حزمة متجهات مستقرة

في الرياضيات ، الحزمة المتجهة المستقرة هي حزمة متجهة ( هولومورفية أو جبرية ) مستقرة وفقًا لنظرية الثوابت الهندسية . يمكن بناء أي حزمة متجهة هولومورفية من حزم مستقرة باستخدام ترشيح هاردر-ناراسيمهان . عرّف ديفيد مامفورد الحزم المستقرة في بحثه (مامفورد، 1963) ، ثم طوّرها لاحقًا كلٌ من ديفيد جيسيكر ، وفيدور بوغومولوف ، وتوماس بريدجلاند ، وغيرهم.

في فضاء إسقاطي أملس، تُعطى معلمات لحزم الخطوط ذات الثوابت العددية المعطاة على فضاء معياري منتظم (متماثل مع فضاء بيكارد) . هذا الفضاء، على وجه الخصوص، مخطط مناسب ومنفصل من النوع المحدود ، مما يجعله مناسبًا للتحليل الجبري الهندسي. وتفشل اعتبارات مماثلة عند إعطاء معلمات بسيطة لحزم المتجهات ذات الرتبة الأعلى.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معاملات حزم المتجهات من الرتبة${\displaystyle r=2}$والفئة الأولى من تشيرن${\displaystyle c_{1}=0}$على الخط الإسقاطي المعقد${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$إذا شكلت هذه المجموعات فضاءً معياريًا منفصلاً، فإن معيار التقييم سيشير إلى أن أي مجموعة تقع فوق الخط المثقوب${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$يمكن إكمالها لعائلة واحدة على الأكثر${\displaystyle \mathbb {C} }$لكن من السهل إنشاء عائلة تقبل إكمالين غير متماثلين.

في الواقع، ضع في اعتبارك العائلة الثابتة التي تُخصص لكل منها${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$إلى الحزمة${\displaystyle V_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$. ضرب متتالية أويلر في موتر${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$بواسطة${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$يعطي متتالية تامة غير منقسمة${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\إلى {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$[ ^{1 ]} وبالتالي يمكن وصف هذه العائلة ^بالقول${\displaystyle V_{t}}$الامتداد المقابل لـ${\displaystyle 1\in \mathbb {C} \simeq \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$وبالمثل، فإن التعيين${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$إلى الامتداد المقابل لـ${\displaystyle t\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$يؤثث عائلة أخرى${\displaystyle W_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$العائلتان متماثلتان، حيث يكون التماثل${\displaystyle V_{t}\to W_{t}}$ينتج عن التماثل الذاتي${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\إلى {\mathcal {O}}(-1)}$يتم الحصول عليها عن طريق الضرب في${\displaystyle t}$- أي أن لدينا وصفين متكافئين لنفس العائلة.

عندما يكتمل بشكل طبيعي${\displaystyle \mathbb {C} }$، يستمر الوصف الأول في إعطاء الامتداد${\displaystyle V_{0}={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$بما يتوافق مع${\displaystyle 1\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$أما الوصف الثاني، من ناحية أخرى، فيؤدي إلى الامتداد المنقسم${\displaystyle W_{0}\simeq {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$بما يتوافق مع${\displaystyle t=0\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$. الحزمتان، وبالتالي الإكمالان، غير متماثلتين.

إن مفهوم الاستقرار يتغلب على هذه المشكلة من خلال تقييد فئة الحزم التي قد تظهر في فضاء المعاملات، مع الحفاظ على الخصائص الجبرية الهندسية المرغوبة.

ميل حزمة متجهات هولومورفية W فوق منحنى جبري غير شاذ (أو فوق سطح ريمان ) هو عدد نسبي μ(W) = deg( W )/rank( W ). تكون الحزمة W مستقرة إذا وفقط إذا ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

لكل الحزم الفرعية V غير الصفرية الصحيحة من W ، ويكون شبه مستقر إذا

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

بالنسبة لجميع الحزم الفرعية غير الصفرية المناسبة V من W. بشكل غير رسمي، هذا يعني أن الحزمة مستقرة إذا كانت "أكثر وفرة " من أي حزمة فرعية مناسبة، وغير مستقرة إذا كانت تحتوي على حزمة فرعية "أكثر وفرة".

إذا كانت W و V حزم متجهات شبه مستقرة و μ(W) > μ (V) ، فلا توجد تطبيقات غير صفرية W → V.

أثبت مامفورد أن فضاء المعاملات للحزم المستقرة ذات الرتبة والدرجة المعطاة على منحنى غير شاذ هو تنوع جبري شبه إسقاطي . وقد وصف هاردر وناراسيمهان (1975) علم التماثل لفضاء المعاملات للحزم المتجهة المستقرة على منحنى باستخدام الهندسة الجبرية على الحقول المنتهية ، بينما وصفه أتياه وبوت (1983) باستخدام منهج ناراسيمهان-سيشادري .

