خاتم مصنف مرتبط

في الرياضيات ، الحلقة المتدرجة المرتبطة بحلقة R بالنسبة إلى مثالي مناسب I هي الحلقة المتدرجة :

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

وبالمثل، إذا كانت M وحدة نمطية يسارية R ، فإن الوحدة النمطية المتدرجة المرتبطة بها هي الوحدة النمطية المتدرجة على${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$:

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$.

بالنسبة لحلقة R ومثالي I ، فإن الضرب في${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$يُعرَّف على النحو التالي: أولاً، ضع في اعتبارك العناصر المتجانسة${\displaystyle a\in I^{i}/I^{i+1}}$و${\displaystyle b\in I^{j}/I^{j+1}}$ولنفترض${\displaystyle a'\in I^{i}}$هو ممثل لـ و${\displaystyle b'\in I^{j}}$يمثل b . ثم عرّف${\displaystyle ab}$أن تكون فئة التكافؤ لـ${\displaystyle a'b'}$في${\displaystyle I^{i+j}/I^{i+j+1}}$لاحظ أن هذا مُعرَّف جيدًا بتردد${\displaystyle I^{i+j+1}}$يتم تعريف ضرب العناصر غير المتجانسة باستخدام خاصية التوزيع .

يمكن ربط حلقة أو وحدة نمطية بحلقة أو وحدة نمطية متدرجة مرتبطة بها من خلال خريطة الشكل الأولي . ليكن M وحدة نمطية على R و I مثاليًا في R.${\displaystyle f\in M}$، الشكل الأولي لـ f في${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$، مكتوب${\displaystyle \mathrm {in} (f)}$، هي فئة التكافؤ لـ f في${\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}$حيث m هو أكبر عدد صحيح بحيث${\displaystyle f\in I^{m}M}$. لو${\displaystyle f\in I^{m}M}$لكل m ، ثم اضبط${\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}$إنّ دالة الشكل الأولي هي مجرد دالة للمجموعات وليست عادةً تماثلاً . بالنسبة للوحدة الفرعية${\displaystyle N\subset M}$،${\displaystyle \mathrm {in} (N)}$يُعرَّف بأنه الوحدة الفرعية لـ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}$قد لا يكون هذا هو نفسه الوحدة الفرعية لـ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$يتم توليدها بواسطة الأشكال الأولية الوحيدة لمولدات N.

ترث الحلقة بعض الخصائص "الجيدة" من حلقتها المتدرجة المرتبطة بها. على سبيل المثال، إذا كانت R حلقة محلية نوثرية ، و${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$إذا كانت R مجالًا تكامليًا ، فإن R نفسها مجال تكاملي. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle N\subset M}$لنفترض أن لدينا وحدات متبقية على حلقة R و I مثاليًا في R.

${\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}$

(المساواة الأخيرة هي بموجب قانون النمط )، هناك تعريف قانوني: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}$

أين

${\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}$

يُطلق عليها اسم الوحدة الفرعية التي تم إنشاؤها بواسطة الأشكال الأولية لعناصر${\displaystyle N}$.

ليكن U الجبر الشامل لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل k ؛ يتم ترشيحه حسب الدرجة. تنص نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت على أن${\displaystyle \operatorname {gr} U}$هي حلقة متعددة الحدود؛ في الواقع، هي حلقة الإحداثيات${\displaystyle k[{\mathfrak {g}}^{*}]}$.

الجبر المتدرج المرتبط بجبر كليفورد هو جبر خارجي؛ أي أن جبر كليفورد يتحول إلى جبر خارجي .

يمكن تعريف التدرج المرتبط بشكل أعم للترشيحات التنازلية المضاعفة لـ R (انظر أيضًا الحلقة المُرشّحة ). ليكن F سلسلة تنازلية من المُثُل على الصورة

${\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }$

بحيث${\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}$الحلقة المتدرجة المرتبطة بهذا الترشيح هي${\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}$يتم تعريف عملية الضرب وخريطة الشكل الأولي كما هو موضح أعلاه.

• مُصنّف (رياضيات)
• جبر ريس

• أيزنبد، ديفيد (1995). الجبر التبادلي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  150. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8MR 1322960 .​ 
• ماتسومورا، هيديوكي (1989). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  8. ترجمة من اليابانية بقلم م. ريد (  الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36764-6MR 1011461 .​ 
• زاريسكي، أوسكار ؛ صموئيل، بيير (1975)، الجبر التبادلي. المجلد الثاني ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90171-8، MR 0389876