نظرية الاستبعاد

في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية ، تعتبر نظرية الحذف هي الاسم الكلاسيكي للأساليب الخوارزمية لحذف بعض المتغيرات بين كثيرات الحدود لعدة متغيرات، من أجل حل أنظمة المعادلات متعددة الحدود .

بلغت نظرية الحذف الكلاسيكية ذروتها مع عمل فرانسيس ماكولاي حول المحصلات متعددة المتغيرات ، كما هو موضح في فصل نظرية الحذف في الطبعات الأولى (1930) من كتاب بارتل فان دير فاردن " الجبر الحديث ". بعد ذلك، تجاهل معظم علماء الهندسة الجبرية نظرية الحذف لما يقرب من ثلاثين عامًا، إلى أن ظهرت طرق جديدة لحل المعادلات متعددة الحدود، مثل قواعد غروبنر ، التي كانت ضرورية للجبر الحاسوبي .

لقد كان مجال نظرية الحذف مدفوعًا بالحاجة إلى طرق لحل أنظمة المعادلات متعددة الحدود .

كانت إحدى النتائج الأولى هي نظرية بيزو ، التي تحدد عدد الحلول.

باستثناء نظرية بيزو، كان النهج العام هو التخلص من المتغيرات لتقليل المشكلة إلى معادلة واحدة في متغير واحد.

تم حل مسألة المعادلات الخطية بالكامل باستخدام طريقة الحذف الغاوسي ، وهي طريقة مُحسّنة عن طريقة قاعدة كرامر القديمة ، التي لا تعتمد على الحذف، وتعمل فقط عندما يتساوى عدد المعادلات مع عدد المتغيرات. وفي القرن التاسع عشر، تم توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل المعادلات الديوفانتية الخطية والمجموعات الأبيلية باستخدام الصيغة المعيارية لهيرميت والصيغة المعيارية لسميث .

قبل القرن العشرين، تم تقديم أنواع مختلفة من أدوات الحذف ، بما في ذلك المحصلات ، وأنواع مختلفة من المميزات . وبشكل عام، فإن أدوات الحذف هذه ثابتة أيضًا في ظل تغييرات مختلفة للمتغيرات، وهي أساسية في نظرية الثبات .

جميع هذه المفاهيم فعّالة، بمعنى أن تعريفاتها تتضمن طريقة حسابية. في حوالي عام ١٨٩٠، قدّم ديفيد هيلبرت طرقًا غير فعّالة، واعتُبر ذلك ثورةً دفعت معظم علماء الهندسة الجبرية في النصف الأول من القرن العشرين إلى محاولة "إلغاء الحذف". مع ذلك، يمكن اعتبار نظرية هيلبرت الصفرية (Nullstellensatz) جزءًا من نظرية الحذف، إذ تنص على أن نظام المعادلات متعددة الحدود لا يملك حلًا إلا إذا أمكن حذف جميع المجاهيل للحصول على المعادلة الثابتة ١ = ٠.

بلغت نظرية الحذف ذروتها مع عمل ليوبولد كرونكر ، وأخيراً ماكولي ، الذي قدم النتائج متعددة المتغيرات والنتائج U ، مما يوفر طرق حذف كاملة لأنظمة المعادلات متعددة الحدود، والتي تم وصفها في الفصل الخاص بنظرية الحذف في الطبعات الأولى (1930) من كتاب الجبر الحديث لفان دير فاردن .

لاحقًا، اعتُبرت نظرية الحذف قديمة الطراز، وأُزيلت من الطبعات اللاحقة لكتاب "الجبر الحديث" . وتم تجاهلها عمومًا حتى ظهور الحواسيب ، وتحديدًا الجبر الحاسوبي ، الذي أعاد أهمية تصميم خوارزميات حذف فعّالة، بدلًا من الاكتفاء بنتائج الوجود والبنية. وتتمثل الطرق الرئيسية لتجديد نظرية الحذف في قواعد غروبنر والتحليل الجبري الأسطواني ، اللذين طُرحا حوالي عام ١٩٧٠.

لنظرية الحذف جانب منطقي أيضًا، كما يتضح في مسألة قابلية الإرضاء البوليانية . في أسوأ الأحوال، يُفترض صعوبة حذف المتغيرات حسابيًا. يُستخدم مصطلح حذف الكميات في المنطق الرياضي لشرح أنه في بعض النظريات، تكون كل صيغة مكافئة لصيغة بدون كميات. هذا هو الحال في نظرية كثيرات الحدود على حقل مغلق جبريًا ، حيث يمكن اعتبار نظرية الحذف بمثابة نظرية طرق لجعل حذف الكميات فعالًا حسابيًا. يُعد حذف الكميات على الأعداد الحقيقية مثالًا آخر، وهو أساسي في الهندسة الجبرية الحسابية .

• خوارزمية بوخبيرغر
• خوارزميات F4 و F5 لفوغير
• النتيجة
• التفكيك المثلثي
• النظرية الرئيسية لنظرية الحذف

• إسرائيل جلفاند ، ميخائيل كابرانوف، أندريه زيليفينسكي ، التمييزات والمحصلات والمحددات متعددة الأبعاد . الرياضيات: النظرية والتطبيقات. Birkhäuser Boston، Inc.، Boston، MA، 1994. x+523 ص. ISBN 0-8176-3660-9
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• ديفيد كوكس ، جون ليتل ، دونال أوشيا ، استخدام الهندسة الجبرية . الطبعة الثانية المنقحة. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 185. سبرينغر-فيرلاغ ، 2005، 558 صفحة + 12 صفحة تمهيدية، رقم ISBN 978-0-387-20733-9