الموتر الديكارتي

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ،${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، الأساس القياسي هو e _x ، e _y ، e _z . يشير كل متجه أساس على طول المحاور x و y و z، وجميع المتجهات هي متجهات وحدة (أو معيارية)، لذا فإن الأساس متعامد .

في جميع أنحاء هذا النص، عند الإشارة إلى الإحداثيات الديكارتية في ثلاثة أبعاد ، يُفترض وجود نظام يميني وهذا أكثر شيوعًا بكثير من النظام اليساري في الممارسة العملية، انظر التوجيه (الفضاء المتجهي) لمزيد من التفاصيل.

بالنسبة للموترات الديكارتية من الرتبة 1، يمكن كتابة المتجه الديكارتي a جبريًا كمزيج خطي من متجهات الأساس e _x و e _y و e _z :

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}}$$

حيث تُرمز إحداثيات المتجه بالنسبة إلى الأساس الديكارتي بـ a _x و a _y و a _z . ومن الشائع والمفيد عرض متجهات الأساس كمتجهات عمودية.

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _ {\text{z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

عندما يكون لدينا متجه إحداثيات في تمثيل متجه عمودي:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

يُعد تمثيل متجه الصف مشروعًا أيضًا، على الرغم من أنه في سياق أنظمة الإحداثيات المنحنية العامة، يتم استخدام تمثيلات متجه الصف ومتجه العمود بشكل منفصل لأسباب محددة - انظر إلى تدوين أينشتاين والتباين المشترك والتباين العكسي للمتجهات لمعرفة السبب.

مصطلح "مكون" المتجه غامض: فقد يشير إلى:

• إحداثية محددة للمتجه مثل z (كمية قياسية)، وبالمثل بالنسبة لـ _x و y ، أو
• الإحداثي مضروبًا في متجه الأساس المقابل، وفي هذه الحالة يكون " المكون y " لـ a هو a _y e _y (متجه)، وبالمثل بالنسبة لـ x و z .

هناك تدوين أكثر عمومية وهو تدوين مؤشر الموتر ، والذي يتميز بمرونة القيم العددية بدلاً من تسميات الإحداثيات الثابتة.تُستبدل الرموز الديكارتية بمؤشرات الموتر في متجهات الأساس e _x ↦ e ₁ , e _y ↦ e ₂ , e _z ↦ e ₃ والإحداثيات a _x ↦ a ₁ , a _y ↦ a ₂ , a _z ↦ a _3. بشكل عام، تشير الرموز e ₁ , e ₂ , e ₃ إلى أي أساس، بينما تشير الرموز a ₁ , a ₂ , a ₃ إلى نظام الإحداثيات المقابل؛ مع العلم أنها هنا تقتصر على النظام الديكارتي. ثم:

$$//$$

من المتعارف عليه استخدام تدوين أينشتاين - حيث يمكن حذف علامة الجمع للجمع على مؤشر موجود مرتين بالضبط داخل مصطلح ما من أجل الإيجاز في التدوين:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

تتمثل إحدى مزايا استخدام الترميز الفهرسي على الترميزات الخاصة بالإحداثيات في استقلاليته عن بُعد الفضاء المتجهي الأساسي، أي أن التعبير نفسه في الطرف الأيمن يأخذ الشكل نفسه في الأبعاد الأعلى (انظر أدناه). سابقًا، كانت الرموز الديكارتية x و y و z مجرد رموز وليست مؤشرات . (من الشائع قول " i = x, y, z").

الموتر الثنائي T هو موتر من الرتبة الثانية يتكون من حاصل الضرب الموتري ⊗ لمتجهين ديكارتيين a و b ، ويكتب T = a ⊗ b . وبالمثل للمتجهات، يمكن كتابته كتركيبة خطية لأساس الموترات e _x ⊗ e _x ≡ e _xx ، e _x ⊗ e _y ≡ e _xy ، ...، e _z ⊗ e _z ≡ e _zz (الطرف الأيمن من كل متطابقة هو مجرد اختصار لا أكثر).

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}}$$

تمثيل كل موتر أساسي كمصفوفة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

عندئذٍ يمكن تمثيل T بشكل أكثر منهجية كمصفوفة:

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

انظر إلى ضرب المصفوفات لمعرفة العلاقة بين المصفوفات والضرب النقطي والضرب الموتري.

