دالة شبه تحليلية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ فئة الدوال شبه التحليلية تعميمًا لفئة الدوال التحليلية الحقيقية ، استنادًا إلى الحقيقة التالية: إذا كانت f دالة تحليلية على الفترة [ a , b ] ⊂ R ، وكانت f وجميع مشتقاتها تساوي صفرًا عند نقطة ما ، فإن f تساوي صفرًا تمامًا على كامل الفترة [ a , b ]. وتُعدّ الفئات شبه التحليلية فئات أوسع من الدوال التي لا تزال هذه الحقيقة صحيحة بالنسبة لها.  

التعريفات

يتركم={مك}ك=0∞{\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}لتكن متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة . عندئذٍ، تُعرَّف فئة دينجوي-كارلمان للدوال C <sub> M</sub> ([ a , b ]) بأنها تلك الدوال f ∈ C <sub>∞</sub> ([ a , b ]) التي تحقق  

|دكودxك(x)|≤أك+1ك!مك{\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}

لكل x ∈ [ a , b ]، وثابت ما A ، وجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة k . إذا كان M k = 1، فهذه هي بالضبط فئة الدوال التحليلية الحقيقية على [ a , b ].    

يُقال إن الفئة C M ([ a , b ]) شبه تحليلية إذا كان f ∈ C M ([ a , b ]) و  

دكودxك(x)=0{\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}

بالنسبة لبعض النقاط x ∈ [ a , b ] وجميع k ، فإن f تساوي الصفر تمامًا.  

تُسمى الدالة f دالة شبه تحليلية إذا كانت f تنتمي إلى فئة شبه تحليلية ما.

الدوال شبه التحليلية لعدة متغيرات

لوظيفةو:Rن→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }والفهارس المتعددةج=(ج1،ج2،...،جن)∈شمالن{\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}، يدل|ج|=ج1+ج2+...+جن{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}، و

دج=∂ج∂x1ج1∂x2ج2...∂xنجن{\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}
ج!=ج1!ج2!...جن!{\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}

و

xج=x1ج1x2ج2...xنجن.{\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}

ثمو{\displaystyle f}يُطلق عليه اسم شبه تحليلي على المجموعة المفتوحةيو⊂Rن{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}إذا لكل مجموعةك⊂يو{\displaystyle K\subset U}هناك ثابتأ{\displaystyle A}بحيث

|دجو(x)|≤أ|ج|+1ج!م|ج|{\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}

لجميع الفهارس المتعددةج∈شمالن{\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}وجميع النقاطx∈ك{\displaystyle x\in K}.

فئة دوال دينجوي-كارلمانن{\displaystyle n}المتغيرات المتعلقة بالتسلسلم{\displaystyle M}في موقع التصويريو{\displaystyle U}يمكن الإشارة إلىجنم(يو){\displaystyle C_{n}^{M}(U)}على الرغم من وجود العديد من الرموز الأخرى.

فئة دينجوي-كارلمانجنم(يو){\displaystyle C_{n}^{M}(U)}يقال إنها شبه تحليلية عندما تكون الدالة الوحيدة فيها التي تساوي جميع مشتقاتها الجزئية صفرًا عند نقطة ما هي الدالة التي تساوي صفرًا بشكل مطابق.

يقال إن دالة لعدة متغيرات شبه تحليلية عندما تنتمي إلى فئة Denjoy–Carleman شبه التحليلية.

الفئات شبه التحليلية فيما يتعلق بالمتتاليات المحدبة لوغاريتميًا

في التعريفات المذكورة أعلاه، من الممكن افتراض أنم1=1{\displaystyle M_{1}=1}وأن التسلسلمك{\displaystyle M_{k}}غير متناقصة.

التسلسلمك{\displaystyle M_{k}}يُقال إنها محدبة لوغاريتميًا ، إذا

مك+1/مك{\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}يتزايد.

متىمك{\displaystyle M_{k}}إذا كانت محدبة لوغاريتميًا،(مك)1/ك{\displaystyle (M_{k})^{1/k}}يتزايد و

مرمs≤مر+s{\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}للجميع(ر،s)∈شمال2{\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}.

الفئة شبه التحليليةجنم{\displaystyle C_{n}^{M}}بالنسبة لمتتالية محدبة لوغاريتميًام{\displaystyle M}يرضي:

  • جنم{\displaystyle C_{n}^{M}}هي حلقة. وعلى وجه الخصوص، فهي مغلقة تحت عملية الضرب.
  • جنم{\displaystyle C_{n}^{M}}مغلق تحت التركيب. تحديداً، إذاو=(و1،و2،...وص)∈(جنم)ص{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}وز∈جصم{\displaystyle g\in C_{p}^{M}}، ثمز∘و∈جنم{\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}.

