بيتينسور

في الهندسة التفاضلية والنسبية العامة ، يُعرف الموتر الثنائي (أو الموتر المزدوج ^{[ 1 ]} ) بأنه كائن موتر يعتمد على نقطتين في فضاء متعدد الشعب ، على عكس الموترات العادية التي تعتمد على نقطة واحدة. ^{[ 2 ]} توفر الموترات الثنائية إطارًا لوصف العلاقات بين نقاط مختلفة في الزمكان ، وتُستخدم في دراسة ظواهر متنوعة في الزمكان المنحني .

الموتر الثنائي هو كائن موتر يعتمد على نقطتين في فضاء متعدد الشعب، بدلاً من نقطة واحدة كما هو الحال في الموترات العادية. ^{[ 3 ]} حقل الموتر الثنائي${\displaystyle B}$يمكن تعريفها رسميًا على أنها خريطة من متعدد الشعب الناتج إلى فضاء متجهي مناسب${\displaystyle B:M\times M\to V}$، أين${\displaystyle M}$هو مشعب أملس و${\displaystyle V}$يمثل الفضاء المتجهي المقابل للفضاء الموتري قيد الدراسة. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

بلغة حزم الألياف ، موتر ثنائي من النوع${\displaystyle (r,s,r',s')}$يُعرَّف بأنه جزء من حزمة الضرب الموتري الخارجي${\displaystyle T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M}$، أين${\displaystyle T_{s}^{r}M}$يشير إلى حزمة الموتر من الرتبة${\displaystyle (r,s)}$و${\displaystyle \boxtimes }$يمثل حاصل الضرب الموتري الخارجي${\displaystyle B\in \Gamma (T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M)}$، أين${\displaystyle \Gamma }$^{[ 3 ]} يشير إلى مساحة المقاطع.

يتم بناء حزمة منتج الموتر الخارجي على النحو التالي:$//$أين${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}}$هي عوامل إسقاط تُسقط على العوامل المعنية لمتشعب المنتج${\displaystyle M\times M}$، و${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}^{*}}$يشير إلى التراجع للحزم المعنية. ^{[ 3 ]}

في تدوين الإحداثيات، موتر ثنائي${\displaystyle T}$مع المكونات${\displaystyle T_{\alpha \beta '\ldots }^{\mu \nu '\ldots }(x,y)}$يحتوي على مؤشرات مرتبطة بنقطتين مختلفتين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في الفضاء المتعدد. وبحسب الاصطلاح، فإن المؤشرات غير المميزة (مثل${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \alpha }$تشير ) إلى النقطة الأولى، بينما تشير المؤشرات المميزة (مثل${\displaystyle \nu '}$،${\displaystyle \beta '}$) تشير إلى النقطة الثانية. أبسط مثال على الموتر الثنائي هو الحقل ثنائي القياس ، وهو دالة قياسية لنقطتين. تشمل التطبيقات النقل المتوازي ، ونوى الحرارة ، ودوال غرين المختلفة المستخدمة في نظرية الحقل الكمومي في الزمكان المنحني. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

طُوِّر مفهوم الموترات الثنائية رسميًا لأول مرة على يد عالم الرياضيات هارولد ستانلي روس في بحثه المنشور عام 1931 بعنوان "حساب التفاضل والتكامل الجزئي المطلق" في مجلة الرياضيات الفصلية . قدّم روس الموترات الثنائية كتعميم لحساب الموترات ليشمل الدوال المكونة من مجموعتين من المتغيرات، مُستعينًا بالتفاضل الجزئي في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي . طوّر روس الصيغة الرياضية لتحويلات الموترات الثنائية، والمشتقات المتغيرة ، والروابط العددية، واضعًا بذلك الأساس لما أسماه "حساب التفاضل والتكامل الجزئي المطلق". ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• النقل الموازي
• تراجع
• ناشر
• موتر انحناء ريمان
• تدفق ستوكس
• وظيفة العالم عند سينج