تدفق ستوكس

تمثل معادلات ستوكس تبسيطًا كبيرًا لمعادلات نافيير-ستوكس الكاملة ، لا سيما في حالة الموائع النيوتونية غير القابلة للانضغاط. ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ]} وهي تبسيط من الدرجة الأولى لمعادلات نافيير-ستوكس الكاملة، صالحة في الحد المميز${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

الفورية

لا يعتمد تدفق ستوكس على الزمن إلا من خلال الشروط الحدية المتغيرة مع الزمن . وهذا يعني أنه بمعرفة الشروط الحدية لتدفق ستوكس، يمكن إيجاد التدفق دون معرفة التدفق في أي وقت آخر.

قابلية عكس الزمن

نتيجة مباشرة للفورية، تعني قابلية انعكاس الزمن أن تدفق ستوكس المعكوس زمنيًا يحل نفس معادلات تدفق ستوكس الأصلي. يمكن أحيانًا استخدام هذه الخاصية (بالتزامن مع الخطية والتناظر في الشروط الحدية) لاستخلاص نتائج حول التدفق دون حله بالكامل. تعني قابلية انعكاس الزمن صعوبة مزج سائلين باستخدام التدفق الزاحف.

في حين أن هذه الخصائص صحيحة بالنسبة لتدفقات ستوكس النيوتونية غير القابلة للانضغاط، فإن الطبيعة غير الخطية وأحيانًا المعتمدة على الوقت للسوائل غير النيوتونية تعني أنها لا تنطبق في الحالة الأكثر عمومية.

يُمكن لنظام تايلور -كويت أن يُنشئ تدفقات صفائحية تتحرك فيها أسطوانات متحدة المركز من السائل فوق بعضها البعض في مسار حلزوني ظاهري. ^{[ 14 ]} يملأ سائل عالي اللزوجة، مثل شراب الذرة، الفجوة بين أسطوانتين، مع ظهور مناطق ملونة من السائل من خلال الأسطوانة الخارجية الشفافة. تدور الأسطوانات بالنسبة لبعضها البعض بسرعة منخفضة، مما يُؤدي، إلى جانب اللزوجة العالية للسائل وقلة سمك الفجوة، إلى انخفاض عدد رينولدز ، بحيث يكون المزج الظاهري للألوان صفائحيًا في الواقع ، ويمكن عكسه إلى الحالة الأولية تقريبًا. يُنتج هذا عرضًا توضيحيًا مذهلاً لعملية مزج سائل ظاهريًا ثم فصل مكوناته عن طريق عكس اتجاه الخلط. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

مع توسيع متجه السرعة على النحو التالي${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$وبالمثل متجه قوة الجسم${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$، يمكننا كتابة معادلة المتجهات بشكل صريح،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

نتوصل إلى هذه المعادلات من خلال افتراض أن${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$والكثافة${\displaystyle \rho }$ثابت. ^{[ 9 ]}

يُعد تدفق هيلي-شو مثالاً على هندسة تكون فيها قوى القصور الذاتي ضئيلة. ويُعرَّف هذا التدفق بلوحتين متوازيتين متقاربتين للغاية، حيث تشغل السوائل جزءًا من الفراغ بين اللوحين، بينما تشغل عوائق على شكل أسطوانات ذات مولدات عمودية على اللوحين. ^{[ 9 ]}

تُعدّ نظرية الأجسام النحيلة في تدفق ستوكس طريقة تقريبية بسيطة لتحديد مجال التدفق غير الدوراني حول الأجسام التي يكون طولها كبيرًا مقارنةً بعرضها. وتقوم هذه الطريقة على اختيار توزيع لنقاط تفرد التدفق على طول خط (نظرًا لنحافة الجسم) بحيث يحقق تدفقها غير الدوراني، بالإضافة إلى تيار منتظم، شرط انعدام السرعة العمودية تقريبًا. ^{[ 9 ]}

ينشأ الحل العام لهوراس لامب من حقيقة أن الضغط${\displaystyle p}$تُحقق هذه المعادلة معادلة لابلاس ، ويمكن توسيعها في سلسلة من التوافقيات الكروية الصلبة في الإحداثيات الكروية. ونتيجة لذلك، يمكن كتابة حل معادلات ستوكس على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$و${\displaystyle \chi _{n}}$هي توافقيات كروية صلبة من الرتبة${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