نظرية دينجوي-كارلمان

تُقدّم نظرية دينجوي-كارلمان، التي أثبتها كارلمان (1926) بعد أن قدّم دينجوي (1921) بعض النتائج الجزئية، معاييرَ على المتتالية M التي بموجبها تُعتبر C<sub> M </sub> ([ a , b ]) فئةً شبه تحليلية. وتنص على أن الشروط التالية متكافئة:

  • C M ([ a , b ]) شبه تحليلي.
  • ∑1/لج=∞{\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }أينلج=معلوماتك≥ج(ك⋅مك1/ك){\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}.
  • ∑ج1ج(مج*)-1/ج=∞{\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }، حيث M j * هي أكبر متتالية لوغاريتمية محدبة محدودة من الأعلى بواسطة M j .
  • ∑جمج-1*(ج+1)مج*=∞.{\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}

إن البرهان على أن الشرطين الأخيرين متكافئان مع الشرط الثاني يستخدم متباينة كارلمان .

مثال: أشار دينجوي (1921) إلى أنه إذا كانت M n معطاة بإحدى المتتاليات

1،(ln⁡ن)ن،(ln⁡ن)ن(ln⁡ln⁡ن)ن،(ln⁡ن)ن(ln⁡ln⁡ن)ن(ln⁡ln⁡ln⁡ن)ن،...،{\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}

إذن، الفئة المقابلة شبه تحليلية. أما المتتالية الأولى فتعطي دوال تحليلية.

خصائص إضافية

بالنسبة للمتتالية المحدبة لوغاريتميًام{\displaystyle M}تتحقق الخصائص التالية للفئة المقابلة من الدوال:

  • جم{\displaystyle C^{M}}تحتوي على الدوال التحليلية، وهي تساويها إذا وفقط إذارشفةج≥1(مج)1/ج<∞{\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }
  • لوشمال{\displaystyle N}وهي متتالية محدبة لوغاريتميًا أخرى، معمج≤ججشمالج{\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}لبعض الثوابتج{\displaystyle C}، ثمجم⊂جشمال{\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}.
  • جم{\displaystyle C^{M}}يكون مستقراً تحت التفاضل إذا وفقط إذارشفةج≥1(مج+1/مج)1/ج<∞{\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }.
  • لأي دالة قابلة للتفاضل بلا حدودو{\displaystyle f}توجد حلقات شبه تحليليةجم{\displaystyle C^{M}}وجشمال{\displaystyle C^{N}}والعناصرز∈جم{\displaystyle g\in C^{M}}، وح∈جشمال{\displaystyle h\in C^{N}}بحيثو=ز+ح{\displaystyle f=g+h}.

قسم وييرشتراس

وظيفةز:Rن→R{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }يقال إنه نظام منتظمد{\displaystyle d}بالنسبة إلىxن{\displaystyle x_{n}}لوز(0،xن)=ح(xن)xند{\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}وح(0)≠0{\displaystyle h(0)\neq 0}. منحز{\displaystyle g}النظاميد{\displaystyle d}بالنسبة إلىxن{\displaystyle x_{n}}خاتمأن{\displaystyle A_{n}}من الوظائف الحقيقية أو المعقدة لـن{\displaystyle n}يُقال إن المتغيرات تحقق شرط تقسيم فايرشتراس بالنسبة إلىز{\displaystyle g}إذا لكلو∈أن{\displaystyle f\in A_{n}}هنالكq∈أ{\displaystyle q\in A}، وح1،ح2،...،حد-1∈أن-1{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}بحيث

و=زq+ح{\displaystyle f=gq+h}معح(x′،xن)=∑ج=0د-1حج(x′)xنج{\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}.

في حين أن حلقة الدوال التحليلية وحلقة متسلسلات القوى الرسمية تحققان خاصية قسمة فايرشتراس، فإن الأمر نفسه لا ينطبق على الفئات شبه التحليلية الأخرى.

لوم{\displaystyle M}محدب لوغاريتميًا وجم{\displaystyle C^{M}}إذا لم تكن الدالة من فئة الدوال التحليلية،جم{\displaystyle C^{M}}لا يفي بشرط تقسيم فايرشتراس فيما يتعلق بـز(x1،x2،...،xن)=x1+x22{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}.

مراجع