وبشكل أعم، سواء كان T ناتج ضرب موتر لمتجهين أم لا، فهو دائمًا عبارة عن تركيبة خطية من موترات الأساس ذات الإحداثيات T _xx ، T _xy ، ... ، T _zz :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}}$$

أما من حيث مؤشرات الموتر:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

وفي شكل مصفوفة:

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}}$$

تظهر الموترات من الرتبة الثانية بشكل طبيعي في الفيزياء والهندسة عندما تعتمد الكميات الفيزيائية على الاتجاه في النظام، وغالبًا ما يكون ذلك على شكل استجابة للمحفز. ويمكن توضيح ذلك رياضيًا من خلال أحد جوانب الموترات، وهي أنها دوال متعددة الخطية . فالموتر T من الرتبة الثانية الذي يأخذ متجهًا u ذا مقدار واتجاه معينين، سيعيد متجهًا v ذا مقدار واتجاه مختلفين عن u ، بشكل عام. ويقودنا الترميز المستخدم للدوال في التحليل الرياضي إلى كتابة v − T ( u ) ^{[ 1 ]} ، بينما يمكن التعبير عن الفكرة نفسها باستخدام ترميز المصفوفات والمؤشرات ^{[ 2 ]} (بما في ذلك اصطلاح الجمع)، على التوالي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}}$$

بمصطلح "خطي"، إذا كانت u = ρ r + σ s لمتغيرين قياسيين ρ و σ ومتجهين r و s ، فعندئذٍ في تدوينات الدالة والفهرس:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}}$$

وينطبق الأمر نفسه على تدوين المصفوفات. فجميع تدوينات الدالة والمصفوفة والفهرس تعني الشيء نفسه. توفر صيغ المصفوفات عرضًا واضحًا للمكونات، بينما تُسهّل صيغة الفهرس التعامل مع الصيغ جبريًا باستخدام الموترات بطريقة مُختصرة. يوفر كلا التدوينين التفسير الفيزيائي للاتجاهات ؛ فالمتجهات لها اتجاه واحد، بينما تربط الموترات من الرتبة الثانية اتجاهين معًا. ويمكن ربط فهرس الموتر أو رمز الإحداثيات باتجاه متجه الأساس.

يُعدّ استخدام الموترات من الرتبة الثانية الحد الأدنى لوصف التغيرات في مقادير واتجاهات المتجهات، إذ أن الضرب القياسي لمتجهين هو دائمًا كمية قياسية، بينما الضرب الاتجاهي لمتجهين هو دائمًا متجه زائف عمودي على المستوى المحدد بواسطة هذين المتجهين، لذا لا يمكن لهذه الضربات وحدها أن تُنتج متجهًا جديدًا بأي مقدار أو اتجاه. (انظر أدناه لمزيد من المعلومات حول الضرب القياسي والاتجاهي). يُعدّ الضرب الموتري لمتجهين موترًا من الرتبة الثانية، على الرغم من أنه لا يحمل في حد ذاته دلالة اتجاهية واضحة.

يمكن استكمال الفكرة السابقة: إذا استقبلت الدالة T متجهين p و q ، فإنها ستُرجع قيمة عددية r . في صيغة الدوال، نكتب r = T ( p , q ) ، بينما في صيغة المصفوفات والفهارس (بما في ذلك اصطلاح الجمع) على التوالي:

$${\displaystyle r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}}$$

الموتر T خطي بالنسبة لكلا متجهي الإدخال. عند كتابة المتجهات والموترات دون الإشارة إلى مكوناتها، ودون استخدام المؤشرات، يُوضع أحيانًا رمز النقطة ⋅ عند إجراء عمليات الجمع على المؤشرات (المعروفة بانكماش الموتر ). في الحالات المذكورة أعلاه: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}}$$

مستوحى من رمز الضرب النقطي:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}}$$

بشكلٍ أعم، يُعيد موتر من الرتبة m ، يأخذ n متجهًا (حيث n بين 0 و m شاملًا)، موترًا من الرتبة m − n ، انظر قسم "  الموترات كخرائط متعددة الخطية" لمزيد من التعميمات والتفاصيل. تنطبق المفاهيم المذكورة أعلاه أيضًا على المتجهات الزائفة بنفس طريقة انطباقها على المتجهات. يمكن أن تتغير المتجهات والموترات نفسها عبر الفضاء، وفي هذه الحالة لدينا حقول متجهة وحقول موترية ، ويمكن أن تعتمد أيضًا على الزمن.