إذا كانت X منوع إسقاطي أملس ذو بُعد m و H مقطعًا فائق المستوى ، فإن حزمة متجهة (أو حزمة خالية من الالتواء ) W تُسمى مستقرة (أو أحيانًا مستقرة وفقًا لـ Gieseker ) إذا

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ لـ }}n{\text{ كبير}}}$

لكل حزم فرعية (أو حزم فرعية) غير صفرية مناسبة V من W ، حيث χ ترمز إلى خاصية أويلر لحزمة متجهة جبرية ، وحزمة المتجهات V(nH) تعني الالتواء النوني لـ V بواسطة H. يُطلق على W اسم شبه مستقر إذا تحقق ما سبق مع استبدال < بـ ≤.

بالنسبة للحزم على المنحنيات، يتطابق الاستقرار المحدد بالميول ونمو متعددة حدود هيلبرت. في الأبعاد الأعلى، يختلف هذان المفهومان ولكل منهما مزاياه الخاصة. يُفسَّر استقرار جيسيكر من خلال نظرية الثوابت الهندسية ، بينما يتمتع استقرار μ بخصائص أفضل بالنسبة لحاصل الضرب الموتري ، وعمليات السحب العكسي ، وما إلى ذلك.

ليكن X منوعًا إسقاطيًا أملسًا ذو بُعد n ، و H مقطعه الفائق المستوي . ميل حزمة متجهة (أو، بشكل أعم، حزمة متماسكة خالية من الالتواء ) E بالنسبة إلى H هو عدد نسبي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

حيث c _{1 هي} فئة تشيرن الأولى . غالبًا ما يتم حذف الاعتماد على H من الترميز.

تكون الحزمة المتماسكة الخالية من الالتواء E شبه مستقرة من النوع μ إذا كانت ميول أي حزمة فرعية غير صفرية F ⊆ E تحقق المتباينة μ(F) ≤ μ(E). وتكون مستقرة من النوع μ إذا تحققت، بالإضافة إلى ذلك، المتباينة الصارمة μ(F) < μ(E) لأي حزمة فرعية غير صفرية F ⊆ E ذات رتبة أصغر. يُطلق على هذا المفهوم للاستقرار اسم استقرار الميل، أو استقرار μ، أو أحيانًا استقرار مامفورد، أو استقرار تاكيموتو.

بالنسبة لحزمة متجهة E، فإن سلسلة الاستدلالات التالية صحيحة: E مستقرة μ ⇒ E مستقرة ⇒ E شبه مستقرة ⇒ E شبه مستقرة μ.

ليكن E حزمة متجهة فوق منحنى إسقاطي أملس X. عندئذٍ يوجد ترشيح وحيد بواسطة الحزم الفرعية .

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

بحيث تكون المكونات المتدرجة المرتبطة بها F _i  := E _{i +1} / E _i عبارة عن حزم متجهة شبه مستقرة، وتتناقص ميولها، μ( F _i ) > μ( F _{i +1} ). وقد طُرح هذا الترشيح في دراسة هاردر وناراسيمهان (1975) ويُسمى ترشيح هاردر-ناراسيمهان . وتُسمى حزمتان متجهتان لهما درجات مرتبطة متماثلة بـ S-متكافئتان .

في الأصناف ذات الأبعاد الأعلى، توجد عملية الترشيح دائمًا وتكون فريدة، ولكن قد لا تكون المكونات المتدرجة المرتبطة بها حزمًا. ولضمان استقرار جيسيكر، ينبغي استبدال المتباينات بين المنحدرات بمتباينات بين كثيرات حدود هيلبرت.

تنص نظرية ناراسيمهان-سيشادري على أن الحزم المستقرة على منحنى إسقاطي غير منفرد هي نفسها تلك التي لها اتصالات وحدوية غير قابلة للاختزال مسطحة إسقاطيًا . بالنسبة للحزم من الدرجة 0، تكون الاتصالات المسطحة إسقاطيًا مسطحة ، وبالتالي فإن الحزم المستقرة من الدرجة 0 تُقابل تمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال للمجموعة الأساسية .

افترض كوباياشي وهيتشين وجود نظير لهذا في الأبعاد الأعلى. وقد أثبت دونالدسون (1985) ذلك بالنسبة للأسطح الإسقاطية غير المنفردة ، حيث بيّن أنه في هذه الحالة تكون حزمة المتجهات مستقرة إذا وفقط إذا كان لها اتصال هيرميتي-أينشتاين غير قابل للاختزال .

من الممكن تعميم استقرار (μ) ليشمل المخططات الإسقاطية غير الملساء والحزم المتماسكة الأكثر عمومية باستخدام متعددة حدود هيلبرت . ليكن X مخططًا إسقاطيًا ، وd عددًا طبيعيًا، _و E حزمة متماسكة على X حيث بُعد Supp( E ) يساوي d . اكتب متعددة حدود هيلبرت لـ E على الصورة P ( _E ( m )) = Σ ^dᵢ _{= 0} αᵢ ( E ) / (i ! ) ᵢ ^. عرّف متعددة حدود هيلبرت المختزلة p( _E) := P _(E) / α _{d (} E ) . 

