التماثل المستحث

في الرياضيات ، وخاصة في الطوبولوجيا الجبرية ، يُعرف التشاكل المستحث بأنه تشاكل مشتق بطريقة قانونية من تطبيق آخر. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، يُستحث تطبيق متصل من فضاء طوبولوجي X إلى فضاء طوبولوجي Y تشاكلًا زمرًا من الزمرة الأساسية لـ X إلى الزمرة الأساسية لـ Y.

بشكل أعم، في نظرية الفئات ، يُعرَّف أي دالة بأنها تُوفر تشاكلًا مُستحثًا في الفئة الهدف لكل تشاكل في الفئة المصدر. على سبيل المثال، تُعد الزمر الأساسية ، وزمر التماثل العليا ، والتماثل الشاذ ، وتماثل دي رام، بنى جبرية دالة ، أي أن تعريفها يُوفر دالة من (مثلًا) فئة الفضاءات الطوبولوجية إلى (مثلًا) فئة الزمر أو الحلقات . هذا يعني أن كل فضاء يرتبط ببنية جبرية، بينما يرتبط كل تطبيق مستمر بين الفضاءات بتطبيق يحافظ على البنية بين البنى، يُسمى تشاكلًا مُستحثًا. التشاكل المُستحث من تطبيق${\displaystyle h}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle h_{*}}$.

غالبًا ما ترث التشاكلات المستحثة خصائص التطبيقات التي تنشأ منها؛ فعلى سبيل المثال، يُنتج تطبيقان معكوسان لبعضهما البعض حتى التماثل تشاكلات معكوسة لبعضها البعض. ومن الاستخدامات الشائعة للتشاكلات المستحثة ما يلي: بإثبات استحالة وجود تشاكل بخصائص معينة، يُستنتج استحالة وجود تطبيق متصل بخصائص تُنتجه. وبفضل ذلك، يُمكن استنتاج العلاقات بين الفضاءات والتطبيقات المتصلة، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية، من العلاقات بين التشاكلات التي تُنتجها. وقد يكون تحليل هذه الأخيرة أسهل، لأنها تتضمن بنى جبرية يُمكن وصفها ومقارنتها وحسابها بسهولة.

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتكن فضاءات طوبولوجية ذات نقاط${\displaystyle x_{0}}$في${\displaystyle X}$و${\displaystyle y_{0}}$في${\displaystyle Y}$. يترك${\displaystyle h:X\to Y}$لتكن دالة متصلة بحيث${\displaystyle h(x_{0})=y_{0}}$ثم يمكننا تعريف خريطة${\displaystyle h_{*}}$من المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$إلى المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$على النحو التالي: أي عنصر من${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$، ممثلة بحلقة${\displaystyle f}$في${\displaystyle X}$مقرها في${\displaystyle x_{0}}$، يتم ربطها بالحلقة في${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$تم الحصول عليها من خلال التركيب مع${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

هنا${\displaystyle [f]}$يشير إلى فئة التكافؤ لـ${\displaystyle f}$في ظل التماثل، كما هو الحال في تعريف المجموعة الأساسية. ويمكن التحقق بسهولة من التعريفات أن${\displaystyle h_{*}}$الدالة π ₁ ( X , x ₀ ) → π ₁ ( Y , y ₀ ) دالةٌ مُعرَّفة جيدًا : تُحوَّل الحلقات في نفس فئة التكافؤ، أي الحلقات المتماثلة في X ، إلى حلقات متماثلة في Y ، لأن التماثل يمكن تركيبه مع h أيضًا. ويترتب على ذلك أيضًا من تعريف عملية المجموعة في المجموعات الأساسية (أي عن طريق ربط الحلقات) أن${\displaystyle h_{*}}$هو تماثل زمر:

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

(حيث تشير علامة + إلى ربط الحلقات، مع وجود علامة + الأولى في X والثانية في Y ). ^{[ 2 ]} التشاكل الناتج${\displaystyle h_{*}}$هو التشاكل الناتج من h .