فيما يلي بعض الأمثلة:

تطبيق أو إعطاء...	...إلى مادة أو شيء من...	...يؤدي إلى...	...في المادة أو الشيء، كما هو موضح في:
متجه الوحدة n	موتر إجهاد كوشي σ	قوة جر	${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$
السرعة الزاوية ω	عزم القصور الذاتي I	زخم زاوي J	${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$
		طاقة حركية دورانية T	${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$
المجال الكهربائي E	الموصلية الكهربائية σ	تدفق كثافة التيار J	${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E} }$
	الاستقطابية α (المرتبطة بالسماحية ε والحساسية الكهربائية χ E )	مجال استقطاب مستحث P	${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E} }$
المجال المغناطيسي H	النفاذية المغناطيسية μ	مجال مغناطيسي B​	${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {H} }$

بالنسبة لمثال التوصيل الكهربائي، ستكون رموز الفهرس والمصفوفة كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

أما بالنسبة للطاقة الحركية الدورانية T :

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

انظر أيضًا إلى المعادلة التكوينية لمزيد من الأمثلة المتخصصة.

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n على الأعداد الحقيقية،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُرمز إلى الأساس القياسي _{بـ e1} ، e2 ، e3 ، _... ، _en . _يشير كل متجه أساس ei _على طول المحور xi الموجب _، ويكون الأساس متعامدًا. يُعطى المركب j من ei بواسطة دالة كرونكر _دلتا .

$${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}}$$

متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يأخذ الشكل التالي:

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.}$$

وبالمثل بالنسبة للموتر من الرتبة الثانية أعلاه، لكل متجهين a و b في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

$${\displaystyle \mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

أو بشكل أعم:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.}$$

متجه الموضع x في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُعدّ المتجه مثالًا بسيطًا وشائعًا، ويمكن تمثيله في أي نظام إحداثيات . لنأخذ على سبيل المثال أنظمة الإحداثيات المستطيلة ذات القواعد المتعامدة فقط. من الممكن وجود نظام إحداثيات ذي هندسة مستطيلة إذا كانت متجهات الأساس متعامدة فيما بينها وغير مُعَيَّرة، وفي هذه الحالة يكون الأساس متعامدًا ولكنه ليس متعامدًا معياريًا . مع ذلك، فإن القواعد المتعامدة المعيارية أسهل في التعامل معها، وكثيرًا ما تُستخدم عمليًا. النتائج التالية صحيحة للقواعد المتعامدة المعيارية، وليست للقواعد المتعامدة.

في نظام إحداثيات مستطيل واحد، يكون للمتجه x كمتجه مضاد إحداثيات x ⁱ ومتجهات أساسية e _i ، بينما يكون له كمتجه مصاحب إحداثيات x _i ومتجهات أساسية مصاحبة e ⁱ ، ولدينا:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}}$$

في نظام إحداثيات مستطيلة آخر، يكون للمتجه x كمتجه مضاد إحداثيات x ⁱ وأساس e _i ، بينما يكون له كمتجه مرافق إحداثيات x _i وأساس e ⁱ ، ولدينا:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}}$$

كل إحداثية جديدة هي دالة لجميع الإحداثيات القديمة، والعكس صحيح بالنسبة للدالة العكسية :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

وبالمثل، فإن كل متجه أساس جديد هو دالة لجميع المتجهات القديمة، والعكس صحيح بالنسبة للدالة العكسية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

لكل i و j .

يكون المتجه ثابتًا تحت أي تغيير في الأساس ، فإذا تحولت الإحداثيات وفقًا لمصفوفة التحويل L ، فإن الأساسات تتحول وفقًا لمصفوفة المعكوس L⁻¹ ^، والعكس صحيح. إذا تحولت الإحداثيات وفقًا لمصفوفة المعكوس L⁻¹ ^، فإن الأساسات تتحول وفقًا لمصفوفة L. يُشار إلى الفرق بين كل من هذه التحويلات اصطلاحًا من خلال المؤشرات، حيث تُستخدم رموز علوية للدلالة على التباين العكسي ورموز سفلية للدلالة على التباين المشترك، ويتم تحويل الإحداثيات والأساسات خطيًا وفقًا للقواعد التالية:

عناصر متجهة	قانون التحويل المتغاير	قانون التحويل المتغير
الإحداثيات	${\displaystyle {\bar {x}}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{j}=x_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}}$
أساس	${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}}$	${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}={\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}}$
أي متجه	${\displaystyle {\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

حيث يمثل L _i ^j مدخلات مصفوفة التحويل (رقم الصف هو i ورقم العمود هو j ) و ( L ⁻¹ ) _i ^k يشير إلى مدخلات المصفوفة العكسية للمصفوفة L _i ^k .

