متجه ذو n عنصر

إن تمثيل المتجه n (يسمى أيضًا المتجه العمودي الجيوديسي أو المتجه العمودي الإهليلجي ) هو تمثيل غير منفرد ذو ثلاثة معلمات مناسب تمامًا لاستبدال الإحداثيات الجيوديسية ( خط العرض وخط الطول ) لتمثيل الموقع الأفقي في العمليات الحسابية والخوارزميات الحاسوبية.

هندسيًا، يُعرَّف المتجه ذو البعد n لموقع معين على سطح إهليلجي بأنه متجه الوحدة المتجه للخارج والعمودي على سطح الإهليلج في ذلك الموقع. ولتمثيل المواقع الأفقية على سطح الأرض، يُستخدم سطح إهليلجي كمرجع ، ويُحلَّل المتجه في نظام إحداثيات مركزه الأرض وثابت حولها . ويتصرف هذا المتجه بسلاسة عند جميع المواقع على سطح الأرض، ويتمتع بخاصية التناظر الأحادي الرياضية .

بشكل أعم، يمكن تطبيق هذا المفهوم لتمثيل المواضع على حدود مجموعة جزئية محدبة ومحدودة تمامًا من فضاء إقليدي ذي k بُعد، شريطة أن تكون تلك الحدود متعددة الشعب قابلة للتفاضل . في هذه الحالة العامة، يتكون المتجه ذو n بُعد من k معلمات.

يمكن استخدام متجه عمودي على سطح محدب تمامًا لتحديد موضع السطح بشكل فريد. المتجه ذو البعد n هو متجه عمودي متجه للخارج بطول وحدة واحدة ، ويُستخدم كتمثيل للموضع. ^{[ 1 ]}

في معظم التطبيقات، يُعتبر السطح هو الشكل الإهليلجي المرجعي للأرض، وبالتالي يُستخدم المتجه ذو البعد n لتمثيل الموقع الأفقي. ومن ثم، فإن الزاوية بين المتجه ذي البعد n والمستوى الاستوائي تُقابل خط العرض الجيوديسي ، كما هو موضح في الشكل.

يتمتع موضع السطح بدرجتي حرية ، وبالتالي يكفي وجود مُعاملين لتمثيل أي موضع على السطح. على سطح الإهليلج المرجعي، يُعدّ خط العرض وخط الطول من المُعاملات الشائعة لهذا الغرض، ولكن كجميع التمثيلات ذات المُعاملين ، فإنهما يحتويان على نقاط شاذة . وهذا يُشبه التوجيه ، الذي يتمتع بثلاث درجات حرية، ولكن جميع التمثيلات ذات الثلاثة مُعاملات تحتوي على نقاط شاذة. ^{[ 2 ]} في كلتا الحالتين، يتم تجنب النقاط الشاذة بإضافة مُعامل إضافي، أي باستخدام مُتجه ذي n مُعامل (ثلاثة مُعاملات) لتمثيل الموضع الأفقي، ورباعي وحدة (أربعة مُعاملات) لتمثيل التوجيه .

المتجه n هو تمثيل واحد لواحد ، مما يعني أن أي موضع على السطح يتوافق مع متجه n فريد واحد ، وأي متجه n يتوافق مع موضع سطح فريد واحد.

باعتباره متجهًا إقليديًا ثلاثي الأبعاد ، يمكن استخدام جبر المتجهات ثلاثي الأبعاد القياسي لحسابات الموضع، مما يجعل المتجه ذو البعد n مناسبًا تمامًا لمعظم حسابات الموضع الأفقي. للمقارنة العامة بين التمثيلات المختلفة، راجع صفحة تمثيلات الموضع الأفقي .

استنادًا إلى تعريف نظام الإحداثيات ECEF ، المسمى e ، من الواضح أن الانتقال من خط العرض/خط الطول إلى متجه ذي n بُعد يتم عن طريق:

${\displaystyle \mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{matrix}\cos(\mathrm {latitude} )\cos(\mathrm {longitude} )\\\cos(\mathrm {latitude} )\sin(\mathrm {longitude} )\\\sin(\mathrm {latitude} )\\\end{matrix}}\right]}$

يشير الرمز e العلوي إلى أن المتجه ذي n عنصرًا يُحلل في نظام الإحداثيات e (أي أن العنصر الأول هو الإسقاط القياسي للمتجه ذي n عنصرًا على المحور x لنظام الإحداثيات e ، والثاني على المحور y لنظام الإحداثيات e، وهكذا). لاحظ أن المعادلة دقيقة لكل من نموذج الأرض الكروي والبيضاوي.