يمكن أيضًا الإشارة إليه بـ π ( h ). في الواقع، يُعطي π دالةً من فئة الفضاءات المُشار إليها إلى فئة الزمر: فهو يربط الزمرة الأساسية π₁ ( X , x₀ ) بكل فضاء مُشار إليه ₍ X , x₀ ₎ ، ويربط التشاكل المُستحث _.${\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$لكل دالة متصلة تحافظ على نقطة الأساس h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) . لإثبات أنها تحقق تعريف الدالة، يجب التحقق أيضًا من توافقها مع التركيب: بالنسبة للدوال المتصلة التي تحافظ على نقطة الأساس h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) و k : ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ ) ، لدينا:

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).}$

هذا يعني أنه إذا لم تكن h مجرد دالة متصلة، بل كانت في الواقع تماثلًا بين X و Y ، فإن التماثل المستحث${\displaystyle \pi (h)}$هو تماثل بين المجموعات الأساسية (لأن التماثل الناتج عن معكوس h هو معكوس${\displaystyle \pi (h)}$(بحسب المعادلة أعلاه). (انظر القسم III.5.4، صفحة  201، في كتاب هـ. شوبرت.) ^{[ 3 ]}

وبالمثل، توجد تشاكلات مستحثة لمجموعات التماثل العليا ومجموعات التماثل . أي نظرية تماثل تأتي مصحوبة بتشاكلات مستحثة. على سبيل المثال، التماثل التبسيطي ، والتماثل المفرد ، وتماثل بوريل-مور، جميعها تحتوي على تشاكلات مستحثة (IV.1.3، ص  240-241) ^{[ 3 ]} . وبالمثل، أي تماثل مشترك يأتي مصحوبًا بتشاكلات مستحثة، وإن كان في الاتجاه المعاكس (من مجموعة مرتبطة بـ Y إلى مجموعة مرتبطة بـ X ). على سبيل المثال، التماثل المشترك لـ Čech ، والتماثل المشترك لـ de Rham ، والتماثل المشترك المفرد ، جميعها تحتوي على تشاكلات مستحثة (IV.4.2-3، ص  298-299) ^{[ 3 ]} . التعميمات مثل التماثل المشترك لها أيضًا تشاكلات مستحثة.

بالنظر إلى فئة معينة${\displaystyle \mathbf {T} }$من الفضاءات الطوبولوجية (ربما مع بعض البنية الإضافية) مثل فئة جميع الفضاءات الطوبولوجية Top أو فئة الفضاءات الطوبولوجية المدببة (أي الفضاءات الطوبولوجية ذات نقطة أساس مميزة)، ودالة${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$من تلك الفئة إلى فئة أخرى${\displaystyle \mathbf {A} }$من البنى الجبرية مثل فئة المجموعات Grp أو فئة المجموعات الأبيلية Ab التي تربط هذه البنية الجبرية بكل فضاء طوبولوجي، ثم لكل تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$ل${\displaystyle \mathbf {T} }$(وهي عادةً دالة متصلة، وربما تحافظ على بعض البنية الأخرى مثل نقطة الأساس) يُحفز هذا المؤثر تشاكلًا مستحثًا${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$في${\displaystyle \mathbf {A} }$(وهو على سبيل المثال تماثل زمر إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$(هي فئة من المجموعات) بين البنى الجبرية${\displaystyle F(X)}$و${\displaystyle F(Y)}$مرتبط بـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، على التوالى.

لو${\displaystyle F}$إذا لم يكن دالة (متغايرة) بل دالة متغايرة عكسية، فإنه بحكم التعريف يحفز التشكلات في الاتجاه المعاكس:${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$تُعطي مجموعات التماثل مثالاً على ذلك .

• جيمس مونكرز (1999). علم الطوبولوجيا، الطبعة الثانية، برنتيس هول. ISBN 0-13-181629-2.