إذا كانت L تحويلاً متعامداً ( مصفوفة متعامدة )، فإن الكائنات التي تتحول بواسطتها تُعرَّف على أنها موترات ديكارتية . وهذا يعني هندسياً أن نظام إحداثيات مستطيلة يُحوَّل إلى نظام إحداثيات مستطيلة آخر، حيث يُحفظ معيار المتجه x (وتُحفظ المسافات).

محدد L هو det( L ) = ±1 ، وهو ما يتوافق مع نوعين من التحويل المتعامد: ( +1 ) للدوران و ( −1 ) للدوران غير الصحيح (بما في ذلك الانعكاسات ) .

هناك تبسيطات جبرية كبيرة، ومنقولة المصفوفة هي معكوس تعريف التحويل المتعامد:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}}$$

من الجدول السابق، يتضح أن التحويلات المتعامدة للمتجهات المرافقة والمتجهات المعاكسة متطابقة. لا داعي للتمييز بين رفع وخفض الأسس ، وفي هذا السياق، وفي تطبيقات الفيزياء والهندسة، تُكتب الأسس عادةً برموز سفلية لتجنب الالتباس مع الأسس . سيتم خفض جميع الأسس في بقية هذه المقالة. يمكن تحديد الأسس المرفوعة والمخفضة الفعلية من خلال تحديد الكميات التي تمثل متجهات مرافقة أو متجهات معاكسة، وقواعد التحويل ذات الصلة.

تنطبق قواعد التحويل نفسها تمامًا على أي متجه a ، وليس فقط متجه الموضع. إذا لم تتحول مكوناته a _i وفقًا لهذه القواعد، فإن a ليس متجهًا.

على الرغم من التشابه بين التعبيرات أعلاه، ففي حالة تغيير الإحداثيات مثل x j  = L  ij  x i ، وتأثير موتر على متجه مثل b i  = T ij a j  ، فإن L ليس موترًا، بينما T موتر. في حالة تغيير الإحداثيات، L مصفوفة تُستخدم لربط نظامي إحداثيات مستطيلين ذوي أساسات متعامدة. أما في حالة الموتر الذي يربط متجهًا بمتجه آخر، فإن جميع المتجهات والموترات في المعادلة تنتمي إلى نظام الإحداثيات والأساس نفسهما.

المدخلات في L هي مشتقات جزئية للإحداثيات الجديدة أو القديمة بالنسبة للإحداثيات القديمة أو الجديدة، على التوالي.

اشتقاق x _i بالنسبة إلى x _k :

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}}$$

لذا

$${\displaystyle {{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}}$$

هو عنصر من عناصر مصفوفة جاكوبي . هناك تطابق (شبه تذكيري) بين مواضع المؤشرات المرفقة بـ L وفي المشتقة الجزئية: i في الأعلى و j في الأسفل، في كل حالة، على الرغم من أنه بالنسبة للموترات الديكارتية، يمكن خفض المؤشرات.

وعلى العكس من ذلك، فإن اشتقاق x _j بالنسبة إلى x _i :

$${\displaystyle {\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}}$$

لذا

$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}}$$

هو عنصر من عناصر مصفوفة جاكوبي العكسية، وله تطابق مماثل في المؤشر.

تذكر العديد من المصادر التحويلات بدلالة المشتقات الجزئية:

والمعادلات المصفوفية الصريحة في ثلاثة أبعاد هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

وبالمثل بالنسبة لـ

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

كما هو الحال مع جميع التحويلات الخطية، يعتمد L على الأساس المختار. بالنسبة لقاعدتين متعامدتين.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}}$$

• إسقاط x على المحور x :${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,}$
• إسقاط x على المحور x :${\displaystyle x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.}$

وبالتالي، فإن المكونات تختزل إلى جيوب تمام الاتجاه بين المحورين x _i و x _j : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}}$$

حيث تمثل θ _{_ij} و θ _{_ji} الزاويتين بين المحورين x_{_i} و x_{_j}. وبشكل عام، لا تتساوى θ_{_ij} مع θ_{_ji}، لأن θ _₁₂ و θ _₂₁ زاويتان مختلفتان، على سبيل المثال.

