعات، المُعبر عنها باستخدام المساواة المنطقية. ستكون الأعداد الحقيقية البنائية، في وجود بديهيات الاختيار المناسبة، كاملةً وفقًا لكوشي، ولكنها لن تكون كاملة الترتيب تلقائيًا. ^{[ 7 ]}

في هذا السياق، قد يكون من الممكن أيضًا نمذجة نظرية الأعداد الحقيقية بدلالة قطوع ديديكيند .${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$على الأقل عند افتراض${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$أو الاختيار التابع، فإن هذه الهياكل متماثلة.

ثمة نهج آخر يتمثل في تعريف العدد الحقيقي على أنه مجموعة جزئية معينة من${\displaystyle {\mathbb {Q} }\times {\mathbb {Q} }}$، التي تحمل أزواجًا تمثل فترات مأهولة ومتقاطعة بشكل ثنائي.

تذكر أن الطلب المسبق على كاردينالز "${\displaystyle \leq }$في نظرية المجموعات، يُعدّ مفهوم " الوجود بالحقن " المفهوم الأساسي المُعرَّف . ونتيجةً لذلك، قد تختلف النظرية البنائية للترتيب الأصلي اختلافًا جوهريًا عن النظرية الكلاسيكية. هنا، مجموعات مثل${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$أو يمكن اعتبار بعض نماذج الأعداد الحقيقية قابلة للعد الجزئي .

ومع ذلك، فإن البناء القطري لكانتور يثبت عدم إمكانية عد مجموعات القوى مثل${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ومساحات وظيفية بسيطة مثل${\displaystyle {\mathbb {Q} }^{\mathbb {N} }}$صحيح من الناحية الحدسية . بافتراض${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$أو بدلاً من ذلك، بديهية الاختيار القابل للعد ، نماذج من${\displaystyle {\mathbb {R} }}$تكون غير قابلة للعد دائمًا حتى في إطار بنائي. ^{[ 8 ]} يمكن صياغة أحد أشكال البناء القطري ذات الصلة بالسياق الحالي على النحو التالي، وقد تم إثباته باستخدام الاختيار القابل للعد وللأعداد الحقيقية كمتتاليات من الأعداد النسبية: ^{[ 9 ]}

لأي زوجين من الأعداد الحقيقية${\displaystyle a<b}$وأي متتالية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle x_{n}}$يوجد حقيقي${\displaystyle z}$مع${\displaystyle a<z<b}$و${\displaystyle \forall (n\in {\mathbb {N} }).x_{n}\,\#\,z}$.

تسمح صياغات الأعداد الحقيقية المدعومة بمعاملات صريحة بمعالجات منفصلة.

بحسب كاناموري ، "لقد تم ترسيخ تحريف تاريخي يربط بين التقطر وعدم البناء"، وقد ظهر بالفعل عنصر بناء في الحجة القطرية في أعمال كانتور. ^{[ 10 ]}