و${\displaystyle P_{n}^{m}}$هي كثيرات حدود ليجندر المرتبطة بها . يمكن استخدام حل لامب لوصف حركة المائع داخل أو خارج كرة. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لوصف حركة المائع حول جسيم كروي ذي تدفق سطحي محدد، وهو ما يُسمى بالجسيم المتحرك ، أو لوصف التدفق داخل قطرة سائل كروية. بالنسبة للتدفقات الداخلية، فإن الحدود مع${\displaystyle n<0}$يتم إسقاطها، بينما بالنسبة للتدفقات الخارجية، فإن الشروط ذات${\displaystyle n>0}$يتم إسقاطها (غالباً ما يكون هذا هو الاتفاق)${\displaystyle n\to -n-1}$يُفترض ذلك بالنسبة للتدفقات الخارجية لتجنب الفهرسة بالأرقام السالبة). ^{[ 1 ]}

يُلخص هنا مفهوم مقاومة السحب للكرة المتحركة، والمعروف أيضًا باسم حل ستوكس. بافتراض وجود كرة نصف قطرها${\displaystyle a}$، يسافر بسرعة${\displaystyle U}$، في سائل ستوكس ذي لزوجة ديناميكية${\displaystyle \mu }$قوة السحب${\displaystyle F_{D}}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

يُبدد حل ستوكس طاقة أقل من أي حقل متجه لولبي آخر له نفس سرعات الحدود: وهذا ما يُعرف بنظرية هيلمهولتز للحد الأدنى من التبديد . ^{[ 1 ]}

تنص نظرية لورنتز التبادلية على وجود علاقة بين تدفقين ستوكس في نفس المنطقة. لنفترض منطقة مملوءة بسائل${\displaystyle V}$محدد بسطح${\displaystyle S}$لنفترض أن حقول السرعة${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {u} '}$حل معادلات ستوكس في المجال${\displaystyle V}$، كل منها بمجالات إجهاد مقابلة${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$و${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$ثم يتحقق التساوي التالي:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

أين${\displaystyle \mathbf {n} }$هو المتجه العمودي للوحدة على السطح${\displaystyle S}$يمكن استخدام نظرية لورنتز التبادلية لإثبات أن تدفق ستوكس "ينقل" القوة والعزم الكليين دون تغيير من سطح داخلي مغلق إلى سطح خارجي محيط به. ^{[ 1 ]} كما يمكن استخدام نظرية لورنتز التبادلية لربط سرعة سباحة الكائنات الدقيقة، مثل البكتيريا الزرقاء ، بسرعة السطح التي تحددها تشوهات شكل الجسم بواسطة الأهداب أو الأسواط . ^{[ 19 ]} وقد استُخدمت نظرية لورنتز التبادلية أيضًا في سياق نظرية المرونة الهيدروديناميكية لاستنتاج قوة الرفع المؤثرة على جسم صلب يتحرك مماسًا لسطح واجهة مرنة عند أرقام رينولدز المنخفضة . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

قوانين فاكسين هي علاقات مباشرة تعبر عن عزمات الأقطاب المتعددة بدلالة التدفق المحيط ومشتقاته. وقد طورها هيلدينغ فاكسين لأول مرة لحساب القوة.${\displaystyle \mathbf {F} }$وعزم الدوران،${\displaystyle \mathbf {T} }$على سطح الكرة، تتخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mu }$هي اللزوجة الديناميكية،${\displaystyle a}$يمثل نصف قطر الجسيم،${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$هو التدفق المحيط،${\displaystyle \mathbf {U} }$هي سرعة الجسيم،${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$هي السرعة الزاوية للتدفق الخلفي، و${\displaystyle \mathbf {\omega } }$هي السرعة الزاوية للجسيم.

يمكن تعميم قوانين فاكسين لوصف عزم الأشكال الأخرى، مثل الأشكال الإهليلجية والكروية والقطرات الكروية. ^{[ 1 ]}