يمكن كتابة تحويل الإحداثيات على النحو التالي:

والمعادلات المصفوفية الصريحة في ثلاثة أبعاد هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

وبالمثل بالنسبة لـ

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

التفسير الهندسي هو أن مكونات x _i تساوي مجموع إسقاط مكونات x _j على محاور x _j .

إن ترتيب الأعداد e_{_i} ⋅ e _{_j} في مصفوفة يُشكل مصفوفة متناظرة (مصفوفة تساوي منقولتها) نظرًا لتناظر الضرب القياسي، وهي في الواقع موتر القياس g . على النقيض من ذلك، فإن e _{_i} ⋅ e _{_j} أو e _{_i} ⋅ e _j لا يُشكل مصفوفات متناظرة بشكل عام، كما هو موضح أعلاه. لذلك، على الرغم من أن مصفوفات L لا تزال متعامدة، إلا أنها ليست متناظرة.

وبصرف النظر عن الدوران حول أي محور واحد، حيث تتطابق x _i و x _i لبعض i ، فإن الزوايا ليست هي نفسها زوايا أويلر ، وبالتالي فإن مصفوفات L ليست هي نفسها مصفوفات الدوران .

ينتج حاصل الضرب النقطي ⋅ لكل زوج ممكن من متجهات الأساس من كون الأساس متعامدًا. بالنسبة للأزواج المتعامدة، لدينا

$${\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}}$$

أما بالنسبة للأزواج المتوازية فلدينا

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.}$$

باستبدال التسميات الديكارتية برموز الفهرسة كما هو موضح أعلاه ، يمكن تلخيص هذه النتائج على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$$

حيث تمثل δ _ij مكونات دالة كرونكر دلتا . ويمكن استخدام الأساس الديكارتي لتمثيل δ بهذه الطريقة.

بالإضافة إلى ذلك، فإن كل مكون من مكونات موتر القياس g _ij بالنسبة لأي أساس هو حاصل الضرب النقطي لزوج من متجهات الأساس:

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$$

بالنسبة للأساس الديكارتي، تكون المكونات المرتبة في مصفوفة كما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$$

لذا فإن أبسط ما يمكن أن يكون لموتر القياس هو δ :

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$

هذا لا ينطبق على القواعد العامة: فالإحداثيات المتعامدة لها مقاييس قطرية تحتوي على عوامل قياس مختلفة (أي ليس بالضرورة 1)، في حين أن الإحداثيات المنحنية العامة يمكن أن تحتوي أيضًا على مدخلات غير صفرية للمكونات غير القطرية.

يتحول حاصل الضرب النقطي لمتجهين a و b وفقًا لـ

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}}$$

وهذا بديهي، لأن حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو كمية قياسية واحدة مستقلة عن أي إحداثيات. وينطبق هذا أيضاً بشكل أعم على جميع أنظمة الإحداثيات، وليس فقط الأنظمة المستطيلة؛ فحاصل الضرب القياسي في نظام إحداثيات واحد هو نفسه في أي نظام آخر.

التباديل الدورية لقيم المؤشر والحجم المكعب الموجه إيجابياً.

التباديل المضادة للدورات لقيم المؤشر والحجم المكعب ذي الاتجاه السلبي.

القيم غير الصفرية لرمز ليفي-سيفيتا ε _ijk كحجم e _i ⋅ e _j × e _k لمكعب يمتد بواسطة الأساس المتعامد ثلاثي الأبعاد.

بالنسبة للضرب الاتجاهي ( × ) لمتجهين، تكون النتائج (تقريبًا) معكوسة. مرة أخرى، بافتراض نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد يميني، فإن التبديلات الدورية في الاتجاهات المتعامدة تُنتج المتجه التالي في المجموعة الدورية من المتجهات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}}$$

بينما تتلاشى المتجهات المتوازية بشكل واضح:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}}$$

وباستبدال التسميات الديكارتية برموز الفهرسة كما هو موضح أعلاه ، يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}}$$

حيث i و j و k هي مؤشرات تأخذ القيم 1 و 2 و 3. ويترتب على ذلك ما يلي:

$${\displaystyle {\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}}$$

تُعدّ علاقات التبديل هذه وقيمها المقابلة مهمة، وهناك عنصر يتطابق مع هذه الخاصية: رمز ليفي-تشيفيتا ، الذي يُرمز له بـ ε . ويمكن تمثيل عناصر رمز ليفي-تشيفيتا باستخدام الأساس الديكارتي.