تكون الحزمة المتماسكة E شبه مستقرة إذا تحقق الشرطان التاليان: ^{[ 3 ]}

• E هو عدد نقي ذو بُعد d ، أي أن جميع الأعداد الأولية المرتبطة بـ E لها بُعد d ؛
• بالنسبة لأي حزمة فرعية غير صفرية مناسبة F ⊆ E، فإن كثيرات حدود هيلبرت المختزلة تحقق p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) لـ m كبيرة .

يُطلق على الحزمة اسم مستقرة إذا تحققت المتباينة الصارمة p _F ( m ) < p _E ( m ) لقيم m الكبيرة .

ليكن Coh _d (X) الفئة الفرعية الكاملة للحزم المتماسكة على X ذات بُعد ≤ d . يمكن تعريف ميل الجسم F في Coh _d باستخدام معاملات متعددة حدود هيلبرت كما يلي:${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$إذا كانت α _d ( F ) ≠ 0، و 0 فيما عدا ذلك. اعتماد${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$عادة ما يتم حذف "on d" من الترميز.

حزمة متماسكة E مع${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$يُطلق عليه اسم شبه مستقر μ إذا تحقق الشرطان التاليان: ^{[ 4 ]}

• يكون التواء E في البعد ≤ d -2؛
• لأي كائن فرعي غير صفري F ⊆ E في فئة القسمة Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) لدينا${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$.

تكون E مستقرة من النوع μ إذا تحققت المتباينة الصارمة لجميع الكائنات الفرعية غير الصفرية المناسبة من E.

لاحظ أن Coh _d هي فئة فرعية من فئة Serre لأي قيمة لـ d ، لذا فإن فئة القسمة موجودة. لا ينشأ الكائن الفرعي في فئة القسمة عمومًا من حزمة فرعية، ولكن بالنسبة للحزم الخالية من الالتواء، يكون التعريف الأصلي والتعريف العام لـ d = n متكافئين.

وهناك أيضاً اتجاهات أخرى للتعميمات، على سبيل المثال شروط استقرار بريدجلاند .

يمكن تعريف الحزم الرئيسية المستقرة قياساً على الحزم المتجهة المستقرة.

• مراسلات كوباياشي-هيتشين
• مراسلات كورليت-سيمبسون
• مخطط الاقتباس

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ بوت، راؤول (1983)، "معادلات يانغ-ميلز على أسطح ريمان"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية ، 308 (1505): 523-615 ، رمز Bibcode : 1983RSPTA.308..523A ، doi : 10.1098/rsta.1983.0017 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 37156 ، MR 0702806   
• دونالدسون، إس كيه (1985)، "اتصالات يانغ-ميلز المضادة للازدواجية الذاتية على الأسطح الجبرية المعقدة وحزم المتجهات المستقرة"، وقائع الجمعية الرياضية بلندن ، السلسلة الثالثة، 50 (1): 1-26 ، doi : 10.1112/plms/s3-50.1.1 ، ISSN 0024-6115 ، MR 0765366  
• فريدمان، روبرت (1998)، الأسطح الجبرية وحزم المتجهات الهولومورفية ، سلسلة Universitext، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-98361-5MR 1600388​ 
• هاردر، جي.؛ ناراسيمهان، إم إس (1975)، "حول مجموعات التماثل لفضاءات المعاملات لحزم المتجهات على المنحنيات"، حوليات الرياضيات ، 212 (3): 215-248 ، doi : 10.1007/BF01357141 ، ISSN 0025-5831 ، MR 0364254  
• هويبرختس، دانيال (18 نوفمبر 2004). الهندسة المعقدة: مقدمة . سلسلة يونيفرسيتكست. سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . رقم ISBN 978-3540212904.{{cite book}}صيانة CS1: السنة ( رابط )
• هويبرختس، دانيال ؛ لين، مانفريد (2010)، هندسة فضاءات المعاملات للحزم ، مكتبة كامبريدج الرياضية (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0521134200
• مومفورد، ديفيد (1963)، "الثوابت الإسقاطية للهياكل الإسقاطية وتطبيقاتها"، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (ستوكهولم، 1962) ، ديورشولم: معهد ميتاغ-ليفلر، ص 526-530 ، MR 0175899  
• مومفورد, ديفيد ; فوجارتي، J.؛ Kirwan، F. (1994)، النظرية الهندسية الثابتة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (2)]، المجلد.  34 (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906​ وخاصة الملحق 5C.
• ناراسيمهان، إم إس؛ سيشادري، سي إس (1965)، "حزم متجهة مستقرة ووحدوية على سطح ريمان مضغوط"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 82 (3)، حوليات الرياضيات، المجلد 82، العدد 3: 540-567 ، doi : 10.2307/1970710 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970710 ، MR 0184252