من المكونات الثلاثة للمتجه ذي البعد n ،${\displaystyle n_{x}^{e}}$،${\displaystyle n_{y}^{e}}$، و${\displaystyle n_{z}^{e}}$يمكن إيجاد خط العرض باستخدام:

${\displaystyle \mathrm {latitude} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)}$

يُعد التعبير الموجود في أقصى اليمين هو الأنسب لتنفيذ برامج الحاسوب. ^{[ 1 ]}

يتم تحديد خط الطول باستخدام:

${\displaystyle \mathrm {longitude} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)}$

في هذه التعبيرات${\displaystyle \arctan(y/x)}$يجب تنفيذ ذلك باستخدام استدعاء الدالة atan2 ( y , x ). يتضح تفرد القطب في خط الطول حيث أن الدالة atan2 (0,0) غير معرفة. تجدر الإشارة إلى أن المعادلات دقيقة لكل من نموذج الأرض الكروي والبيضاوي.

عادةً ما يتم حساب المسافة على طول الدائرة العظمى بين موقعين أفقيين (بافتراض كروية الأرض) باستخدام خطوط العرض والطول. تُستخدم ثلاث صيغ شائعة لهذه المسافة؛ الأولى تعتمد على دالة جيب التمام العكسية (arccos )، والثانية على دالة الجيب العكسية (arcsin )، والأخيرة على دالة الظل العكسية (arctan) . هذه الصيغ، التي تزداد تعقيدًا تدريجيًا لتجنب عدم الاستقرار العددي ، يصعب إيجادها، ونظرًا لاعتمادها على خطوط العرض والطول، فقد تُشكل النقاط القطبية مشكلة. كما أنها تحتوي على فروق في خطوط العرض والطول، والتي يجب استخدامها بحذر بالقرب من خط الزوال ± 180° والقطبين.

يُعدّ حلّ المسألة نفسها باستخدام متجه ذي n بُعدًا أبسط نظرًا لإمكانية استخدام الجبر المتجهي . يُستنتج تعبير arccos من الضرب القياسي ، بينما يُعطي مقدار الضرب الاتجاهي تعبير arcsin. بدمج الاثنين نحصل على تعبير arctan: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _ {b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{محاذاة}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {n} _{a}}$و${\displaystyle \mathbf {n} _{b}}$تمثل المتجهات ذات البعد n الموضعين a و b .${\displaystyle \Delta \sigma }$يمثل هذا الفرق الزاوي، وبالتالي تُحسب المسافة على طول الدائرة العظمى بضربها في نصف قطر الأرض. وينطبق هذا التعبير أيضاً عند القطبين وعلى خط الزوال ±180°.

يُعد المتجه ذو البعد n مناسبًا أيضًا للحسابات الشائعة مثل:

• الموضع المُستنتج
• الموضع المتوسط/المركزي (نقطة المنتصف بين عدة مواضع)
• متوسط ​​الموقع المرجح (على سبيل المثال، لنقاط البيانات الجغرافية)
• تقاطع مسارين
• المسافة العرضية (خطأ المسار العرضي)
• المسافة على طول المسار
• المسافة الإقليدية
• الموقع المثلثي
• الموقع المطلق بالإضافة إلى موقع دلتا (قد يكون موقع دلتا هو السمت والمسافة)
• الفرق بين المواضع المطلقة
• المسألتان الجيوديسيتان الأولى والثانية (المباشرة/العكسية)
• حدد اتجاهي الشمال والشرق
• أوجد المركبات الأفقية والرأسية للمتجه

يمكن العثور على المعادلات والرموز البرمجية لهذه الحسابات في الروابط الخارجية أدناه أو في المرجع ^{[ 1 ]} . ستعمل الحسابات بكفاءة متساوية على مسافات طويلة، ولأي مواقع عالمية.

• مسارات تقسيم الأرض
• تمثيل الموضع الأفقي
• خط العرض
• خط الطول
• نظام الإحداثيات العالمي المستعرض ميركاتور
• الرباعي

• حل 10 مسائل باستخدام المتجه ذي البعد n
• مكتبات المتجهات من الرتبة n على GitHub بلغات Python وC++ وJava وC# ومعظم اللغات الأخرى