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}}$$

وهو ما يتوافق هندسيًا مع حجم مكعب مُمتد بواسطة متجهات الأساس المتعامدة، حيث تشير الإشارة إلى الاتجاه ( وليس "حجمًا موجبًا أو سالبًا"). هنا، يُحدد الاتجاه بواسطة ε ₁₂₃ = +1 ، لنظام يميني. أما النظام اليساري فيُحدد ε ₁₂₃ = −1 أو ما يُكافئه ε ₃₂₁ = +1 .

يمكن الآن كتابة حاصل الضرب الثلاثي القياسي على النحو التالي :

$${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}}$$

مع التفسير الهندسي للحجم (للمتوازي المستطيلات الممتد بواسطة a و b و c ) وجبريًا هو محدد : ^{[ 3 ] : 23}

$${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}}$$

ويمكن استخدام هذا بدوره لإعادة كتابة الضرب الاتجاهي لمتجهين على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }&=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow \quad {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}&=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

على عكس ما يبدو عليه، فإن رمز ليفي-تشيفيتا ليس موترًا ، بل هو موتر زائف ، وتتحول مكوناته وفقًا لما يلي:

$${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.}$$

وبالتالي، فإن تحويل الضرب الاتجاهي لـ a و b هو: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\right)_{i}\\[1ex]{}={}&{\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}}$$

وبالتالي يتحول a × b إلى متجه زائف ، بسبب عامل المحدد.

ينطبق ترميز فهرس الموتر على أي كائن يحتوي على كيانات تُشكّل مصفوفات متعددة الأبعاد - ليس كل ما يحتوي على فهارس موترًا افتراضيًا. بدلًا من ذلك، تُعرَّف الموترات من خلال كيفية تغير إحداثياتها وعناصرها الأساسية عند التحويل من نظام إحداثيات إلى آخر.

لاحظ أن الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه زائف، بينما الضرب الاتجاهي لمتجه زائف مع متجه هو متجه آخر.

يمكن تكوين متطابقات أخرى من موتر δ وموتر ε الزائف، ومن المتطابقات البارزة والمفيدة للغاية تلك التي تحول رمزي ليفي-سيفيتا المتجاورين المتقلصين على مؤشرين إلى تركيبة مضادة للتناظر من دلتا كرونكر:

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}}$$

تُسهّل الصيغ الدليلية للضرب القياسي والضرب الاتجاهي، بالإضافة إلى هذه المتطابقة، بشكل كبير معالجة واستنتاج متطابقات أخرى في حساب المتجهات والجبر، والتي بدورها تُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة. على سبيل المثال، من الواضح أن الضرب القياسي والضرب الاتجاهي توزيعي على جمع المتجهات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\[1ex]\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} \end{aligned}}}$$

دون اللجوء إلى أي إنشاءات هندسية، يكون الاشتقاق في كل حالة عبارة عن سطر جبري سريع. على الرغم من أن الإجراء أقل وضوحًا، إلا أنه يمكن اشتقاق حاصل الضرب الثلاثي للمتجهات أيضًا. إعادة الكتابة باستخدام ترميز الفهرس:

$${\displaystyle \left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}}$$

ولأن التبديلات الدورية للمؤشرات في رمز ε لا تغير قيمته، فإن التبديل الدوري للمؤشرات في ε _kℓm للحصول على ε _ℓmk يسمح لنا باستخدام متطابقة δ - ε المذكورة أعلاه لتحويل رموز ε إلى موترات δ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}{}={}&\left(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\right)a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \right]_{i}\end{aligned}}}$$

وهكذا:

$${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$$

لاحظ أن هذا متناظر عكسيًا في b و c ، كما هو متوقع من الطرف الأيسر. وبالمثل، باستخدام ترميز الفهرس أو حتى مجرد إعادة تسمية a و b و c بشكل دوري في النتيجة السابقة وأخذ القيمة السالبة:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$$

ويُظهر الفرق في النتائج أن الضرب الاتجاهي ليس تجميعيًا. أما المتطابقات الأكثر تعقيدًا، مثل الضرب الرباعي؛

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad \ldots }$$

وهكذا، يمكن اشتقاقها بطريقة مماثلة.

ليكن a = a _i e _i و b = b _i e _i متجهين، بحيث يتحولان وفقًا لـ a _j = a _i L _ij ، b _j = b _i L _ij .

بأخذ حاصل الضرب الموتري نحصل على:

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$